数学人教版九年级下册28.2.1解直角三角函数

28.2.1解直角三角形
1.理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形.
2.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
1.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.
1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.
2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.
【重点】
理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.
【难点】
理解并掌握解直角三角形的方法.
【教师准备】多媒体课件.
【学生准备】复习、记忆特殊三角函数值.
导入一:
【复习提问】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则a,b,c,∠A,∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢?
【学生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点拨,并归纳五个元素之间的关系.【课件展示】
(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理);
(2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°;
(3)边角之间关系:sin A=,cos A=,tan A=.
2.回忆30°,45°,60°角的正弦、余弦、正切值.
导入二:
在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题,把1972年的情形抽象为数学问题为:设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为C(如图所示).在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,求∠A的度数.
【师生活动】学生独立思考后回答,教师点评.
sin A==≈0.0954.
利用计算器可得∠A≈5°28'.
【追问】在Rt△ABC中,你还能求出其他的边和角吗?
【师生活动】学生思考后回答解题思路,教师把问题一般化,引出本节课课题.
[设计意图]通过回顾直角三角形中边与角、边与边、角与角之间的数量关系,为本节课的学习做好铺垫,以实际问题导入新课,体会数学来源于生活,激发学生学习兴趣,同时通过已知直角三角形的一些元素求出直角三角形的其他元素,很自然地过渡到本节课的课题.
一、共同探究
思路一
探究:
(1)在Rt△ABC中,∠A=60°,AB=30,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
(2)在上图中,若AC=,BC=,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
(3)在上图中,若∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
(4)在直角三角形中,知道几个元素就可以求出其他元素?
【师生活动】小组合作交流解题思路,注意在解题过程中方法的多样性,教师根据学生的回答进行汇总归纳.
【课件展示】
(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一条边),就可以求出其余的三个未知元素.
(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
(3)解直角三角形,只有两种:①已知两条边;②已知一条边和一个锐角.
思路二
【思考】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,已知直角三角形的几个元素可以求出其他元素?
(1)已知直角三角形中的一个元素,能求其他元素吗?
(2)已知直角三角形中的两个元素,有几种可能的情况?
(一边和一角、两边、两角)
(3)举例说明已知直角三角形的两个元素,怎样求其他元素?
(4)你能归纳解直角三角形有几种基本类型吗?具体解法步骤是什么?
【师生活动】学生在教师提出的问题的引导下,小组合作交流,回答解题思路,教师根据学生的回答进行汇总归纳,学生回答问题过程中注意解题方法的多样性.
【课件展示】
(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一条边),就可以求出其余的三个未知元素.
(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
(3)解直角三角形,只有两种:①已知两条边;②已知一条边和一个锐角.
(4)解直角三角形的步骤:
两边
一边一角
[设计意图]学生在教师问题的引导下思考分析,合作交流并归纳结论,学生经历概念的形成过程,理解掌握解直角三角形的概念,提高学生分析问题的能力,培养学生的发散思维能力.
二、例题讲解
(教材例1)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,解这个直角三角形.
教师引导分析:
(1)已知线段AC,BC是∠A的邻边和对边,用哪个三角函数可以表示它们之间的等量关系?
(2)已知∠A的三角函数值可以求∠A的度数吗?
(3)已知∠A的度数怎样求∠B的度数?
(4)你有几种方法可以求斜边AB的长?
【学生活动】思考后独立完成,小组内交流答案,小组代表板书过程.
【课件展示】解:∵tan A===,
∴∠A=60°,∠B=90°-∠A=90°-60°=30°,
AB=2AC=2.
(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).
教师引导分析:由∠B=35°,可得∠A==°;由∠B=35°及它的对边b=20,根据可得a==;由∠B=35°b根据可得c==.
【追问】你还有其他方法求c的值吗?
【学生活动】在教师提出的问题的引导下,独立完成解答过程,小组内交流答案,组长指出组内成员的错误,并帮助改正.教师对学生的板书进行点评,强调规范性,并鼓励学生用多种方法求解.
