高中数学 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间中的平行关系(1)课堂探究 新人教B版必

空间中的平行关系 1
课堂探究
探究一基本性质4的应用
基本性质4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本性质是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线．此外，我们还要熟悉各种几何图形的定义和特征．
【典型例题1】 如图所示，已知E ，F 分别是空间四边形ABCD 的边AB 与BC 的中点，G ，H 分别是边CD 与AD 上靠近D 的三等分点，求证：四边形EFGH 是梯形．
思路分析：要证明四边形EFGH 是梯形，只需证一组对边平行且不相等即可．通过本题条件可知，利用平面的基本性质4即可解决．
证明：在△ABC 中，因为E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，
所以EF 12
AC ． 又在△ACD 中，G ，H 分别是CD ，AD 边上的三等分点，
DH DA ＝DG DC ＝13，所以GH 13
AC ． 所以EF ∥GH ，且EF ≠GH ，
即四边形EFGH 是梯形．
探究二等角定理的应用
证明角相等的常用方法有： (1)利用题设中的条件，将要证明的两个角放在两个三角形中，利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等．
(2)在题目中若不容易构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证明角相等，可考虑两个角的两边，可利用定理证明这两个角的两边分别对应平行且方向相同或相反，从而达到目的．
【典型例题2】 (1)空间中有一个∠A 的两边和另一个∠B 的两边分别平行，∠A ＝70°，
则∠B＝________．
解析：因为∠A的两边和∠B的两边分别平行，
所以∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°．
又∠A＝70°，所以∠B＝70°或110°．
答案：70°或110°
(2)已知E，E1分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1．
解：如图所示，连接EE1，
因为E1，E分别为A1D1，AD的中点，
所以A1E1AE．
所以四边形A1E1EA为平行四边形，
所以A1A E1E．
又因为A1A B1B，
所以E1E B1B，
所以四边形E1EBB1是平行四边形，
所以E1B1∥EB．
同理E1C1∥EC．
又∠BEC与∠B1E1C1对应边方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1．
探究三直线与平面平行的判定定理
1．应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可．2．要明确其思路是用直线与直线平行判定直线和平面平行．应用时，只需在平面内找
到一条直线与已知直线平行即可．简单地说，线∥线⇒线∥面．
3．在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径．
(1)中位线→线线平行．
(2)平行四边形→线线平行．
【典型例题3】一木块形状如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？
思路分析：可考虑利用线面平行的判定定理分析“目标线”的画法．
解：如图，在平面VAC内经过点P作EF∥AC，且与VC的交点为F，与VA的交点为E．在平面VAB内，经过点E作EH∥VB，与AB交于点H．在平面VBC内，经过点F作FG∥VB，与BC交于点G，连接GH，则EF，FG，GH，HE为截面与木块各面的交线．
证明如下：因为EH∥VB，FG∥VB，
所以EH∥FG，可知E，H，G，F四点共面．
因为VB 平面EFGH，EH⊂平面EFGH，
所以VB∥平面EFGH．
同理可证AC∥平面EFGH．
点评证明线面平行时，先在平面内找与已知直线平行的直线，若找不到，再添加辅助线．添加辅助线一般要结合特殊点、特殊图形，添加的辅助线多为中线、高线、中位线或特殊图形的边．
探究四直线与平面平行的性质定理的应用
1．性质定理可作为直线和直线平行的判定方法．应用时，需要经过已知直线找平面(或作平面)与已知平面相交，以平面为媒介证明线线平行．
2．定理中的三个条件：(1)直线a ∥平面α；(2)平面α，β相交，即α∩β＝b ；(3)直线a 在平面β内．缺一不可．
定理的应用流程可表示如下：
【典型例题4】 如图，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；
(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值X 围．
思路分析：(1)利用线面平行的判定和性质定理进行证明；(2)利用图形相似的性质来求边长．
解：(1)证明：因为四边形EFGH 为平行四边形，
所以EF ∥HG ．因为HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．
因为EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，
所以EF ∥AB ，易得AB ∥平面EFGH ．同理，CD ∥EH ，所以CD ∥平面EFGH ．
(2)设EF ＝x (0<x <4)，由于四边形EFGH 为平行四
边形，EF ∥AB ，CD ∥EH ，
所以CD ∥FG ，CF CB ＝4
x ． 故FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－4x ．从而FG ＝6－32
x ． 于是四边形EFGH 的周长为l ＝3262x x ⎡
⎤+-
⎢⎥⎣⎦＝12－x ．
又0＜x＜4，所以8＜l＜12，
即四边形EFGH周长的取值X围为(8,12)．
点评线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用：先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称为平行链，如下：
线线平行在平面内作
或找一条直线
线面平行
作或找经过直线的平面
与已知平面的交线
线线平行
探究五易错辨析
易错点：将b⊄α与b∥α等同而致误
【典型例题5】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．
已知：直线a∥b，a∥平面α，a，b⊄α．求证：b∥α．
错解：因为直线a∥b，所以a与b无公共点．
又因为a∥平面α，所以a与平面α也无公共点，
又b⊄α，所以b与α无公共点，所以b∥α．
错因分析：b⊄α包含b∥α和b∩α＝M两种情况，上面证明误认为b⊄α即意味着b∥α而致错．
正解：如图所示，过a及平面α内一点A作平面β，
设β∩α＝c．因为a∥α，所以a∥c．
因为a∥b，所以b∥c．因为b⊄α，c⊂α，所以b∥α．
点评条件中有a∥α，为了利用直线和平面平行的性质定理，因此过a作平面β与α相交，这里我们把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，作辅助平面是把空间问题向平面问题转化的一种手段．
和平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时，一定要确认这个平面是存在的．在本例中就是以“直线及此直线外一点确定一个平面”为依据作出辅助平面的．。