江苏省扬州中学2013届高三3月月考数学试题

江苏省扬州中学数学阶段练习试卷
2013.3.9 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1．已知集合{}11M =-，，
1
1242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬
⎩⎭Z ，，则M N = __ ． 2．如果复数2()
3bi
b R i -∈+的实部与虚部互为相反数,则b = .
3．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________．
4．
12cos
log
12
sin
log
2
2
π
π
+的值为 ．
5．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是_____个．
6．已知0)3)(2(:,44:>--<-<-x x q a x p ，若p ⌝是q ⌝的充分条件，则实数a 的取值范围是 ．
7. 正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 是线段AO 上一点，且BMC ∠是直
角，则MO AM
的值为 .
8．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为c b ,，则方程02
=++c bx x 有实根的概
率为 ．
9.若数列
{}
n a 的通项公式
2
1
(1)n a n =
+，记12()2(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算
(1)
f 、(2)f 、(3)f 的值，推测出()f n = ．
10．在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别a,b,c,若
2
2
2
12
a b c
+=
.则直线0a x b y c -+=被圆
2
x +2
9y =所截得的弦长为 ．
寿命（h ）
11.若正数a b ，满足12=+b a ，则ab b a +
+2
24的最大值为 .
12．如图，已知椭圆)
0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x
的左、右准线分
别为21,l l ，且分别交x 轴于D C ,两点，从1l 上一点A 发出一条光线经过椭圆的左焦点F 被x 轴反射后与2l 交于点B ，若
AF BF
⊥，且75ABD ∠=︒，则椭圆的离心率等于 ．
13．已知函数sin ()x f x x
=
，下列命题正确的是 。

（写出所有正确命题的序号）
①()f x 是奇函数； ②对定义域内任意x ，()f x <1恒成立；
③当
32
x π
=
时，()f x 取得极小值； ④(2)(3)f f >； ⑤当x>0时，若方程|()f x |=k 有且仅
有两个不同的实数解,()αβαββ>则·cos α=－sin β。

14. 已知连续
*
21()
n n N +∈个正整数总和为a ，且这些数中后n 个数的平方和与前n 个数的
平方和之差为b ．若11
60a
b
=
，则n 的值为 ．
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分） 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且,sin 2sin .
a b A A B ≥+=
（1）求角C 的大小；
（2）求a b
c
+的最大值．
16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P ABC D -中，AB ∥D C ，2D C AB =，
AP AD =，PB
⊥A C ，BD ⊥A C ，E 为PD 的中点．
求证：（1）AE ∥平面PBC ； （2）PD ⊥平面AC E ．
D
C
B
A E P （第16题图）
17．（本小题满分15分）
如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l （宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE
满足函数
2
2(0y x x =-+≤≤
）的图象，且点M 到边OA
距离为
24
(
)
3
3t t ≤≤
．
（1）当
2
3t =
时，求直路l 所在的直线方程；
（2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取
到最大，最大值是多少？
18. （本小题满分15分）
给定椭圆C ：222
2
1(0)
x
y a b a
b
+
=>>，称圆心在原点O C 的“准
圆”．已知椭圆C 的一个焦点为
0)
F ，其短轴的一个端点到点F
（1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；
（2）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x
⊥轴，求AB AD ⋅
的取值范围；
（3）在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断12,l l 是否垂直？并说明理由．
19．（本题满分16分） 已知有穷数列
{}
n a 共有2k 项（整数2k ≥），首项12a =，设该数列的前n 项和为n S
，且
12(1,2,3,,21).
1
n n a S n k a +-=
=-- 其中常数 1.a >学科网
⑴求
{}
n a 的通项公式；学科网
⑵若2
21
2k a -=，数列
{}
n b 满足
2121log (),(1,2,3,,2),
n n b a a a n k n
=
=
求证：
12
n b ≤≤；学科网
⑶若⑵中数列{}
n b 满足不等式：
1221233334
22
22k k b b b b --
+-
++-
+-
≤ ，求k 的最大
值．
20．（本小题满分16分）
已知
)
0()(>-
=a x a x x f ，bx x x g +=ln 2)(，且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切．
（1）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1=a 时，求最大的正整数k ，使得对]3,[e （ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）内的任意k 个实数
k
x x x ,,,21 都有
)
(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立；
（3）求证：)
12ln(1
441
2
+>-∑
=n i i n
i )
(*
N n ∈．
附加题 1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤11，属于特征值1
的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．
2
．已知圆的极坐标方程为：
2
cos 604πρθ⎛
⎫
--
+= ⎪⎝
⎭
．
⑴将极坐标方程化为普通方程；
⑵若点P(x ，y)在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．
3.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，焦点F 的坐标为（1，0）。

