上海高中二年级数学矩阵和运算(有详细答案解析)精品

上海版高二上数学
矩阵及其运算
一．初识矩阵 （一）引入：
引例1：已知向量()1,3OP =，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为13⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 引例2：2008
我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
；
引例3：将方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩
中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭；若将
常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭。

（二）矩阵的概念
1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪
-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭
为
21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。

有时矩阵也可用A 、B 等字母
表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用
字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
第3行第2个数为3221a =。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。

如000000⎛⎫
⎪⎝⎭
为一个23⨯阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此方阵为n
阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
均为三阶方阵。

在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有
元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。

如矩阵1001⎛⎫
⎪⎝⎭
为2
阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
为3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，
当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩
中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵2332441m n ⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭，我们叫
做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
叫做方程组的增广矩阵。

（三）、应用举例：
例1
（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩阵表示； （2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。

例2、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y x y ---⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。

例3、写出下列线性方程组的增广矩阵：
（1）23146x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）2320
3250230
x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++-=⎨⎪-++=⎩
例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：
（1）235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）210203213023-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪
-⎝⎭
例5、已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫
⎪+⎝⎭为单位矩阵，且,,2παβπ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，求()sin αβ-的值。

（四）、课堂练习：
1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，输用1- 表示，相同则为0）。

2、奥运会足球比赛中国队所在C组小组赛单循环比赛结果如下：
中国平新西兰1∶1 巴西胜比利时1∶0 中国负比利时0∶2
巴西胜新西兰5∶0 中国负巴西0∶3 比利时胜新西兰0∶1
（1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列）
（2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的得分情况；（排列顺序与（1）相同）
（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两个矩阵确定各队名次。

二、矩阵的三种基本变换
（一）、复习引入：
引例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？
（1）
213
322
-
⎛⎫
⎪
-
⎝⎭
（2）
322
213
-
⎛⎫
⎪
-
⎝⎭
（3）
13
1
22
22
1
33
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎪
- ⎪
⎝⎭
（4）
13
1
22
113
66
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
（5）
108
113
66
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
（6）
108
0113
⎛⎫
⎪
⎝⎭
（二）、矩阵的三种基本变换新课讲解：
通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换：
（1）互换矩阵的两行；
（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；
（3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

（三）、应用举例：
例1、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462
个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题”）
例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组
435
724
5238
x y z
x y z
x y z
+-=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪--=
⎩
的解。

例3、运用矩阵变换方法解方程组：
32
2
ax y
x y b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
（a、b为常数）
说明：（1）符合情况ⅰ）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交；
（2）符合情况ⅱ）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解；
（3）符合情况ⅲ）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。

（四）、课堂练习：
用矩阵变换方法解下列问题： （1）若方程组2
(1)(1)4
x y k x k y +=⎧⎨
-++=⎩的解x 与y 相等，求k 的值。

（2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？
（3）解方程组：320255781x y z x y z x y z -+=⎧⎪
++=⎨⎪-+=-⎩
三、矩阵运算
（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等
定义 如果两个矩阵[]
n
m ij
a A ⨯=，[]
p
s ij
b B ⨯=满足：
(1) 行、列数相同，即 p n s m ==,；
(2) 对应元素相等，即a ij = b ij (= 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )， 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作 A = B
（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m n 矩阵相等，等价于元素之间的m
n 个等式.）例如，矩阵
A =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡232221131211a a a a a a ， B =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--412503
第一次称量 第二次称量
那么A = B ，当且仅当
a 11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4
而
C = ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡22211211c c c c 因为B , C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11, c 12, c 21, c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.
2．加法
定义2.3 设[]
n
m ij a A ⨯=，[]
p
s ij
b B ⨯=是两个m n 矩阵，则称矩阵
C =
⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a
2
21122222221211112121111
为A 与B 的和，记作
C = A + B = []
ij ij b a +
（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =[]
ij ij b a - 称D 为A 与B 的差. 例1 设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403， B =⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--130432，求A + B ，A - B .
例2、矩阵cos cos 0tan 1A αβ
α⎛⎫=
⎪⎝⎭，00
tan tan tan B β
αβ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，010
1
7C ⎛⎫
- ⎪
= ⎪ ⎪-⎝
⎭
，若A B C +=，(0,)2πα∈，(,)2
πβπ∈，求sin 2
αβ
+的值。

