“超级全能生”全国卷26省联考高考数学试题(乙卷)理

超级全能生2016届高考全国卷26省联考（乙卷）
数学（理）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知1{|2,1},{|1}1x U y y x A x x ==≥-=≥-，则U C A =( ) A ． 1[,2]2
B ．[2,)+∞
C ．1[,2][2,)2+∞U
D ．1[,2)(2,)2+∞U 2、复数z 满足z i z i
=-，则z =( ) A ． 12i + B ．12i - C ．1i + D ．1i - 3、执行如图所示的程序框图，则输出的k 的为( )
A ． 7
B ．8
C ．9
D ．10
4、从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为( )
A ． 23
B ．13
C ．19
D ．18
5、如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A ． 163
B ．4
C ．3
D ．2 6、在平面内，过定点P 的直线10mx y +-=与过定点Q 的直线30x my -+=相交与点M ，则MP MQ 的最大值是( )
A ． 102
B ．10
C ．10
D ．5 7、若函数()f x 同时满足以下三个性质：①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()4f x π
-+
()0f x -=；③()f x 在(,)42ππ上是减函数，则()f x 的解析式可能是( ) A ． ()sin 2cos2f x x x =+ B ．()sin 2f x x = C ．()sin()8f x x π=+
D ．()cos2f x x = 8、设,x y 满足约束条件3274x y x y a
+≤⎧⎨-≤⎩，且z ax y =+的最大值为4，则a =( )
A ． 2
B ．23
C ．-2
D ．-4 9、若函数()()12,f x f x 满足12()()0(0)a
a f x f x dx a -⋅=>⎰，则称()()12,f x f x 是区间[]
,a a -上的一组Γ函数，给出下列四组函数：
①()()2
12,1f x x f x x ==+ ②()()12cos ,tan f x x f x x ==
③()()1221,21f x x f x x =-=+
④()()12sin ,cos f x x f x x ==
其中是区间11[,]22
-上的Γ函数的组数是( )
A ． 0
B ．1
C ．2
D ．3 10、已知,a b r r 是单位向量，且夹角为60o ，若向量p u r 满足12
a b p --=r r u r ，则p u r 的最大值为( )
A ． 12
B ．1
C ．32
D ．2 11、如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为( )
A ． 圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
12、已知函数()22ln ()x x m f x x +-=，若存在[]1,2x ∈使得()()0f x x f x '⋅+>，则实数m 的取值范围是( )
A ． (,2)-∞
B ．5(2,)2
C ．5(0,)2
D ．5(,)2-∞
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.
13、已知:,:21p x m q x ≤-<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是
14、已知n 为正整数，在2(1)n x -于(1)n x +展开式中2x 项的系数相同，则n =
15、在等腰ABC ∆中，,26AB AC AC BC =+=u u u r u u u r ，则ABC ∆面积的最大值为
16、设12,F F 是椭圆2
2:15
x C y +=的两焦点，点P （异于点12,F F ）关于点12,F F 的对称点分别为点12,P P ，线段PQ 的中点在椭圆C 上，则12
PQ PQ +=
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
数列{}n a 的前n 项和为2,222,n n n S S a n n n N *+=++∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}()n n a n ⋅-的前n 项和n T 。

18、（本小题满分12分）
某商场五一记性抽奖促销活动，当人在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动抽奖情况如下：
抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽
取一个，且不放回抽取），第一种抽奖方式：若抽得红球，获奖金10圆；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，第二种抽奖方式：抽到白球或黑球才中奖，若抽到白球，获奖金50元；若抽到黑球获奖金100元。

（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，用第一种抽奖方式进行抽奖，求获得奖金70元的概率；
（2）若偶顾客在该商场当日消费金额为1200元，请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他有利。

19、（本小题满分12分）
已知三棱锥P-ABC ，平面PBC ⊥平面ABC ，∆ABC 是边长为2的等边三角形，O 为它的中心，2PB PC ==，D 为PC 的中点。

（1）若边PA 上是否存在一点E ，使得A C ⊥平面BOE ，若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角P-BD-O 的余弦值。

20、（本小题满分12分）
已知抛物线2:(0)C y ax a =>的交点为F ，直线2x =与x 轴相交于点M ，与曲线C 相交于点N ，且45
MN FN = （1）求抛物线C 的方程；
（2）过点F 的直线l 交抛物线C 与A 、B 两点，AB 的垂直平分线m 与C 相交于C 、D 两点，使
0AC AD ⋅=u u u r u u u r ，求直线l 的方程。

21、（本小题满分12分）
已知函数()31,3
f x x x m m R =++∈ （1）求()f x 在[]0,1上的最值；
（2）是否存在m 的值，当[]0,1x ∈时，2
[()2]1f x m +≤恒成立，若存在求出m 的范围；若不存在，
请说明理由。

请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分） 选修4-1 几何证明选讲
已知AB 、DE 为圆O 的直径，CD ⊥AB 于N ，N 为OB 的中点，EB 与CD 相交于点M ，切线EF 与DC 的延长线交于点F 。

（1）求证：EF=FM ；
（2）若圆O 的半径为1，求EF 的长。

23、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，缺陷3:(sin x C y ααα
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，直线4:2sin cos l ρθθ
=+ （1）求曲线C 与直线l 的直角坐标方程；
（2）若P 、Q 分别为曲线C 与直线l 上的两动点，求PQ 的最小值以及此时点P 的坐标。

24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲
已知()(0)2x f x x x =≥+
（1）比较()3f 与(10)f 的大小；
（2）求证：222x y x y
x y x y ++≥++++。