（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）设M 、N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为4-，直线MO 、NO 与抛物线的交点分别为点A 、B ，求证：动直线AB 恒过一个定点。

考试号________________ 学号_____ 班级___________ 姓名_____________
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………
4.已知集合{}n a a a a A ,,,,321⋅⋅⋅=，其中()2,1>≤≤∈n n i R a i ，()A l 表示
()
n j i a a j i ≤<≤+1的所有不同值的个数．
（1）已知集合{}8,6,4,2=P ，{}16,8,4,2=Q ，分别求()P l ，()Q l ； （3）求()A l 的最小值．
江苏省扬州中学数学阶段练习试卷答案 3.9
1．}1{- 2．1 3.2 4．2- 5．650 6．]6,1[- 7. 1 8．3619
9．12
++n n 10．72 11.1617 12．2
2
6- 13．②④⑤ 14．5
15.解：（1）sinA ＋3cosA ＝2sinB 即2sin(A ＋ π 3)＝2sinB ，则sin(A ＋ π
3
)＝sinB ． 因为0＜A ，B ＜π，又a≥b 进而A≥B ， 所以A ＋
π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π
3
．
（2）由正弦定理及（Ⅰ）得
a ＋
b
c ＝sinA ＋sinB sinC ＝23[sinA ＋sin(A ＋ π 3)]＝3sinA ＋cosA ＝2sin(A ＋ π
6)． 当A ＝
π
3时，a ＋b c
取最大值2．
16．证明：（1）取PC 中点F ，连结EF ，BF ，∵E 为PD 中点，∴EF ∥D C 且EF =1
2
D C
．∵AB ∥D C 且
12
AB DC
=
，∴EF
∥AB 且EF =AB ．∴四边形ABFE 为平行四边形． ∴AE ∥BF
． ∵AE ⊄平面PBC ，BF ⊂
平面PBC ，
∴AE ∥平面P B C .
（2）∵PB ⊥A C ，BD ⊥A C ，P B B D B = ，∴AC ⊥平面PBD ．∵
PD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥PD ． ∵AP AD =，E 为PD 的中点，
∴PD AE ⊥．∵
A E A C A
= ，∴PD ⊥平面AC E
.
F
P
E A B
C
D
（第16题图）
17.（1）
022912:),914,32(
=-+y x l M
（2）)2,(2
+-t t M ，过切点M 的切线)(2)2(:2
t x t t y l --=+--
即222
++-=t tx y ，令2=y 得
2t
x =
，故切线l 与AB 交于点)
2,2
(t ；
令0=y ，得
t t x 12+=
，又t t x 1
2
+
=
在]34
,32[
递减，所以]
611,1217[12∈+=t t x
故切线l 与OC 交于点)
0,12
(t t
+。

∴地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，
面积
t t t t
t S 1
42)2
212
2(2
1-
-=⋅-+--=2
)1
(4≤+-=t t ，等号1=t ，2max =S 。

18.解：（1）由题意知c =
a =
，可得1b =，
故椭圆C 的方程为2
2
1
3
x
y +=，其“准圆”方程为22
4x y +=．
（2）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(m <，则有2
2
1
3m
n +=，
又A 点坐标为(2,0)，故
(2,),(2,)
AB m n AD m n =-=--
，
故2222
(2)44(1)
3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--
2
2
44343()
3
3
2
m m m =
-+=
-
,
又m <，故2
4
3()[0,73
2
m -
∈+，
所以AB AD ⋅
的取值范围是[0,7+．
（3）设(,)P s t ，则22
4s t +=．
当s =1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥．
当s ≠(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ， 则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得
2
2
3[()]3
x kx t ks ++-=，即222
(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，
由
2
2
22
36()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=，
可得
2
2
2
(3)210
s k stk t -++-=，其中2
30s -≠，
设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，
故
22
122
2
11(4)1
33t
s k k s
s
---=
=
=---，即12l l ⊥．
综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥．
.资.源. 19．解：⑴
1122211n n n
n n a a S S a a +-≥⎧⎪⎨--==⎪--⎩
时，， 两式相减得
11112
2,,1
1
n n
n n
n n n n n
n n a a a a S S a a a a a a a a a
++-+----==
∴=⋅--∴=
当1n =时
211222,2,
1
a a S a a a -==
=∴=- w.w .w.zxxk.c.o.m 则，数列
{}
n a 的通项公式为
1
2.
n n a a
-=⋅
⑵把数列{}
n a 的通项公式代入数列
{}
n b 的通项公式，可得
212212221log ()
1(log log log )
124221(1)(1)(1)2121211(1)222111.
21
n n n b a a a n
a a a n k n k k k n n n n k n k ==+++-⎡⎤
=++++++⎢⎥---⎣⎦-⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦
-=+
-
12,1 2.
n n k b ≤≤∴≤≤
⑶数列
{}
n b 单调递增，且
1311310,0,
221
2
221
2k k k k b b k k +--
=-<-
=
->--
则原不等式左边即为 12
1
2
22
1221233
333322
2222()().
21
k k k k k k k k b b b b b b k
b b b b b b k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭=+++-+++=
-
由2
4
21
k
k ≤-
可得2
840,44k k k -+≤-≤≤+因此整数k 的最大值为7。