【课件展示】解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°.
∵tan B=,∴a==≈28.6.
∵sin B=,∴c==≈34.9.
[设计意图]通过例题理解和掌握解直角三角形的思路和方法,进一步训练学生学会灵活运用直角三角形的有关知识解直角三角形,并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解,同时提高学生分析问题和解决问题的能力,通过规范书写过程,培养学生严谨的学习态度.
[知识拓展](1)直角三角形中一共有六个元素,即三条边和三个角,除直角外,另外的五个元素中,只要已知一条边和一个角或两条边,就可以求出其余的所有未知元素.
(2)运用关系式解直角三角形时,常用到下列变形:①锐角之间的关系:∠A=90°-∠B,∠B=90°-∠A.②三边之间的常用变形:a=-,b=-,c=.
(3)边角之间的常用变形:a=c·sin A,b=c·cos A,a=b·tan A,a=c·cos B,b=c·sin B,b=a·tan B.
(4)虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种,但为了计算方便,最好遵循“先求角后求边”和“宁乘不除”的原则.
(5)选择关系式时要尽量利用原始数据,以防“累积误差”.
(6)遇到不是直角三角形的图形时,要适当添加辅助线,将其转化为直角三角形求解.
1.解直角三角形的概念
2.直角三角形中五个元素之间的关系:
(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理);
(2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°;
(3)边角之间关系:sin A=,cos A=,tan A=.
3.解直角三角形的基本类型及解法步骤:(参考前面表格)
1.由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.已知一个直角三角形中:(1)两条边的长度;(2)两个锐角的度数;(3)一个锐角的度数和一条边的长度.利用上述条件中的一个,能解这个直角三角形的是()
A.(1)(2)
B.(1)(3)
C.(2)(3)
D.(1)(2)(3)
解析:能解的直角三角形有两种:已知两边;已知一边和一锐角.故选B.
2.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是()
A.c sin A=a
B.b cos B=c
C.a tan A=b
D.c tan B=b
解析:由a2+b2=c2,得∠C=90°,∴sin A=,cos B=,tan A=,tan B=,∴c sin A=a,c cos B=a,b tan A=a,a tan B=b.故选A.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,则AB的长为.
解析:∵cos B==,BC=6,∴AB==4.故填4.
4.根据下列条件解直角三角形.
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,b=4,c=8;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,a=12.
解:(1)∵∠C=90°,b=4,c=8,
∴a=-=-=4,
∵cos B==,∴∠B=30°,
∴∠A=180°-90°-30°=60°.
(2)∵∠C=90°,∠A=60°,
∴∠B=180°-90°-60°=30°.
∵tan A=tan 60°==,a=12,
∴b=4,∴c=2b=8.
28.2.1解直角三角形1.共同探究
3.例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第77页习题28.2第1题.
【选做题】
教材第78页习题28.2第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则∠B等于()
A 30°
B 45°
C 60°
D 90°
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC的长为()
A.7sin 35°
B.
C.7cos 35°
D.7tan 35°
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则下列结论正确的是()
A.sin B=
B.cos B=
C.tan B=2
D.AB=
4.在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=10,sin A=,则BC的长为()
A.6
B.7.5
C.8
D.12.5
5.如果等腰三角形的底角为30°,腰长为6 cm,那么这个三角形的面积为()
A.4.5 cm2
B.9 cm2
C.18 cm2
D.36 cm2
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,b=10,∠A=30°,则a=.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=5,则∠A=,BC=.
8.如图所示,在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC=.
9.根据下列条件解直角三角形.
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=5.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=.
10.如图所示,已知在△ABC中,AD是BC边上的高,E为边AC的中点,BC=14,AD=12,sin B=.求:
(1)线段DC的长;
(2)tan∠EDC的值.
【能力提升】
11.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=4,sin A=,则斜边AB上的高CD为.
12.如图所示,在△ABC中,AB=2,AC=,以点A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,则∠BAC的度数是.
