§2.4 三向应力状态分析简介

章 称为该点的主坐标系。
应力
主坐标系中的三个轴称
应变 为主轴。分别记为 1、2、3
分析 及应
轴。
力应
变关
在主轴坐标系中切取的
系
单元体为主单元体。
讲
在主单元体上，应力的
义 表示最为简单，如图所示。
3 3
z
O y 1
x 1
2 2
3
BRY 静水应力状态
(1) 若三个主应力中，有两个主应力数值相等，即特征
材
x xy
xz
料 力
yx y yz 0 (2.23)
学 B
zx
zy z
第 此式为关于 的三次代数方程，其三个实数根按代数值大小
2 章
排列即为三个主应力 1 2 3 ，对应于每个主应力 i ( i
= 1, 2, 3 )，以下方程组确定了其主方向 [nxi , nyi , nzi ]T ( i = 1,
2
(2.27)
2 一种特殊的三向应力状态
章
工程实际中，构件的某点处于
应力 一种特殊的三向应力状态，即一个
应变 分析
主应力及相应主方向已知的情况，
及应 力应
如图所示。
变关 系
此时，可在与已知主应力方向垂直
的平面内，按平面应力状态的分析
y y y z
x
z
x
x
讲 方法求得该点的另两个主应力及相 义 应主方向。
对应于该点平行于主轴 1 的所有截面；由
S2
1
圆周上各点就
和 3 确定的
2 S3 圆周上各点就对应于该点平行于主轴 2 的所有截面。
章
(c) 该点与任一主轴不平行的斜截面的正应力和切应力
应力 所对应的点，则落在圆 S3 内、圆 S1 和圆 S2 之外的阴影区域
应变 分析
之内。
及应
力应 变关 系
(3)
章
3
应力 应变 分析 及应 力应 变关 系
1
讲 义
3
2 1
3
2
2
1
5
BRY
P1
2
3
2
P2
1
3
2
P3
1
2
2
(2.26)
材
(2) 最大切应力：
料
三个主切应力中的最大者应为该点所有方向截面上的切
力 应力绝对值的最大值，称为该点的最大切应力。
学
B 第
max
max( P1, P2, P3)
1 3
z
6
BRY 三向应力状态的“三向应力圆”
三向应力状态下，也可画出一点处的“三向应力圆”。
材 料
(1) “三向应力圆”的画法：
力
若已经求得某点应力状态的三个主应力，并画出主坐标
学 系和主单元体，则可在 坐标系中绘制出该点的三向应
B 力圆，如图所示 。
第
2 章
3 3
S3
应力
S1
应变 分析 及应 力应
章
(3) 静水应力状态的应力张量
应力
在主轴坐标系中，静水应力状态的应力张量可表示为
应变
分析
0 0
及应 力应 变关
量
讲 球形应力状态下，任意方向都是主方向，因而可任选一组正
义 交方向构成主坐标轴。
4
BRY
球形应力状态这一特殊应力状态在实际生活中也能见到，
例如将一金属球置于很深的水中，球内任意点均处于静水应
力状态。
材
料 主切应力 最大切应力
力
学
(1) 在平行于主应力 1 、 2 、 3 的三组截面上，分别
B 存在着各组截面中切应力的最大值，记为 P1 ， P2 ， P3 ，
第 作用在任意两个主方向成 45º角的截面上，如图所示的 3 个
2 阴影面，三者称为主剪应力。
任意斜截面的正应力和切应力公式
已知任意斜截面 m1m2m3 外法线 en与三个主轴的方向余
讲 弦为
义
n1 cos(en ,1) n2 cos(en ,2) n3 cos(en ,3) 8
BRY 则该斜截面上的正应力 n 和 切应力 n 为
材 料
n 1n12 2n22 3n32
材 方程有一对二重根，则在与二重根之外的第三个主应力方向
料 垂直的平面内，任意方向都是主方向。此时可选择该平面内
力 任意一对相互垂直的方向构成主坐标轴，与第三个主应力的
学 B
方向一起构成主坐标系。
第 2
(2) 若三个主应力数值相等，即特征方程有三重根的情
况， 1 2 3 ，称为静水应力状态。
力
学 B
n
12n12
2 2
n22
32n32
2 n
3 3
m3
en
n n
2
m1 1 m2
2
第
1
2 章
(4) 最大和最小正应力与最大切应力
某点处任意方位截面上的应力点都落在三向应力圆阴影
应力 应变
区域内或圆周上，因此一点处的任意方位截面上的正应力所
分析 及应
能达到的最大值为 1 ，最小值为 3 ，而最大切应力大小为
2
C S2 B
3
2
A
1
变关
系
1
2
讲 义
1
7
BRY
(2) “三向应力圆”的含义：
(a) “三向应力圆”的三个圆心均位于 轴上，与平面应
材 力圆类似，该点某一方位截面上的正应力和切应力值就对应
料 于应力平面上的一个点。
力 学 B
第
(b) 由 1 和 2 确定的 S1 圆周上各点就对应于该点平行
于主轴 3 的所有截面；由 2 和 3 确定的
根据线性代数理论，三维空间中 3×3 的实对称矩阵必存在三
个实数特征值，且数值不相等的特征值所对应的特征向量相
材 料 力
互正交。因此可得出结论，一点处必存在三个主应力，且当 三个主应力数值不等时，三个主方向（三个主平面）是相互
学 正交的。
B 主坐标系 主轴 主单元体
第
2
以一点处的三个相互垂直的主方向为坐标轴的坐标系，
en
分析 及应
zx zy z
力应
变关 系
讲 义
如图所示，过该点的任意截
面外法线
en
的三个方向余弦为
nx cos(en , x) ny cos(en , y)
x
nz cos(en , z)
y
(2.22)
1
BRY
该点三向应力状态的主应力、主方向对应于应力矩阵的
特征值、特征向量。特征值满足的特征方程为
BRY
§2.4 三向应力状态分析简介
将平面应力状态推广就可以得到任意的三向应力状态。
材
料 力 学
某点处的应力状态存在 3 个主应力和 3 个主平面 与 应力矩阵的特征值和特征向量
B
设某点处于任意的三向应力状态，在直角坐标系下，其
第 应力状态可表示为矩阵形式如下
2
z
章
应力 应变
yxx
xy y
xz yz
应力 2, 3) ：
应变
分析 及应 力应 变关
yxx
xy y
xz yz
nnxyii
i
nnxyii
( i = 1, 2, 3 )
(2.24)
系
zx zy z nzi
nzi
讲
义
nx2i ny2i nz2i 1 ( i = 1, 2, 3 ) (2.25)
2
BRY
由于某点处的应力张量矩阵是一个 3×3 的实对称矩阵，