高中数学复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A版选修2-2

§3.2.2复数代数形式的乘除运算
教学目标：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d ，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 教学过程：
学生探究过程：
1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的
另一个根是－i
3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1
4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
7. 复平面、实轴、虚轴：
点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
8．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .
9. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.
11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
讲解新课：
１．乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2.乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，
z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.
又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.
∴z1z2=z2z1.
(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i
=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：
z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，
∴(z1z2)z3=z1(z2z3).
(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］
=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.
z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)
=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i
=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i
∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.
例2计算：
（1）(3+4i) (3-4i) ；（2）（1+ i)2.
解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;
(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.
3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复
数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数z的共轭复数为z。

4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者di
c bi a ++ 5.除法运算规则：
①设复数a +bi (a ，b ∈R)，除以c +di (c ，d ∈R)，其商为x +yi (x ，y ∈R)，
即(a +bi )÷(c +di )=x +yi
∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .
∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .
由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.
,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x 于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d
c a
d bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将di
c bi a ++的分母有理化得： 原式=22
()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+ 222222
()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2
222+-+++. 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法
例3计算(12)(34)i i +÷-
解：(12)(34)i i +÷-1234i i
+=- 22(12)(34)386451012(34)(34)342555
i i i i i i i i ++-++-+====-+-++
例4计算i
i i i 4342)1)(41(++++- 解：i
i i i 4342)1)(41(++++-22143247(7)(34)343434i i i i i i i +-++++-===+++ 21432825251.2525
i i i i ++--===- 例5已知z 是虚数，且z +z 1是实数，求证：1
1+-z z 是纯虚数. 证明：设z =a +bi (a 、b ∈R 且b ≠0)，于是
z +z 1=a +bi +bi
a +1=a +bi +i
b a b b b a a a b a bi a )(222222+-+++=+-. ∵z +z 1∈R ，∴b －22b
a b +=0. ∵b ≠0，∴a 2+b 2=1. ∴22)1(])1][()1[()1()1(11b
a bi a bi a bi a bi a z z ++-++-=+++-=+- .1
1212012])1()1[(12222i a b a bi a b a i b a b a b a +=+++=+++--+++-= ∵b ≠0，a 、b ∈R ，∴
i a b 1+是纯虚数 巩固练习：
1.设z =3+i ,则z
1等于 A.3+i
B.3－i
C.101103+i
D.i 101103+ 2.ai
b bi a ai b bi a +-+-+的值是 A.0 B.i C.－i D.1
3.已知z 1=2－i ,z 2=1+3i ,则复数
521z z i +的虚部为 A.1
B.－1
C.i
D.－i 4.设i
y i i x -+-=+1231 (x ∈R,y ∈R),则x =___________,y =___________.
答案：1.D 2.A 3.A 4.53 , －5
9 课后作业：课本第112页 习题3. 2 A 组4，5，6
B 组1，2
教学反思：
复数的乘法法则是：(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式. 复数的除法法则是：2
222d c ad bc d c bd ac di c bi a +-+++=++i (c +di ≠0). 两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简
高考题选
1．（2007年北京卷）22(1)i =+ i - ．
2. （2007年湖北卷）复数z=a+bi,a,b ∈R,且b ≠0,若24z bz -是实数，则有序实数对（a,b ）
可以是 .(写出一个有序实数对即可)
【答案】：(2,1).
【分析】：22224()4()42(2)z bz a bi b a bi a ab b b a b i -=+-+=--+-是实数，所以2a b =，取(,)(2,1)a b =.
【高考考点】：本题主要考查复数的基本概念和运算.
【易错点】：复数的运算公式不能记错。

【备考提示】：复数的基本概念和运算，是高考每年必考的内容，应熟练掌握。

3．（2007年福建卷）复数21(1i)
+等于（ D ） A ．12 B ．12- C ．1i 2 D ．1i 2
- 4．（2007年广东卷）若复数（1+bi ）(2+i)是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b= (A) -2 (B) -12 (C) 12
(D) 2 答案：B ；解析：（1+bi ）(2+i)=（2-b ）+(2b+1)i ，故2b+1=0，故选B ；
5．（2007年湖南卷）复数2
2i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭
等于（ C ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i - 6．（2007年江西卷）化简2
24(1)i i ++的结果是（ Ｃ ）
Ａ．2i + Ｂ．2i -+ Ｃ．2i - Ｄ．2i --
7．（2007年全国卷I ）设a 是实数，且
1i 1i 2a +++是实数，则a =（ B ） A ．12
B ．1
C ．
32
D ．2 8．（2007年全国卷Ⅱ）设复数z 满足12i i z
+=，则z =（ C ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i + 9.（2007年陕西卷）在复平面内，复数z =i +21对应的点位于（Ｄ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第在象限 （D ）第四象限
10．（2007年四川卷）复数
311i i i ++-的值是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）i
解析：选A ．23331(1)201(1)(1)2
i i i i i i i i i i i +++=+=+=-=--+． 本题考查复数的代数运算．
11．（2007年天津卷）i 是虚数单位，3
2i 1i
=-（ Ｃ ） Ａ．1i + Ｂ． 1i -+ Ｃ．1i - Ｄ．1i --
12．（2007年浙江卷）已知复数11i z =-，121i z z =+，则复数2z = 1 ．
13．（2007年上海卷）已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程2
0x px q ++=的两根，则,p q 的值为 （A ）
A 、4,5p q =-=
B 、4,5p q ==
C 、4,5p q ==-
D 、4,5p q =-=-
14．（2007年重庆卷）复数3
22i i +的虚部为__54____. 15．（2007年安徽卷）若a 为实数，i ai
212++＝-2I ，则a 等于(B)
（A ）2 （B ）-2 （C ）22 （D ）-22
16．（2007年山东卷）若cos sin z i θθ=+（i 虚数单位），则21z =-使的值可能是（D ） (A)6π (B)4
π (C) 3π (D) 2
π 17．（2007年宁夏卷）i 是虚数单位，51034i i -+=+ 12i + ．（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，）。