13.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,则AB的长为.
14.如图所示,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,cos A=,BE=4,求tan∠DBE的值.
【拓展探究】
15.如图所示,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH.
(1)求sin B的值;
(2)如果CD=,求BE的长.
【答案与解析】
1.C(解析:由sin A=,得∠A=30°,则∠B=90°-∠A=60°.故选C.)
2.C(解析:∵cos B==,∴BC=7cos B=7cos 35°.故选C.)
3.A(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,∴AB=sin B=,cos B=,tan B=.故选A.)
4.A(解析:∵∠C=90°,AB=10,∴sin A==,∴BC=×10=6.故选A.)
5.B(解析:如图所示,作底边上的高AD.∠B=30°,AB=6 cm,则AD=AB sin B=6×=3(cm),BD=AB cos
B=6×=3(cm).∴BC=2BD=6 cm,∴=AD·BC=×3×6=9(cm2).故选B.)
6.(解析:∵cos A==,b=10,∴c=,∴a=c=.)
7.45°5(解析:∵cos A==,∴∠A=45°,∵∠C=90°,∴∠B=∠A=45°,∴BC=AC=5.)
8.5(解析:∵在Rt△ABC中,cos B=,∴sin B=,tan B==.在Rt△ABD中,AD=4,∴AB===.在Rt△ABC 中,∵tan B=,∴AC=×=5.故填5.)
9.解:(1)根据勾股定理可得AC=-=5,又sin A==,∴∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°.(2)在Rt △ABC中,∠C=90°,∴∠B=90°-∠A=30°.又sin A==,∴AB=2,由勾股定理可得AC=-=1.
10.解:(1)∵AD是BC边上的高,∴△ABD和△ACD是直角三角形,在Rt△ABD中,∵sin B=,∴=,又
AD=12,∴AB=15,∴BD=-=9,又∵BC=14,∴CD=5.(2)在Rt△ACD中,∵E为斜边AC的中
点,∴ED=EC=AC,∴∠C=∠EDC,∴tan∠EDC=tan C==.
11.(解析:在Rt△ABC中,AB=4,sin A=,∴BC=AB sin A=.根据勾股定理得
AC=-=.∵=AC·BC=AB·CD,∴CD===.故填.)
12.105°(解析:如图所示,连接AD,则AD⊥BC,在Rt△ABD中,AB=2,AD=1,则sin B==,∴∠B=30°,∴∠
BAD=60°,同理,在Rt△ACD中,得到∠CAD=45°,因而∠BAC的度数是105°.故填105°.)
13.3+(解析:如图所示,过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=2,∴CD=,∴BD=CD=,由勾股定理得AD=-=3,∴AB=AD+BD=3+.故填3+.)
14.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,∵cos A=,BE=4,DE⊥AB,∴设AD=AB=5x,AE=3x,则5x-3x=4,∴x=2,即
AD=10,AE=6,在Rt△ADE中,由勾股定理得DE=-=8,在Rt△BDE中,tan∠DBE===2.
15.解:(1)∵AE⊥CD,∠ACB=90°,∴∠AHC=∠ACB=90°,∵CD是AB上的中线,∴CD=AD=BD=AB,∴∠DAC=∠DCA,∠B=∠DCB,∴∠B=∠CAH,∵AH=2CH,∴CH∶AH∶AC=1∶2∶,∴sin B=sin∠CAH==.(2)由(1)可知AC∶BC∶AB=1∶2∶,CE∶AC∶AE=1∶2∶,∵CD=,∴AB=2,∴AC=2,BC=4,CE=1,∴BE=BC-CE=4-1=3.
在教学设计中,通过回顾复习直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系,为下一步解直角三角形打下基础,再通过解决比萨斜塔问题引入解直角三角形知识的必要性,激发学生学习本节课的学习兴趣,同时解
决章前导入问题,做到首尾呼应.通过解含有特殊角的直角三角形的探究活动,归纳出解直角三角形的概念及基本形式和方法步骤,由浅入深地引导探究,学生更易于掌握本节课的重点和难点,同时培养了学生的归纳总
结能力.通过例题学会灵活运用直角三角形知识解决问题,加深对解直角三角形的认识,培养学生分析问题、解决问题的能力及严谨地求学精神.