矩阵加法满足的运算规则是什么？
设A , B , C , O 都是m n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A ；
2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ；
3. 零矩阵满足： A + O = A ；
4. 存在矩阵-A ，满足：A -A = A + (-A ) = O .
3．数乘
定义 2.4 设矩阵[]
n
m ij
a A ⨯=，λ为任意实数，则称矩阵[]
n
m ij
c C ⨯=为数λ与矩阵A 的数乘，其中
),2,1;,,2,1(n j m i a c ij ij ===λ，记为
C =λA
（由定义2.4可知，数λ乘一个矩阵A ，需要用数λ去乘矩阵A 的每一个元素.特别地，当λ = -1时，λA = -A ，得到A 的负矩阵.）
例3 设矩阵A =⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--062504713，用2去乘矩阵A ，求2A.
数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数k , l 和矩阵A = []
n
m ij
a ⨯，B =[]
n
m ij
b ⨯满足以下运算规则：
1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB ；
2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ；
3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ；
4. 数1与矩阵满足： 1A = A .
例4 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-610523，B =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--712834，求3A - 2B .
例5．给出二元一次方程组111
222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的条件。

4．乘法
某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A 表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用B 表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）： I II 单价 利润 A = ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡91811251020 B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.158.05.3 用矩阵C = []
2
3⨯ij c 表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么C 中的元素分别为
，
即
C =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3231
2221
1211c c c c c c = ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯2.198.018595.3182.1118.0255115.3252.1108.0205105.320 =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡2.251082.335.14228120
其中，矩阵C 中的第行第j 列的元素是矩阵A 第行元素与矩阵B 第j 列对应元素的乘积之和.
矩阵乘积的定义 设A =[]
ij a 是一个m
s 矩阵，B =[]ij b 是一个s n 矩阵，则称m n 矩阵C =[]
ij c 为矩阵A
与B 的乘积，记作 C = AB .其中c ij = a i 1b 1 j + a i 2b 2 j + … + a i s b s j =
(= 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …,
n ).
（由矩阵乘积的定义可知：）
(1) 只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数时，A , B 才能作乘法运算AB ；
(2) 两个矩阵的乘积AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A 的行数，它的列数等于右矩阵B 的列数；
(3) 乘积矩阵AB 中的第行第j 列的元素等于A 的第行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.
例6 设矩阵 A = ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--530412， B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10789，计算AB . 甲 乙 丙 I II
总
收
入 总 利 润
例7 设矩阵 A = ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡2142，B =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--1122， 求AB 和BA .
由例6、例7可知，当乘积矩阵AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘积矩阵AB 和BA 有意义时，AB 和BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变. 在例6中矩阵A 和B 都是非零矩阵（A O , B O ）,但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 是一个零矩阵（AB = O ），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O ，不能得出A 和B 中至少有一个是零矩阵的结论. 一般地，当乘积矩阵AB = AC ，且A O 时，不能消去矩阵A ，而得到B = C .这说明矩阵乘法也不满足消去律.
那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？
矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB ）C = A （BC ）； 2. 左乘分配律：A （B + C ） = AB + AC ； 右乘分配律：（B + C ）A = BA + CA ； 3. 数乘结合律：k （AB ）= （k A ）B = A （k B ），其中k 是一个常数. 例8：已知⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=0110A ，矩阵12B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求AB 。

解：21AB ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，这可以看作向量12⎛⎫ ⎪⎝⎭经过矩阵变换为向量21⎛⎫ ⎪⎝⎭。

变换后的向量与原向量关于直线y x =对称。

练习：已知1001A ⎛⎫=
⎪-⎝⎭，矩阵u B v ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
（1）求AB ；（2）说明矩阵A 对向量B 产生了怎样的变换。

练习：计算下列矩阵的乘法
（1）1212
()n n b b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）1212()n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

例9、已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=a 2x C ，若A=BC ，求函数)x (f 在[1,2] 上的最小值.
例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式
（1）21437x y x y -=⎧⎨+=⎩；（2）231
4231241
x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩。

例11：若AB BA =，矩阵B 就称为与A 可变换，设1101A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求所有与A 可交换的矩阵B 。

