1 集合代数 习题答案

练习 1.1
1.若A – B = ∅，则有（ C ）
A. B=∅
B. B≠∅
C. A⊆B
D. B⊆A
2.下列各式中错误的是（ B ）
A. ∅⊆∅
B. ∅∈∅
C. ∅⊆{∅}
D. ∅∈{∅}
3.用列举法表示下列集合
(1) 偶素数集合；
(2) 1至200的整数中完全平方数集合；
(3) 非负整数集合；
(4) 英文字母集合；
解：
(1) {2}
(2) {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196}
(3) {0, 1, 2, 3, ...}
(4) {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}
4.用描述法表示下列集合
(1) 八进制数字集合;
(2) x2+5x+6=0的解集；
(3) 能被5整除的整数集；
(4) 直角坐标系中，单位圆内的点集。

解：
(1) {x | x是八进制数字}
(2) {x | x∈R且x2+5x+6=0}
(3) {x | x∈Z且x能被5整除}
(4) {(x,y) | x,y∈R且x2+y2≤1}
5.设E = {a, b, c, d}, 则E的含有a的子集有{a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},
{a,b,c,d}；不含有a，含有b的子集有{b},{b,c},{b,d},{b,c,d}。

6.设A = {2, a, {3}, 4}, B = {{a}, 3, 4, 1}, 请在下列每对集合中间填入适当的符号（∈或⊆）：
{a}∈B；{a, 4, {3}}⊆A；{{a}}⊆B。

7.给出集合A，B，C的例子，使得A∈B，B∈C，但A∉C。

解：A={1}, B={{1},2}, C={{{1},2}, 3}.
8.对任意集合A，B，C，确定下列各命题是否为真。

(1) 如果A∈B及B⊆C则A∈C; 真。

证明：由于C
A∈可知A是B的元素。

从而B⊆,所以B的元素都是C的元素。

再由B
A是C的元素，即C
A∈。

A⊄。

(2) 如果A∈B及B⊆C则A⊆C; 假。

反例A={1}, B={{1},2}, C={{1},2,3}, 则C
A∉.
(3) 如果A ⊆B及B∈C则A∈C; 假。

反例A={1}, B={1,2}, C={{1,2},3}, 则C
A⊄.
(4) 如果A ⊆B及B∈C则A⊆C; 假。

反例A={1}, B={1,2}, C={{1,2},3}, 则C
(5) 如果A ⊆B 及B ∈C 则A ∉C; 假。

反例 A={1}, B={1,2}, C={{1,2},{1},3}, 则C A ∈.
(6) {a,b} ⊆{a,b,{a,b}}; 真
(7) {a,b}∈{a,b,{a,b}}; 真
(8) {a,b}∈{a,b,{{a,b}}}. 假
练习 1.2
1. 设A = ∅，B = {∅, {∅}}，则B\A 是（ C ）
A. {{∅}}
B. {∅}
C. {∅, {∅}}
D. ∅
2. 设A = {a, {a}}，下列式子哪一个是错误的（ B ）
A. {a}∈P(A)
B. {a}⊆P(A)
C. {{a}}∈P(A)
D. {{a}}⊆P(A)
3. 幂集P(P(P(∅)))是（ C ）
A. {{∅}, {∅, {∅}}}
B. {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
C. {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}
D. {∅, {∅, {∅}}}
4. 设A = {x| x<5, x ∈N}，B = {x| x<7, x 是正偶数}，求A ∪B 和A ∩B.
解：
A = {0, 1, 2, 3, 4}
B = {2, 4, 6}
A ∪
B = {0, 1, 2, 3, 4, 6} A ∩B = {2, 4}
*5. 证明对所有集合A ，B ，C ，如果C ⊆A ，则(A ∩B)∪C=A ∩(B ∪C)
证明：
由分配律得到(A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C)，再由C ⊆A, 得到A ∪C=A ，从而(A ∩B)∪C=A ∩(B ∪C).
*6. 假定A 和B 是E 的子集，证明以下各式中每个关系式彼此等价。

证明：
(1)
B
A B A A A B B A B
B A B B B B A B B A A
B A x B x B x A x B A ⋂=⋃⋂=⇒=⋃=⋃⇒=⋃⊆⋃⊆⇒⊆⊆⇔∉⇒∉⇔∈⇒∈⇔⊆)()(吸收律
若B A A ⋂=，则B x B A x A x ∈⇒⋂∈⇒∈, 所以B A ⊆。

即证B A A B B A B A ⋂=⇔=⋃⇔⊆
(2) ∅=⋂B A 即∅=-B A 即A 中元素都在B 中，即B A ⊆。

类似可证另一个。

(3) B A ⊆即B x A x ∈⇒∉即A x B x ∈⇒∉即A B ⊆。

从而B A ⊆等价于A B ⊆。

A
B B A E B A A
B B A B A A
B A B B A B A B A ⊆⊆=⋃⊆⊆Φ=⋂=⋂=⋃⊇⊆,,)3(,,)2(,,,)1(
若B A ⊆，则A x A x E x ∉∨∈⇒∈A x A x ∈∨∈⇒
B A x B x A x ⋃∈⇒∈∨∈⇒，即B A E ⋃⊆。

