畅优新课堂八年级数学下册 16.2 二次根式的运算(第2课时)教学案 (新版)沪科版-(新版)沪科版

二次根式的运算
1．二次根式的加减
(1)几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．
(2)在合并同类二次根式时，只需要把二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变．
(3)合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律．
(4)二次根式加减的方法
二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并．
(5)二次根式的加减法的一般步骤：
①将每一个二次根式化成最简二次根式；
②找出其中的同类二次根式；
③合并同类二次根式．
知识点拓展：(1)①当式子中有括号时要先去括号，并且在运算过程中应注意符号；②二次根式的加减与整式的加减相类似，体现了数学中的类比思想，在学习时应注意对比理解和应用．
(2)在进行二次根式的加减时，易出现以下几个方面的错误：①去括号时符号错；②合并同类二次根式时易漏掉系数为1的二次根式；③把不是同类二次根式的根式进行了合并，从而导致错误的出现．
【例1】计算：(1)32－8；(2)8＋18
2
.
解：
2．二次根式的加减混合运算
(1)二次根式的加减，就是合并同类二次根式．
(2)合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数与被开方数不变．
(3)进行二次根式的加减运算时，过去在学习整式的加减运算中的交换律，结合律及去括号，添括号法则仍然适用．
二次根式的加减运算结果应写成最简结果或几个被开方数不相同的二次根式的
和．
【例2】计算：
(1)－23－32＋53＋42； (2)(
1
2
－1
3
)－( 4.5－0.75)． 分析：进行二次根式的加减法可按一化(把二次根式化成最简二次根式)、二看(看被开方数是否相同)、三合并(把被开方数相同的二次根式进行合并)的步骤进行．(1)题中的每个二次根式都是最简二次根式，可直接识别出：－23与53，－32与42被开方数相同，因此可直接进行合并．
解：(1)－23－32＋53＋4 2 ＝(－2＋5)3＋(－3＋4)2＝33＋ 2. (2)原式＝(122－133)－(322－1
23)
＝122－133－322＋1
2 3 ＝(12－32)2＋(－13＋1
2) 3 ＝－2＋1
6 3.
3．二次根式的混合运算
整式混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时要先算括号里面的．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是完全相同的，其最终结果一定要化为最简形式．并且我们在前面所学习的运算律：加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律以及分配律在二次根式的混合运算中同样适用；所学习的乘法公式：平方差公式a 2
－b 2
＝(a ＋
b )(a －b )，完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2对于二次根式的混合
运算也同样适用，它们可以使二次根式的运算更为简便．
名师归纳：(1)二次根式的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减．②有括号时要先算括号里面的．
(2)说明：①运算过程中一定要注意符号；②运算结果一定要化为最简形式．(理解并掌握) 知识点拓展：(1)在二次根式的运算中，整式运算中的运算律(加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律以及分配律)同样适用．(2)在二次根式的运算中，多项式乘法法则与乘法公式仍然适用，常用的公式有：①平方差公式：a 2
－b 2
＝(a ＋b )(a －b )；②完全平方公式：(a ±b )2
＝a 2
±2ab ＋b 2
. 【例3－1】计算：
(1)(2＋23－6)(2－23＋6)； (2)
13－2
＋
25－3
－2
2－5
5－2
. 分析：(1)利用平方差公式计算，把23－6看作一个整体．(2)先把分母去掉，再进行计算．
解：(1)(2＋23－6)(2－23＋6) ＝[2＋(23－6)][2－(23－6)] ＝(2)2－(23－6)2
＝2－(18－122)
＝－16＋12 2.
(2)
1
3－2
＋
2
5－3
－
2
2
－
5
5－2
＝3＋2
(3－2)(3＋2)＋
2(5＋3)
(5－3)(5＋3)
－22
2·2
－
5(5＋2)
(5－2)(5＋2)
＝3＋2＋5＋3－2－(5＋25)
＝23－5－5.
【例3－2】计算：30÷(6－5)．
分析：解答本题时易出现如下错解：原式＝30÷6－30÷5＝5－ 6.显然，由5－6＜0，则得出两个正数相除结果为负的错误结果，解法有错，错就错在误用了所谓除法分配律，分配律不能在除法中随意套用．
解：原式＝
30
6－5
＝
30(6＋5)
(6＋5)(6－5)
＝306＋30 5.