例12、⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=102101A ,求),3,2( =k A k ．
练习:设1101A ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，求2A 、3
A ，猜测*()n A n N ∈并证明。

5．转置
矩阵转置的定义 把将一个m
n 矩阵
A =⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211
的行和列按顺序互换得到的n
m 矩阵，称为A 的转置矩阵，记作A '，即
A ' = ⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n m m a a a a a a a a a 2122212
12111
由定义2.6可知，转置矩阵A '的第行第j 列的元素等于矩阵A 的第j 行第列的元素，简记为
A '的（，j ）元 = A 的（j ，）元
矩阵的转置满足下列运算规则： 1. )(''A = A ；
2. )('+B A =A ' +B '；
3. )('kA = k A ' , ( k 为实数)；
4. )('AB =B 'A '.
高二Ａ数学讲义第十八讲（130812）课后作业
（本试卷共19题，时间45分钟，满分100分）
班级： 姓名：
一、选择题(每小题4分,共15个小题,共60分) 1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件是
C 、充要条件
D 、既不充分又不必要条件 2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组⎩⎨
⎧-=-=+1
y 2x 2
y 3x 2其中正确的是（ ）
A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-122132y x B 、⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122312y x
C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-122132y x D 、⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121223y x 3、若211403201453A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，，且23A X B -=，则矩阵X =___________.
4、点A （1，2）在矩阵⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________ 5、已知⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡b a 2000是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么a+b= .
6、若点A )22
,22(
在矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-αα
ααcos sin sin cos 对应的变换作用下得到的点为（1，0），那么α= .
7、若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
对应的变换作用下下得到的点为（2，4），那么点A 的坐标为 .
8、已知⎥⎦⎤⎢
⎣⎡
--+-=1sin cos sin cos 1ββααA ，
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=1221B 若A=B ，那么α+β= . 9、设A 为二阶矩阵，其元素满足，0a a ji ij =+i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，那么矩阵 A= .
10：46x A y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13u B v ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，且A B =，那么A+AB= 。

11、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵(1,2,1)-，那么该线性方程组为 。

12、计算:
若矩阵1
cos60sin602
sin60cos6012A B ⎛-
︒-︒⎛⎫⎪
== ⎪⎪︒︒⎝⎭
-⎪⎭
，，则AB =___________.
13、计算：
342
112
546
110
221
⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
-
⎝⎭ ⎪
⎝⎭
= .
14. 线性方程组
60
3540
x y
x y
--=
⎧
⎨
++=
⎩
对应的系数矩阵是___________，增广矩阵是___________.
15、已知矩阵
2
30
1(1,2)
12
3
A B C
⎛⎫
-
⎛⎫
⎪
==-= ⎪
⎪-
⎝⎭
⎪
-
⎝⎭
，，，则()
AB C=___________.
二、简答题
1. 已知
10
11
A
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，分别计算23
A A
、，猜测*
(2)
n
A n n
≥∈N
，；
2. 将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解:
⑴
32110 250
x y
x y
--=
⎧
⎨
+-=
⎩
；
⑵
1116 1210 2113
x
y
z
⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
-=
⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪
-
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
3. 若
202
137
x
y
-
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪⎪ ⎪
-
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则x y
+=___________.
4、已知矩阵[])(x f A =，[]x x x B sin 2cos sin -=，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=x x C sin cos ，若A=BC ，求函数)x (f 在]3,0[π
上的最小值.
老师讲义
2013年暑期高二Ａ数学讲义第十八讲（130812）
矩阵及其运算
一．初识矩阵
（一）引入：
引例1：已知向量()1,3OP =，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为13⎛⎫
⎪⎝⎭
；
引例2：2008
我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
；
引例3：将方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩
中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭；若将
常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭。

（二）矩阵的概念
1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪
-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭
为
21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。

有时矩阵也可用A 、B 等字母
表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用
字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
第3行第2个数为3221a =。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。

如000000⎛⎫
⎪⎝⎭
为一个23⨯阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此方阵为n
阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
均为三阶方阵。

在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有
元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。

如矩阵1001⎛⎫
⎪⎝⎭
为2
阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
为3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，
当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩
中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵2332441m n ⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭，我们叫
做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
叫做方程组的增广矩阵。

