天津市民族中学八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典题(培优练)

一、选择题

1．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且2CE DE =．将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：

①ABG AFG △≌△；②BG GC =；③//AG CF ；④3FGC S =．其中正确结论的个

数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4C

解析：C

【分析】 由正方形和折叠的性质得出AF ＝AB ，∠B ＝∠AFG ＝90°，由HL 即可证明

Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；

设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，由勾股定理求出x ＝3，得出②正确；

由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB ＝∠FCG ，证出平行线，得出③正确； 根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积,即可求证④．

【详解】

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，

∵CD ＝3DE ，

∴DE ＝2，

∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，

∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，

∴AF ＝AB ，

∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，

AG AG AB AF =⎧⎨=⎩

， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），

∴①正确；

∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，

∴BG ＝FG ，∠AGB ＝∠AGF ，

设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，

在Rt △ECG 中，由勾股定理得：CG 2＋CE 2＝EG 2，

∵CG ＝6−x ，CE ＝4，EG ＝x ＋2

∴（6−x ）2＋42＝（x ＋2）2

解得：x ＝3，

∴BG ＝GF ＝CG ＝3，

∴②正确；

∵CG ＝GF ，

∴∠CFG ＝∠FCG ，

∵∠BGF ＝∠CFG ＋∠FCG ，

又∵∠BGF ＝∠AGB ＋∠AGF ，

∴∠CFG ＋∠FCG ＝∠AGB ＋∠AGF ，

∵∠AGB ＝∠AGF ，∠CFG ＝∠FCG ，

∴∠AGB ＝∠FCG ，

∴AG ∥CF ，

∴③正确；

∵△CFG 和△CEG 中，分别把FG 和GE 看作底边，

则这两个三角形的高相同． ∴35CFG CEG S

FG S GE ==， ∵S △GCE ＝

12×3×4＝6， ∴S △CFG ＝35×6＝185

， ∴④不正确；

正确的结论有3个，

故选：C ．

【点睛】

本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．

2．在ABCD 中AB BC ≠．F 是BC 上一点，AE 平分FAD ∠，且E 是CD 的中点，则下列结论：①AB BF =；②AF CF CD =+；③AF CF AD =+；④AE EF ⊥，其中正确的是（ ）

A ．①②

B ．②④

C ．③④

D ．①②④C 解析：C

【分析】

首先延长AD ，交FE 的延长线于点M ，易证得△DEM ≌△CEF ，即可得EM ＝EF ，又由AE 平分∠FAD ，即可判定△AEM 是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE ⊥EF ，进而可对各选项进行判断．

【详解】

解：延长AD ，交FE 的延长线于点M ，

∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD ∥BC ，

∴∠M ＝∠EFC ，

∵E 是CD 的中点，

∴DE ＝CE ，

在△DEM 和△CEF 中，

M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△DEM ≌△CEF （AAS ），

∴EM ＝EF ，

∵AE 平分∠FAD ，

∴AM ＝AF ，AE ⊥EF ．

即AF ＝AD +DM ＝CF +AD ；故③，④正确，②错误．

∵AF 不一定是∠BAD 的角平分线，

∴AB 不一定等于BF ，故①错误．

故选：C ．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

3．如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠<︒，BC AB >．作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是（ ）

A ．::a b CD BC =

B ．D ∠的度数为α

C ．若60α=︒，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABC

D 面积的一半

D ．若60α=︒，则平行四边形ABCD )a b +C 解析：C

【分析】 由平行四边形的性质得出//AD BC ，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，得出180D C ∠+∠=︒，求出180EAF C ∠+∠=︒，得出B D EAF α∠=∠=∠=；由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，求出

30BAE DAF ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出BE AE =

=，

DF ，得出2AB BE =，2AD DF ==，求出平行四边形

ABCD 的周长2())AB AD a b =+=

+；求出ABE ∆的面积212BE AE =⨯=，

ADF ∆的面积2=，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=，得出四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积

22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半；即可得出结论． 【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，

//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，

180D C ∴∠+∠=︒，

AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，

360290180EAF C ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，

B D EAF α∴∠=∠=∠=；

平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =⨯=⨯，AE a =，AF b =，

BC a CD b ∴⨯=⨯，

::a b CD BC ∴=；若60α=︒，

则60B D ∠=∠=︒，

30BAE DAF ∴∠=∠=︒，

BE AE ∴==，DF =，

2AB BE ∴==，2AD DF ==，

∴平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；

ABE ∆的面积21122BE AE a =⨯=⨯=，ADF ∆的面积

21122DF AF b =⨯=⨯，平行四边形ABCD 的面积