期权定价理论的发展

期权定价理论的发展
期权定价理论是现代金融学的重要组成部分，本文主要介绍了以早期的期权定价理论、Black-Scholes期权定价理论及Black-Scholes期权定价理论的扩展为体系的期权定价理论的发展过程。

标签：期权定价股票价格Black-Scholes模型
近几十年来金融衍生证券在全球范围内获得迅猛发展，期权问题及投资消费问题越来越引起国内外数学家、金融学家的广泛重视，要对风险进行有效的管理，就必须对金融衍生证券进行正确的估价，如何确定金融衍生证券的公平价格是它们合理存在与健康发展的关键。

在所有的衍生证券定价中，期权定价的研究最为广泛。

一、早期的期权定价理论
期权的价格是一种风险价格，长期以来，人们一直在探索着利用各种因素正确评估资产风险的有效方法。

1900年，法国数学家Louis Bachelier发表了论文“投机理论”，提出了最早的期权定价模型，它假设股票价格是绝对的Brown运动，单位时间方差为σ2，且没有漂移，则买方期权的价值为:
二、Black-Scholes期权定价理论
期权定价理论的最新革命开始于1973年，Black和Scholes发表了经典论文“期权定价及公司债务”，提出了著名的Black-Scholes期权定价公式;Merton發表了另一篇论文“期权的理性定价理论”在若干方面作了重要推广，使得期权定价理论取得了突破性的进展。

他们在股票价格服从对数正态分布的假设下，运用无套利原则推导出标的资产为不付红利股票的欧式期权定价公式:
三、Black-Scholes期权定价理论的扩展
Black-Scholes模型为投资者提供了适用于股票的任何衍生证券的且计算方便的定价公式，但它的推导和应用也受到各种假设条件的约束，这使它在理论和应用上存在缺陷。

以Merton为代表的经济学家在此基础上，对模型进行了研究和推广。

主要有以下的几个方面:
1.支付已知红利股票的期权定价。

在期权定价的过程中，“红利”被定义为在除权日由红利支付引起的股票价格的减少额。

Merton考虑了一种以每年同一比率q的股票价格从t时刻的S增加到T时刻的ST，则没有红利支付时的股票价
格将从t时刻的S增加到T时刻的或是从t时刻的增加到T时刻的ST。

由于支付和不支付红利的股票价格的最终值都是相同的，所以给予一种价格为S支付连续红利率为q的股票的欧式期权与基于一种价格为不支付红利的股票的相应的欧式期权有相同的价值。

2.Merton随机利率模型。

Black-Scholes模型假定无风险利率r为常数且对所有的到期日相同，所以面对现实的变动利率时Black-Scholes模型就需要进行修正。

由于利率的波动接近于随机变动，因此Merton考虑了利率是随机变量的期权定价模型。

如果定义B(t)为与期权同时到期且到期时支付给持有人$1的贴现债券的价值。

Merton假设B(t)遵循以下过程:
变量μB时债券价格的增长率，是随机变量;σB是B(t)的波动率，假定为时间的已知函数；dzB是维纳过程。

Merton得出的欧式看涨期权的定价公式为:
3.Merton跳跃—扩散模型。

前面所有的股票价格都是连续变动的，但是现实市场股票的价格分布往往不是光滑移动，而呈现间断的“跳空”过程，于是Merton 提出了一种股票价格遵循跳跃过程的模型，在股票的几何Brown运动之上加了各种跳跃。

设μ为股票的预期回报，λ为跳跃发生频率，k为平均跳跃幅度占股票价格上升幅度的比率。

假定跳跃幅度的比例从模型的概率分布中抽取，由跳跃带来的平均增长率为λk，由此几何Brown运动提供的预期增长率为μ－λk。

因此，Merton的跳跃过程可以表为:
早期的期权定价理论的提出，推动了期权定价理论的发展，为后来的Black －Scholes模型奠定了基础。

Black-Scholes期权定价公式是现代金融学的最杰出成就之一，是经济学中唯一一个先于实践的理论，并在理论和实践中得到了广泛的接受，为其它金融衍生证券的定价奠定了基础，也为其它领域的经济估算铺平了道路。

而以Merton为代表的经济学家对Black-Scholes模型进行了推广，使其适用于更为广泛的金融衍生证券和更为宽泛和普遍的经济环境中。

参考文献:
[1]张陶伟译:期权、期货和衍生证券．北京：华夏出版社，1997
[2]孙国红:数学金融学中的期权定价问题．天津商学院学报，2003，3：22-25
[3]陈耀辉:公司股权及债券的期权定价．荆州师范学院学报(自然科学版)，2002，5:14-16
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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