（三）、应用举例：
例1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表：
（1（2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。

解：（1）2627292811029262628109⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）有两个行向量，分别为：()126
272928110a =，
()229262628109a =，
它们分别表示两位运动员在决赛各阶段各自成绩； 有五个列向量，分别为1234526272928110,,,,29262628109b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
它们分别表示两位运动员在每一个阶段的成绩。

例2、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y x y ---⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。

解：由题意知：22x y x y -=⎧⎨
=⎩解得：24x y =-⎧⎨=-⎩，又由2
22214
b a x a b x y -=-=⎧⎨+=+=⎩解得：2
6a b =⎧⎨=⎩， 22414A ⎛⎫=
⎪-⎝⎭
例3、写出下列线性方程组的增广矩阵：
（1）23146x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）2320
3250230
x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++-=⎨⎪-++=⎩
解：（1）231416⎛⎫ ⎪-⎝⎭； （2）123213252113--⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪--⎝⎭
例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：
（1）235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）210203213023-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪
-⎝⎭
解：（1）23524x y x y +=-⎧⎨-+=⎩ （2）22
321323
x y y z x z -=⎧⎪
-=⎨⎪+=-⎩
例5、已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫
⎪+⎝⎭为单位矩阵，且,,2παβπ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，求()sin αβ-的值。

解：由单位矩阵定义可知：sin cos 1sin cos 0ααββ+=⎧⎨+=⎩，,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，234
παπ
β⎧
=⎪⎪∴⎨
⎪=⎪⎩
(
)sin sin 42παβ⎛⎫
∴-=-
=- ⎪
⎝⎭。

（四）、课堂练习：
1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，输用1- 表示，相同则为0）。

解：0111
01110-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
2、奥运会足球比赛中国队所在C 组小组赛单循环比赛结果如下：
中国平新西兰1∶1 巴西胜比利时1∶0 中国负比利时0∶2
巴西胜新西兰5∶0 中国负巴西0∶3 比利时胜新西兰0∶1
（1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列）
（2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的得分情况；（排列顺序与（1）相同）
（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两个矩阵确定各队名次。

解：（1）
0320
3015
2101
0510
--
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
-
⎪
--
⎝⎭
（2）
0001
3033
3003
1000
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
（3）名次为巴西、比利时、中国、新西兰。

二、矩阵的三种基本变换
（一）、复习引入：
引例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？
（1）
213
322
-
⎛⎫
⎪
-
⎝⎭
（2）
322
213
-
⎛⎫
⎪
-
⎝⎭
（3）
13
1
22
22
1
33
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎪
- ⎪
⎝⎭
（4）
13
1
22
113
66
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
（5）
108
113
66
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
（6）
108
0113
⎛⎫
⎪
⎝⎭
解：这些方程组为
23
322
x y
x y
-=
⎧
⎨
-+=
⎩
；
322
23
x y
x y
-+=
⎧
⎨
-=
⎩
；
13
22
22
33
x y
x y
⎧
-=
⎪⎪
⎨
⎪-+=
⎪⎩
；
13
22
113
66
x y
y
⎧
-=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
；
8
113
66
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
；
8
13
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩。

这些增广矩阵所对应的线性方程组的解都是相同的。

（二）、矩阵的三种基本变换新课讲解：
通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换：
（1）互换矩阵的两行；
（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；
（3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

（三）、应用举例：
例1、已知每公斤五角硬币价值132元，每公斤一元硬币价值165元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题”）
解：设一元硬币有x 个，五角硬币有y 个，则根据题意可得：4620.52165132x y x y
+=⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 则该方程组的增广矩阵为1
14621
12165
264A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，设①、②分别表示矩阵A 的第1、2行，对矩阵A 进行下列变换：
1
1
462112165
264⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 11462116658⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ 11
46231320405⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
1146201352⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1011001352⎛⎫
⎪⎝⎭
由最后一个矩阵可知：110
352
x y =⎧⎨
=⎩
答：一元硬币有110个，五角硬币有352个。

例2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组4357245238x y z x y z x y z +-=⎧⎪
++=⎨⎪--=⎩的解。