显然E B A ⊆⋃，所以E B A =⋃。

若E B A =⋃，则B x A x E x A x ∈⇒∉∧∈⇒∈，从而B A ⊆。

7. 设A = {a, b, {a, b}, ∅}，试问下列集合由哪些元素组成？
(1) A - {a, b}
(2) {{a, b}} - A
(3) {a, b} - A
(4) A - ∅
(5) A - {∅}
解：
(1) A - {a,b} = {{a,b}, ∅}
(2) {{a, b}} – A = ∅
(3) {a, b} – A = ∅
(4) A - ∅ = {a, b, {a, b}, ∅}
(5) A - {∅} = {a, b, {a, b}}
*8. 证明下列等式成立。

(1) (A-B)∩B=∅
(2) 若A ∩B=∅则A-B ⊆A
(3) 若A ∩B=∅则A-B=A
(4) 若A ∩B=∅且C= A ∪B 则A=C-B.
证明： (1) ∅=∅⋂=⋂⋂=⋂⋂=⋂-A B B A B B A B B A )()()(
(2) 由5中结论知道：若A ∩B=∅，则B A ⊆，从而A B A B A =⋂=-
(3) 在(2)中已证。

(4) 由5中结论知道：若A ∩B=∅， 则B A ⊆. A B A B B B A B B A B C A =⋂=⋂⋃⋂=⋂⋃=-=)()()(.
9. 设P(A)表示A 的幂集，试问下列命题是否成立。

(1) A ∈P(A) 真。

(2) A ⊆P(A) 假。

反例：A={1}, P(A)={∅,{1}}，则A ⊆P(A)不成立。

(3) {A}∈P(A) 假。

反例：A={1}, P(A)={∅,{1}}，则{A}={{1}}∈P(A)不成立。

(4) {A}⊆P(A) 真。

*10. 证明：
(1) P(A ∩B)=P(A)∩P(B)
(2) P(A)∪P(B) ⊆P(A ∪B)
(3) 举例说明P(A)∪P(B) ⊂P(A ∪B)
证明：
(1) 对于任意的集合x,
x∈P(A∩B) ⇔ x⊆A∩B
⇔ x⊆A且x⊆B
⇔ x∈P(A)且x∈P(B)
⇔ x∈P(A)∩P(B).
所以，P(A∩B)= P(A)∩P(B).
(2) 对于任意的集合x,
x∈P(A)∪P(B) ⇒ x∈P(A)或者x∈P(B)
⇒ x⊆A或者x⊆B
⇒x⊆ A∪B
⇒x∈P(A∪B).
所以，P(A)∪P(B) ⊆P(A∪B)
(3) A={1}, B={2}, P(A)={ ∅,{1}}, P(B)={ ∅,{2}}, P(A)∪P(B)={ ∅, {1},{2}}
A∪B={1,2}, P(A∪B)={ ∅,{1}, {2}, {1,2}}，即P(A)∪P(B) ⊂P(A∪B)。

11. 对下列各个C，求∪C和∩C。

(1) C = {∅}
(2) C = {∅, {∅}}
(3) C = {{a}, {b}, {a,b}}
解：
(1) ∪C = ∅，∩C = ∅
(2) ∪C = {∅}，∩C = ∅
(3) ∪C = {a, b}，∩C = ∅
12. 设A={a,b}，B={b,c}，试问下列集合由那些元素组成？
(1) A ⨯ {a} ⨯ B
(2) P(A) ⨯ B
(3) (B⨯B) ⨯ B
解：
(1) A ⨯ {a} ⨯ B = {<a, a, b>, <b, a, b>, <a, a, c>, <b, a, c>}
(2) P(A) ⨯ B = {<∅,b>, <∅,c>, <{a},b>, <{a},c>, <{b},b>, <{b},c>, <{a,b},b>, <{a,b},c>}
(3) (B⨯B) ⨯ B = {<b,b,b>, <b,b,c>, <b,c,b>, <b,c,c>, <c,b,b>, <c,b,c>, <c,c,b>, <c,c,c>}
练习 1.3
1. 归纳定义由基础条款，归纳条款，终极条款三个条款组成。

2. 归纳定义的前后两个条款保证归纳定义的完备性，第三个条款保证归纳定义的纯粹性。

3. 可以如下归纳定义奇数集合：
条款1：1∈E；
条款2：若x∈E，则x+2∈E，x-2∈E；
条款3：只有有限次使用1,2条款确定的元素，才是E中的元素。

*4. 归纳定义∑*（∑*=∑+∪{λ}），令∑={a, b}。

解：
（1）基础条款：∑ ⊆ ∑*，λ ∈ ∑*
（2）归纳条款：如果x ∈ ∑，y ∈ ∑*，则xy ∈ ∑*
（3）终极条款：除有限次使用（1）、（2）条款确定的元素外，∑*中没有别的元素。

*5. 直接归纳定义形式语言中字尾的概念。

解：
（1）基础条款：λ是w 的字尾。

（2）归纳条款：若'w 为w 的字尾，'''w w w ξ=（其中'''*,,w w ξ∈∑∈∑），那么'
w ξ 也是w 的字尾。

（3）终极条款：除有限次使用（1）、（2）条款确定的字尾外，没有其他的字尾。