本节课的重点是解直角三角形,教学设计中追求新理念在课堂中的应用,重视学生参与课堂,所以教学设计中以问题为引领,小组合作交流为主要教学活动形式,预期学生课堂气氛活跃,人人参与课堂,让每个学生体验成功的快乐,但在授课过程中过于追求形式,课堂中的讨论交流只是流于形式,所以在以后的教学活动中多关注学生小组交流时的效率.
复习直角三角形三边之间的关系、角之间的关系及边角之间的关系,为本节课的学习打下基础,同时以生活实际问题导入新课,激发学生学习兴趣,调动学生学习的积极性.通过探究已知直角三角形的两个元素求其他元素的过程,很自然地引出解直角三角形的概念,学生经历概念的形成过程,更利于理解与掌握.例题的分析
讲解,让学生体会解直角三角形的方法,提高学生学习能力,培养良好的思维习惯.
练习(教材第74页)
解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,c=30,b=20,∴a=-=10,∴cos A==,∴∠A≈48°,∴∠B≈
90°-48°=42°.(2)在Rt△ABC中,∠A=90°-72°=18°,∵sin72°=,∴b=14·sin 72°≈14×0.951≈13.31.∵cos72°=,∴a=14·cos 72°≈14×0.309≈4.33.(3)在Rt△ABC中,∠A=90°-30°=60°,tan 30°=,b=·=,∴c=2b=2×=.
更新教学理念,提高课堂效率
(1)新课程改革要求:让学生通过交流、合作、讨论的方式,积极探索,改进学习方法,提高学习质量,逐步形成正确地数学价值观.以这一理念为前提,在教学设计中以解决章前比萨斜塔问题导入新课,让学生体会数学与生活之间的联系,激发学生的学习兴趣.在各个环节的教学设计中,始终以学生活动为主,教师只是课堂的引
导者,通过动手操作、动脑思考、小组合作、共同归纳等数学活动,让学生参与课堂活动,注重学生对待学习的态度是否积极主动,注重以问题形式引导学生从数学的角度去思考问题,同时利用尝试教学,让学生暴露思维过程,通过学生之间的质疑解决问题.在课堂上留给学生足够的空间思考和展示自己,让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中体验成功的快乐,从而提高了学生在课堂上的学习效率.
(2)本节课是《解直角三角形》的第一课时,在本章内容中起着承上启下的作用,通过前边学过的三角函数知识,结合勾股定理和直角三角形中的有关性质,求出直角三角形中的未知元素是本节课的重点,它是下节课解决实际问题的基础,要注重培养学生数学能力和数学思维的提高.
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A,若AD∶AO=8∶5,BC=2,求BD的长.
解:连接DE.
∵AE是☉O的直径,
∴∠ADE=90°.
∵AD∶AO=8∶5,
∴cos A==.
∵∠C=90°,∠CBD=∠A,
∴cos∠CBD==.
∵BC=2,∴BD=.
(2015·重庆中考)如图所示,AC是矩形ABCD的对角线,AB=2,BC=2,点E,F分别是线段AB,AD上的点,连接CE,CF,当∠BCE=∠ACF,且CE=CF时,AE+AF=.
〔解析〕如图所示,作FG⊥AC于G,易证△BCE≌△GCF,∴BE=GF,BC=CG,在Rt△ABC中,tan∠ACB===,∴∠ACB=30°,AC=2AB=4,∠DAC=∠ACB=30°,∵FG⊥AC,∴AF=2GF,∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE,设BE=x,在Rt△AFG 中,AG=GF=x,∴AC=AG+CG=x+2=4,解得x=-2,∴AE+AF=AB+BE=2+-2=.故填.。