解：此方程对应的增广矩阵为：431572
145238-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪--⎝⎭
设此矩阵第1、2、3行分别为①、②、③，对此矩阵进行下列变换：
431572145238-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ 115097214264020⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
115097214131052⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭ 43
001626016131052⎛⎫-- ⎪
⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
②()33⨯- ①不变 ①15⨯加到② ①不变 ②40
3⨯
①不变
②(1)⨯-加到① ②不变 ②加到①
②3⨯加到③ ②不变 ③(2)⨯-加到② ③(5)⨯-加到① ③不变
③14
⨯
①、②不变
32100436016131052⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 32100436600143701043⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭ 32100437010436600143⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪- ⎪⎝⎭， ∴此方程组的解为32437436643x y z ⎧
=⎪⎪
⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩
说明：1、利用矩阵基本变换，将矩阵的每一个行向量所对应的方程只有一个变量；
2、在变换过程中，实际为加减消元的过程，此过程中应根据数字的特点，运用适当的程序进行化简运算。

例
3、运用矩阵变换方法解方程组：32
2ax y x y b
+=⎧⎨
-=⎩（a 、b 为常数）
解：此方程组对应的增广矩阵为：3221a b ⎛⎫
⎪-⎝⎭
，设①、②分别表示此矩阵的第1、2行，
对此矩阵进行下列变换：3221a b ⎛⎫
⎪-⎝⎭ 602321a b b ++⎛⎫ ⎪-⎝⎭
ⅰ）当60a +≠，即6a ≠-时，以上矩阵可作如下变换：
2310621b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪-⎝⎭
231064016b a ab a +⎛
⎫ ⎪+
⎪- ⎪- ⎪+⎝
⎭ 231064016b a ab a +⎛⎫ ⎪+ ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭，∴此时方程有唯一解23646b x a ab y a +⎧
=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
；
ⅱ）当60a +=即6a =-时，若230b +≠即2
3
b ≠-时，方程组无解； ⅲ）当60a +=即6a =-时且2
3
b =-
时，方程组有无穷多解，它们均符合6320x y -+=。

说明：（1）符合情况ⅰ）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交； （2）符合情况ⅱ）时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解；
（3）符合情况ⅲ）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。

（四）、课堂练习：
用矩阵变换方法解下列问题：
①2()43
⨯-
②、③不变
①6⨯加到②
①13()2
⨯-加到③ ①不变 交换②、③ ①不变
②3⨯加到① ①不变 ①16a ⨯+
②不变
①(2)⨯-加到② ①不变 ②(1)⨯- ①不变
（1）若方程组2
(1)(1)4x y k x k y +=⎧⎨
-++=⎩
的解x 与y 相等，求k 的值。

解：1121121121140262013k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−→−−→
⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭101013k k -⎛⎫
−−→ ⎪-⎝⎭
解得1
3x k y k
=-⎧⎨
=-⎩，由题意知：13k k -=-求得：2k =。

（2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？
解：设黑球和白球的质量各为x 、y 千克，则由题意知：25
310
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
通过矩阵变换1251251251033110055011011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
−−→−−→−−→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解得：黑球每个3千克，白球每个1千克。

（3）解方程组：320255781x y z x y z x y z -+=⎧⎪
++=⎨⎪-+=-⎩
解：3210055150113112511251125578101222606113----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
−−
→−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
011301130102101210121001005500110011⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪−−→−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
100101020011⎛⎫ ⎪
−−→ ⎪ ⎪
⎝⎭即方程组的解为1
21x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩。

三、矩阵运算
（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等
定义 如果两个矩阵[]
n
m ij
a A ⨯=，[]
p
s ij
b B ⨯=满足：
第一次称量 第二次称量
(1) 行、列数相同，即 p n s m ==,；
(2) 对应元素相等，即a ij = b ij (= 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )， 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作 A = B
（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m n 矩阵相等，等价于元素之间的m
n 个等式.）例如，矩阵
A =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡232221131211a a a a a a ， B =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--412503 那么A = B ，当且仅当
a 11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4
而
C = ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡22211211c c c c 因为B , C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11, c 12, c 21, c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.
2．加法
定义2.3 设[]
n
m ij a A ⨯=，[]
p
s ij
b B ⨯=是两个m n 矩阵，则称矩阵
C =
⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a
2
21122222221211112121111
为A 与B 的和，记作
C = A + B = []
ij ij b a +
（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =[]
ij ij b a - 称D 为A 与B 的差.
例1 设矩阵A =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡---152403， B =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--130432，求A + B ，A - B .
解 ： A + B = ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡---152403+⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--130432 = ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+--++-+-+-+11)3(5024430)
2(3=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-022031 A - B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--130432
=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-----------11)3(5024430)
2(3=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡----282835
例2、矩阵cos cos 0tan 1A αβ
α
⎛⎫=
⎪⎝⎭，0
tan tan tan B β
αβ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，010
1
7C ⎛⎫
- ⎪
= ⎪ ⎪-⎝
⎭
，若A B C +=，(0,)2πα∈，(,)2
πβπ∈，求sin
2
αβ
+的值。