4．二次根式的综合运用
二次根式的综合运用，知识面比较广，有化简、求值以及新题型等．解决这类问题的关键是熟练掌握基本知识和常用的数学思想．
(1)化简求值题要注意先化简，再求值，此类题常与分式一起综合命题．
如果直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错．通过观察已知条件和欲求值的式子，发现它们是否都可以化简，这样采取变更问题的条件和结论的方法，然后采取整体代入思想，
比较容易求出问题的解来．
(2)灵活运用乘法公式，可使计算过程得到简化．
形如(52＋35)(52－35)这样的式子，可利用平方差公式计算． (3)利用二次三项式的变形，也可以解决有关分式的求值问题．
二次三项式x 2
±xy ＋y 2
可变为(x ±y )2
∓xy 的形式，于是，两个互为倒数的二次根式相加，我
们可以套用a b ＋b a ＝(a ＋b )2－2ab ab 这一规律把它化简．形如：“已知x ＝3＋23－2，y ＝3－2
3＋2
时，
求x y ＋y x
的值．”这样的题目可以利用此法解决．
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2(7－5)，求下列各式的值．
(1)x 2
－xy ＋y 2
；(2)x y ＋y x
.
解：因为x ＝12(7＋5)，y ＝1
2(7－5)，
所以x ＋y ＝7，xy ＝1
2
.
(1)x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y )2－3xy ＝(7)2
－3×12＝512
.
(2)x y ＋y x ＝x 2＋y 2xy
＝(x ＋y )2
－2xy
xy ＝(7)2
－2×
121
2
＝12.
【例4－2】已知x ，y 为非负整数，且x ＋y ＝ 2 004，求x ＋y 的值．
分析：若a ＋b ＝c (a ，b ，c 为非负数)，则a ，b ，c 是同类二次根式，这是一个常
用的性质，由题可知x ，y ， 2 004是同类二次根式，又 2 004＝2501，所以设x ＝
a 501，y ＝
b 501(a ，b 为非负整数)，再由已知可求得x ，y 的值，从而可求出x ＋y 的
值．
解：∵x ＋y ＝ 2 004，
∴x ，y 与 2 004是同类二次根式． 又∵ 2 004＝2501，
∴可设x ＝a 501，y ＝b 501， 则a 501＋b 501＝2501，∴a ＋b ＝2. 由题意可知a ，b 为非负整数，
∴当⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝1时，⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝501，
y ＝501，∴x ＋y ＝1 002；
当⎩⎪⎨
⎪⎧ a ＝0，b ＝2
时，⎩⎪⎨
⎪
⎧ x ＝0，y ＝2 004，
∴x ＋y ＝2 004；
当⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝0时，⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2 004，
y ＝0，∴x ＋y ＝2 004.
∴x ＋y 的值为1 002或2 004.
点拨：当两个二次根式可以合并时，说明这两个二次根式是同类二次根式，所以x ，y 与2 004是同类二次根式．
5．易错疑难辨析
易错点1 判断二次根式是否为同类二次根式时，未化到最简而出错
易错点解读：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须先把每一个二次根式化为最简二次根式之后再判断，易出现的错误是不化简直接判断． 易错点2 在二次根式的运算中应用运算律不当而出错
易错点解读：只有乘法有分配律，除法没有分配律，在运算过程中，易把乘法分配律错误地用在除法上，从而导致错误．
易错点3 合并同类二次根式时，易忽略将系数加括号而出错
易错点解读：在二次根式的混合运算中，化简、合并二次根式时，很多二次根式的前面是多项式，整个多项式是二次根式的系数，不要忘记加括号，以免导致计算结果的错误．
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2
与3a 是同类二次根式．
错解：√ 解析：
a
2不是最简二次根式，由于a 2
＝a
2
＝
2a 2，所以a
2
与3a 不是同类二次根式． 正解：×
点拨：在判断两个根式是否是同类二次根式时，一定要注意两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方式为最简式． 【例5－2】计算：12÷(
1
2＋1
3)． 错解：12÷(12
＋
1
3)＝
122
＋
123＝6×22＋4×3
3
＝6＋2. 正解：12÷(
12
＋13
)＝12÷(22＋3
3
)＝12÷
32＋236＝23×6
32＋23
＝123(32－23)
(32＋23)(32－23)
＝123(32－23)6＝23(32－23)＝66－12.
解题策略：乘法有分配律，除法没有分配律，在运算过程中，不能把除法按乘法分配律直接运算．
【例5－3】计算12a ＋34a 3－78a a 5－1
4a
2a 7.
错解：原式＝12a ＋3a 4a －7a 8a －a 4a ＝12＋3a 4－7a 8－a 4a ＝12－3
8a a .
解析：在二次根式的计算过程中，逆用乘法分配律时忽略了加括号而出错． 正解：原式＝12a ＋3a 4a －7a 8a －a 4a ＝(12＋3a 4－7a 8－a 4)a ＝(12－3
8
a )a .
解题策略：在合并同类二次根式时，将系数相加的和作为系数．有时二次根式的系数为多项式，那么整个多项式是二次根式的系数，不能忘记加括号．。