学案7：2.2.2 对数函数及其性质（一）

2.2.2 对数函数及其性质（一）
学习目标
1．理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)
2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点) 基础·初探
教材整理1 对数函数的概念 阅读教材，完成下列问题．
对数函数：一般地，我们把函数 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域为 ．
练一练1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝1
log 2
x
是对数函数．( ) (2)函数y ＝2log 3x 是对数函数．( )
(3)函数y ＝log 3(x ＋1)的定义域是(0，＋∞)．( ) 教材整理2 对数函数的图象和性质 阅读教材，完成下列问题．
对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表所示：
定义域：
练一练2.（1）函数y ＝log (3a －1)x 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________． （2）函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)恒过定点________． 教材整理3 反函数 阅读教材，完成下列问题．
反函数：对数函数y ＝log a x 与指数函数 (a >0，且a ≠1)互为反函数． 练一练3.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的反函数为g(x )，则g(x )＝________.
对数函数的概念
例1 (1)下列函数表达式中，是对数函数的个数有( )
①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ； ⑦y ＝log 2(x ＋1)．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
(2)若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________. 名师指导
1．判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)底数a >0，且a ≠1；
(2)自变量x 在真数的位置上，且x >0；
(3)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，真数必须是x .
2．对数函数的解析式中只有一个参数a ，故用待定系数法求对数函数的解析式时只需一个条件即可求出．
跟踪训练1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________. 类型二：对数函数的定义域
例2 (1)函数f (x )＝
12
1log 1
x +的定义域为( )
A ．(2，＋∞)
B ．(0,2)
C ．(－∞，2) D.⎝⎛⎭
⎫0，1
2 (2)函数f (x )＝
1
2－x
＋ln(x ＋1)的定义域为____________________________． (3)函数f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为___________________________. 名师指导
求与对数函数有关的函数的定义域问题应遵循的原则为： 1.要保证根式有意义； 2.要保证分母不为0；
3.要保证对数式有意义，即若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1. 跟踪训练2．
（1）函数f (x )＝3－x ＋lg(x ＋1)的定义域为( ) A ．[－1,3) B ．(－1,3) C ．(－1,3]
D ．[－1,3]
（2）函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭
⎫1
2，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫
12，1 探究共研型
综合类：对数函数的图象及性质
探究1 对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过哪一定点？ 函数f (x )＝log a (2x －1)＋2(a >0且a ≠1)的图象又过哪一定点呢？
探究2 如图，曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别对应y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，你能指出a 1，a 2，a 3，a 4以及1的大小关系吗？
例3 (1)已知a ＞0且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )
(2)作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．
名师指导
函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称．
跟踪训练3．函数y＝a－x与y＝log a(－x)的图象可能是()
课堂检测
1．已知函数f(x)＝
1
1－x
的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝()
A．{x|x>－1} B．{x|x<1}
C．{x|－1<x<1} D．∅
2．若f(x)是对数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.
3．函数f(x)＝log a(2x＋1)＋2(a＞0且a≠1)必过定点________．
4．已知函数y＝f(x)与g(x)＝log3x(x＞0)互为反函数，则f(－2)＝________. 5．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)当0<a<2时，利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值．
参考答案
基础·初探
教材整理1 对数函数的概念
y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1) ；x ；(0，＋∞) 练一练1. 【答案】 (1)× (2)× (3)×
【解析】 (1)×.对数函数中自变量x 在真数的位置上，且x >0，所以(1)错； (2)×.在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，所以(2)错；
(3)×.由x ＋1>0得x >－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错． 教材整理2 对数函数的图象和性质 (0，＋∞)； (1,0) ；增函数；减函数 练一练2.（1）【答案】 ⎝⎛⎭⎫
13，23
【解析】 由题意可得0<3a －1<1，解得13<a <2
3，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23. （2）【答案】 (2,1)
【解析】 当x ＝2时，y ＝1，故恒过定点(2,1)． 教材整理3 反函数 y ＝a x
练一练3. 【答案】 12
log x
【解析】 f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的反函数为g (x )＝12
log x .
对数函数的概念
例1 【答案】 (1)B (2)－3
【解析】 (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a ∈R 不能保证a >0，且a ≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x ＋2)，(x ＋1)，
∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义．
(2)由题意设f (x )＝log a x ，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a －
2＝4，故a ＝12
，即f (x )＝12
log x ，
所以f (8)＝12
log 8＝－3.
跟踪训练1．【答案】 4
【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2－2a －8＝0a ＋1>0
a ＋1≠1，解得a ＝4.
类型二：对数函数的定义域
例2 【答案】 (1)B ；(2)(－1,2) ；(3)⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪
12
<x <2，且x ≠1 【解析】 (1)要使函数f (x )有意义，则12
log x ＋1>0，即12
log x ＞－1，解得0＜x ＜2，即函
数f (x )的定义域为(0,2)，故选B. (2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1>02－x ≥0
2－x ≠0即⎩
⎪⎨⎪⎧
x >－1
x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)． (3)由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧ －4x ＋8>02x －1>0
2x －1≠1，
解得⎩⎨⎧
x <2
x >1
2
x ≠1.
故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
12<x <2，且x ≠1. 跟踪训练2． （1）【答案】 C
【解析】 根据题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
3－x ≥0x ＋1>0，解得－1＜x ≤3，
∴f (x )的定义域为(－1,3]．故选C. （2）【答案】 A
【解析】 要使函数y ＝log 3(2x －1)有意义，有⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1>0
log 3(2x －1)≥0，解得x ≥1，
所以函数f (x )的定义域是[1，＋∞)．故选A.
探究共研型
综合类：对数函数的图象及性质
探究1 【答案】 对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)；在f (x )＝log a (2x －1)＋2中，令2x －1＝1，即x ＝1，则f (x )＝2，所以函数f (x )＝log a (2x －1)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,2)．
探究2 【答案】 作直线y ＝1，它与各曲线C 1，C 2，C 3，C 4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a 4>a 3>1>a 2>a 1>0. 例3 (1) 【答案】 C
【解析】∵函数y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，∴它们的图象关于直线y ＝x 对称． 再由函数y ＝a x 的图象过(0,1)，y ＝log a x 的图象过(1,0)，排除选项A ，B ，从C ，D 选项看，y ＝log a x 递减，即0＜a ＜1，故C 正确．
(2) 解：第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图(1)所示．
(1) (2)
第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得y ＝log 2(x ＋1)的图象， 如图(2)所示．
第三步：将y ＝log 2(x ＋1)的图象在x 轴下方的部分作关于x 轴的对称变换， 得y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
(3) (4)
跟踪训练3．【答案】 C
【解析】 ∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0，∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A ，D ；当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数，y ＝a －
x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是减函数，故排除B ；当0＜a ＜1时， y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －
x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件，故选C.
课堂检测 1．【答案】 C
【解析】 由题意得M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}，则M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 2．【答案】
x
【解析】 设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，
则f (2)＝log a 2＝2，即a ＝2， 所以f (x )＝
x .
3．【答案】 (0,2)
【解析】 令2x ＋1＝1，得x ＝0，此时f (x )＝2，故函数f (x )＝log a (2x ＋1)＋2(a ＞0且a ≠1)必过定点(0,2)． 4．【答案】 19
【解析】 ∵函数y ＝f (x )与g (x )＝log 3x (x ＞0)互为反函数，∴f (x )＝3x ，则f (－2)＝3－
2＝19.
5． 解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示：
(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2. 由如图所示的图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)． 故当0<a <2时，不存在满足f (a )>f (2)的a 值．。