解：由A+B=C 知：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+71
0102
tan tan 1tan tan 0cos cos βαβαβα cos α cos β=10
2
-
tan α + tan β=-1; 1-tan α tan β=7
71tan tan 1tan tan )tan(-=-+=
+βαβαβα，知Z k k k ∈+-∈+),2
(πππ
βα
由于(0,
)2π
α∈，(,)2
πβπ∈知：)23,2(ππβα∈+
从而),2(ππβα∈+,有)2
,4(2π
πβα∈+
102)sin(=
+βα;10
27)cos(-=+βα, 20
27102102
712
)
cos(12
sin
+=+
=
+-=
+βαβ
α
矩阵加法满足的运算规则是什么？
设A , B , C , O 都是m n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A ； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A ； 4. 存在矩阵-A ，满足：A -A = A + (-A ) = O .
3．数乘
定义 2.4 设矩阵[]
n
m ij
a A ⨯=，λ为任意实数，则称矩阵[]
n
m ij
c C ⨯=为数λ与矩阵A 的数乘，其中
),2,1;,,2,1(n j m i a c ij ij ===λ，记为
C =λA
（由定义2.4可知，数λ乘一个矩阵A ，需要用数λ去乘矩阵A 的每一个元素.特别地，当λ = -1时，λA = -A ，得到A 的负矩阵.）
例3 设矩阵
A =⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--062504713
那么，用2去乘矩阵A ，可以得到
2A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯0262225202)4(272)1(23
2=⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--012410081426
数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数k , l 和矩阵A = []
n
m ij
a ⨯，B =[]
n
m ij
b ⨯满足以下运算规则：
1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB ；
2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ；
3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ；
4. 数1与矩阵满足： 1A = A .
例4 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-610523，B =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--712834，求3A - 2B . 解 先做矩阵的数乘运算3A 和2B ，然后求矩阵3A 与2B 的差.
3A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯⨯-⨯⨯63130353)2(333= ⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-18301569 2B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯72)1(22282)3(24
2= ⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--14241668 3A - 2B = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-18301569-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--14241668= ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--454101
例5．给出二元一次方程组111
222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的条件。

解：原方程组可以表示成111222a b c x y a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中111222a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
、、是三个列向量，由平面分解定理可知，
当向量1122a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、不平行时，向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭可表示成向量1122a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
、的线性组合，且系数x y 、唯一，那么对应的方
程组有存在唯一解，即1221a b a b ≠。