20.解：（1）设点
)
,(00y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点，则有
2
2ln 2000-=+x bx x ． （*）
b
x
x g +='2)( ，2
20
=+∴
b x ． （**）
由（*）、（**）两式，解得0=b ，x x g ln 2)(=．
由)()(x g x f ≥整理，得x
x x
a
ln 2-≤，
1≥x ，∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立，必须x x x a ln 22-≤恒成立．
设
x
x x x h ln 2)(2
-=，2
ln 22)1(ln 22)(--=⋅
+-='x x x
x x x x h ，
x x h 2
2)(-
='' ，∴当1≥x 时，0)(≥''x h ，则)(x h '是增函数，
)1()(='≥'∴h x h ，)(x h 是增函数，1)1()(=≥h x h ，1≤a ．
因此，实数a 的取值范围是10≤<a ．
（2）当1=a 时，
x x x f 1)(-
=，
11)(2
>+
='x
x f ，)(x f ∴在]3,[e 上是增函数，)(x f 在]3,[e 上的最大值为
38)3(=
f ．
要对]3,[e 内的任意k 个实数
k
x x x ,,,21 都有
)
(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++-
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
当3121====-k x x x 时不等式左边取得最大值，e x k =时不等式右边取得最小值． 2
163
8)1(⨯≤⨯
-∴k ，解得13≤k ．因此，k 的最大值为13．
（3）证明：当1=a 时，根据（1）的推导有，),1(+∞∈x 时，)()(x g x f >，
即
)
1(21ln x x x -
<
． 令
1212-+=
k k x ，得
)
12121212(211
212ln
+---+<
-+k k k k k k ，
化简得
144)12ln()12ln(2
-<
--+k
k k k ，
∑∑==-<
--+=
+n
i n
i i
i
i i n 1
2
1144)]12ln()12[ln()12ln(．
附加题答案
1．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡
⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，
即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤ 3－2，
即3c －2d ＝－2，解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 23
－12 －13 12． 2．⑴22
4460x y x y +--+=；
⑵圆的参数方程为2,2,
x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪
⎩
所以
42sin 4x y πα⎛
⎫+=++ ⎪
⎝⎭，那么x ＋y 最大值为6，最小值为2．
3.(1)设抛物线的标准方程为)
0(22
>=p px y
，则2
,12
==p p
，
所以抛物线方程为
x
y
42
=
（2）抛物线C 的准线方程为1-=x ，设),1(),,1(21y N y M --，其中4
21-=y y ，
直线MO 的方程：
x
y y 1-=，将
x
y y 1-=与
x
y
42
=联立解得A 点坐标)
4,4(
1
2
1
y y -。

同理可得B 点坐标)4,4(
2
2
2
y y -
，则直线AB 的方程为：
2
1
2
2
2
11
2
1444444y y y x y y y y -
-=
+-
+
整理得044)(21=+-+x y y y ，故直线AB 恒过定点（1,0）。

4. 解：（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14， 得l(P)＝5
由2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24， 得l(Q)＝6
（3）不妨设a1＜a2＜a3＜…＜an ，可得
a1＋a2＜a1＋a3＜…＜a1＋an ＜a2＋an ＜a3＋an ＜…＜an －1＋an ， 故ai ＋aj (1≤i ＜j ≤n)中至少有2n －3个不同的数，即l(A)≥2n －3．
事实上，设a1，a2，a3，…，an 成等差数列，考虑ai ＋aj (1≤i ＜j ≤n)，根据等差数列的性质，当i ＋j ≤n 时， ai ＋aj ＝a1＋ai ＋j －1；当i ＋j ＞n 时， ai ＋aj ＝ai ＋j －n ＋an ；
因此每个和ai ＋aj(1≤i ＜j ≤n)等于a1＋ak(2≤k ≤n)中的一个，或者等于al ＋an(2≤l ≤n －1)中的一个．故对这样的集合A ，l(A)＝2n －3，所以l(A)的最小值为2n －3．。