4．乘法
某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A 表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用B 表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）： I II 单价 利润 A = ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡91811251020 B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.158.05.3 用矩阵C = []
2
3⨯ij c 表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么C 中的元素分别为
，
即
C =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3231
2221
1211c c c c c c = ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯2.198.018595.3182.1118.0255115.3252.1108.0205105.320 =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡2.251082.335.14228120
其中，矩阵C 中的第行第j 列的元素是矩阵A 第行元素与矩阵B 第j 列对应元素的乘积之和.
矩阵乘积的定义 设A =[]
ij a 是一个m
s 矩阵，B =[]ij b 是一个s n 矩阵，则称m n 矩阵C =[]
ij c 为矩阵A
与B 的乘积，记作 C = AB .其中c ij = a i 1b 1 j + a i 2b 2 j + … + a i s b s j =
(= 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …,
n ).
（由矩阵乘积的定义可知：）
(1) 只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数时，A , B 才能作乘法运算AB ；
(2) 两个矩阵的乘积AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A 的行数，它的列数等于右矩阵B 的列数；
(3) 乘积矩阵AB 中的第行第j 列的元素等于A 的第行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.
甲 乙 丙 I II
总
收
入 总 利 润
例6 设矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--530412， B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10789，计算AB . 解 AB = ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--530412⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--10789
= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+-⨯-⨯+⨯⨯+-⨯--⨯+⨯-⨯-+-⨯-⨯-+⨯105)8(3)7(59310)8(4)7(09410)1()8(2)7()1(92= ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢
⎢⎣⎡---26832362625
在例6中，能否计算BA ？
由于矩阵B 有2列，矩阵A 有3行，B 的列数A 的行数，所以BA 是无意义的.
例7 设矩阵 A = ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡2142，B =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--1122， 求AB 和BA . 解 AB = ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡2142⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--1122 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+-⨯-⨯+⨯⨯+-⨯-⨯+⨯12)2(1)1(22114)2(2)1(422 =⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡0000
BA = ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--1122⎥⎦⎤⎢⎣⎡2142= ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-+⨯⨯-+⨯21411
1212)2(421)2(22 = ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--2142
由例6、例7可知，当乘积矩阵AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘积矩阵AB 和BA 有意义时，AB 和BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变. 在例6中矩阵A 和B 都是非零矩阵（A O , B O ）,但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 是一个零矩阵（AB = O ），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O ，不能得出A 和B 中至少有一个是零矩阵的结论. 一般地，当乘积矩阵AB = AC ，且A O 时，不能消去矩阵A ，而得到B = C .这说明矩阵乘法也不满足消去律.
那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？
矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB ）C = A （BC ）； 2. 左乘分配律：A （B + C ） = AB + AC ； 右乘分配律：（B + C ）A = BA + CA ； 3. 数乘结合律：k （AB ）= （k A ）B = A （k B ），其中k 是一个常数.
例8：已知⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=0110A ，矩阵12B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求AB 。

解：21AB ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，这可以看作向量12⎛⎫ ⎪⎝⎭经过矩阵变换为向量21⎛⎫ ⎪⎝⎭。

变换后的向量与原向量关于直线y x =对称。

练习：已知1001A ⎛⎫=
⎪-⎝⎭，矩阵u B v ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
（1）求AB ；（2）说明矩阵A 对向量B 产生了怎样的变换。

练习：计算下列矩阵的乘法
（1）12
12()n n b b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）1212()n n a a b b b a ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

解：略解（1）1行1列；（2）n 行n 列。

例9、已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=a 2x C ，若A=BC ，求函数)x (f 在[1,2] 上的最小值. 解: ∵BC=[]x 1x -⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡a 2x =[]
)x 1(a 2x 2
-+,[])(x f A = 又∵ A=BC 2222)(22)(a a a x a ax x x f -+-=+-=，∵x ∈[1,2]
当a ≥２时，函数)x (f 在[1,2]上的最小值为a 24)2(f -=. 当1≤a ＜2时，函数)x (f 在[1,2]上的最小值为2
a a 2)a (f -=. 当a ＜1时，函数)x (f 在[1,2]上的最小值为1)1(f =
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧<<≤-≥-=)1( 1)21( 2)2(
24)]([2min
a a a a a a x f 点评：（1）本题运用了行矩阵与列矩阵的乘法规则及两个矩阵相等的充要条件；
（2）求含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，通常需要分类讨论.
例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式
（1）21437x y x y -=⎧⎨+=⎩；（2）231
4231241
x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩。

解：（1）211437x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）213142312141x y z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

例11：若AB BA =，矩阵B 就称为与A 可变换，设1101A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，求所有与A 可交换的矩阵B 。

解：设与A 可交换的矩阵11
1221
22a a B a a ⎛⎫=
⎪⎝⎭，则112112222122a a a a AB a a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 而11111221
2122a a a BA a a a +⎛⎫=
⎪
+⎝⎭，由AB BA =，得112111
2121
12221112
222122
a a a a a a a a a a a a +=⎧⎪=⎪⎨+=+⎪⎪=+⎩，解得2111220a a a =⎧⎨=⎩， 则1112110a a B a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，当1112a a 、取任意实数时，所得的矩阵与A 可交换。

例12、⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=102101A ,求),3,2( =k A k ．
解： ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1022011021011021012
2
A ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡==10230110210110220
13
2
23
A A A 可以利用数学归纳法证得：⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=1020
1k
k
k A 练习:设1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求2A 、3
A ，猜测*()n A n N ∈并证明。

解：21201A AA ⎛⎫==
⎪⎝⎭，321301A A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，猜测101n
n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，用数学归纳法证明。

5．转置
矩阵转置的定义 把将一个m
n 矩阵
A =⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211
的行和列按顺序互换得到的n
m 矩阵，称为A 的转置矩阵，记作A '，即
A ' = ⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n m m a a a a a a a a a 2122212
12111
由定义2.6可知，转置矩阵A '的第行第j 列的元素等于矩阵A 的第j 行第列的元素，简记为
A '的（，j ）元 = A 的（j ，）元
矩阵的转置满足下列运算规则： 1. )(''A = A ；
2. )('+B A =A ' +B '；
3. )('kA = k A ' , ( k 为实数)；
4. )('AB =B 'A '.
运算规则1—3都容易验证.若要了解运算规则4的证明
4. )('AB =B 'A '. 证 设矩阵A =[]
ij a 是m s 矩阵，B =[]
ij b 是s n 矩阵，那么AB 是m n 矩阵， )('AB 是n m 矩阵；同
样B '是n s 矩阵，A '是s m 矩阵，那么B 'A '是n m 矩阵.
)('AB 的
元 = AB 的
元 =
B T A T
的
元 =
=
==
(AB )T
的
元 = B T A T
的
元，（=1, 2, …, n ；j =1, 2, …, m ）.
故矩阵转置满足 ( AB )T
=B T
A T
.
例13 设矩阵 A =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--232014，B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4312，验证矩阵)('AB =B 'A '. 解 AB = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--232014⎥⎦⎤⎢⎣⎡4312=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡508605，)('AB = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡580065
且
A '= ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--221304， B '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4122 B 'A '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡41
22⎥⎦⎤⎢⎣⎡--221304=⎥⎦⎤⎢⎣⎡580065 )('AB =
= B 'A ' 例14、证明：)('ABC = A B C '''
证 )('ABC =])[('C AB =)(''AB C =A B C '''
（由例8可知，）矩阵转置的运算规则4可以推广到多个矩阵相乘的情况，即
)(21'k A A A = 12A A A k
'''
高二Ａ数学讲义第十八讲（130812）课后作业
（本试卷共19题，时间45分钟，满分100分）
班级： 姓名：
一、选择题(每小题4分,共15个小题,共60分)
1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件是
C 、充要条件
D 、既不充分又不必要条件
2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组⎩⎨⎧-=-=+1
y 2x 2y 3x 2其中正确的是（ ）
A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y x
B 、⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122312y x C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y x D 、⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121223y x 3、若211403201453A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，，且23A X B -=，则矩阵X =___________.
4、点A （1，2）在矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________ 5、已知⎥⎦
⎤⎢⎣⎡b a 2000是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么a+b= . 6、若点A )22,22(
在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos 对应的变换作用下得到的点为（1，0），那么α= . 7、若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
对应的变换作用下下得到的点为（2，4），那么点A 的坐标为 .
8、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡
--+-=1sin cos sin cos 1ββααA ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=1221B 若A=B ，那么α+β= . 9、设A 为二阶矩阵，其元素满足，0a a ji ij =+i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，那么矩阵 A= . 10：46x A y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13u B v ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，且A B =，那么A+AB= 。

11、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵(1,2,1)-，那么该线性方程组为 。

12、计算:
若矩阵1cos60sin602sin60cos6012A B ⎛- ︒-︒⎛⎫⎪== ⎪⎪︒︒⎝⎭-⎪⎭，，则AB =___________. 13、计算：342112546110221⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭= . 14. 线性方程组603540x y x y --=⎧⎨++=⎩
对应的系数矩阵是___________，增广矩阵是___________. 15、 已知矩阵2301(1,2)123A B C ⎛⎫-⎛⎫ ⎪==-= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭
，，，则()AB C =___________. 二、简答题
1. 已知1011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，分别计算23A A 、，猜测*(2)n A n n ≥∈N ，；。