人教版八年级上《152分式的运算》例题与讲解

15.2 分式的运算
1．分式的乘除
(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：a b ·c d ＝a ·c b ·d
. (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
用式子表示为：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·d b ·c
. 分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式． 【例1】 计算：(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b
； (2)a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1
； (3)a 2－4a 2＋4a ＋4·2a a 2－4a ＋4
； (4)4x 2＋4xy ＋y 2
2x ＋y
÷(4x 2－y 2)． 解：(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b ＝4a 4b 2·9x 15x 2·8a 4b ＝3b 10x
； (2)a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1
＝（a ＋1）（a －1）
（a ＋1）2·a ＋1a （a －1）
＝（a ＋1）（a －1）（a ＋1）
a （a ＋1）2（a －1）
＝1a ； (3)a 2－4a 2＋4a ＋4·2a a 2－4a ＋4
＝
（a ＋2）（a －2）
（a ＋2）2·2a （a －2）2 ＝2a （a ＋2）（a －2）
（a ＋2）2（a －2）2
＝2a a 2－4； (4)4x 2＋4xy ＋y 2
2x ＋y ÷(4x 2－y 2) ＝（2x ＋y ）2
2x ＋y
·1（2x ＋y ）（2x －y ） ＝
12x －y . 2．分式的乘方
(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
(2)用式子表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n
b n .
解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．
【例2】 计算：
(1)⎝⎛⎭⎫a 2－b 34；(2)⎝⎛⎭
⎫x 2y －z 23. 解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 34＝（a 2）4（－b 3）4＝a 8b 12； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －z 23＝（x 2y ）3
（－z 2）3＝x 6y 3
－z 6＝－x 6y 3z 6. 3．分式的加减
(1)同分母分式相加减：
①法则：分母不变，把分子相加减；
②用式子表示：a c ±b c ＝a ±b c
. (2)异分母分式相加减：
①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；
②用式子表示：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bc bd
. 警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；
(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式
加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；
(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．
【例3】 计算：
(1)（a －b ）22ab ＋（a ＋b ）2
2ab
； (2)a a 2－1－11－a 2
； (3)1x ＋y －1x －y ＋2x x 2－y
2； (4)12m 2－9＋23－m
； (5)x －3x 2－1－2x ＋1
； (6)4a ＋2
－a －2. 解：(1)（a －b ）22ab ＋（a ＋b ）2
2ab
＝（a －b ）2＋（a ＋b ）2
2ab
＝a 2－2ab ＋b 2＋a 2＋2ab ＋b 22ab ＝2a 2＋2b 2
2ab
＝a 2＋b 2
ab
； (2)a a 2－1－11－a 2＝a a 2－1＋1a 2－1
＝a ＋1
a 2－1＝a ＋1
（a ＋1）（a －1）＝1a －1
； (3)1x ＋y －1x －y ＋2x x 2－y
2 ＝1x ＋y －1x －y ＋2x （x ＋y ）（x －y ）
＝（x －y ）－（x ＋y ）＋2x
（x ＋y ）（x －y ）
＝2x －2y
（x ＋y ）（x －y ）
＝2（x －y ）
（x ＋y ）（x －y ）＝2x ＋y
；
(4)12
m2－9＋2
3－m
＝12
（m＋3）（m－3）
－2
m－3
＝12
（m＋3）（m－3）－
2（m＋3）（m＋3）（m－3）
＝
12－2（m＋3）（m＋3）（m－3）
＝
－2（m－3）（m＋3）（m－3）
＝－2
m＋3
；
(5)x－3
x2－1－2 x＋1
＝
x－3
（x＋1）（x－1）
－
2（x－1）
（x＋1）（x－1）
＝x－3－2（x－1）
（x＋1）（x－1）
＝
－（x＋1）
（x＋1）（x－1）
＝－1
x－1
；
(6)4
a＋2－a－2＝4
a＋2
－(a＋2)
＝4 a＋2－
（a＋2）
1
＝4
a＋2
－
（a＋2）2
a＋2
＝4－（a＋2）2
a＋2
＝
4－a2－4a－4
a＋2
＝－a2＋4a a＋2
.
4．整数指数幂
一般地，当n是正整数时，a－n＝1
a n(a≠0)．这就是说，a
－n(a≠0)是a n的倒数．这样引入负
整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．
根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，a m÷a n＝a m－n，a m·a－n＝a m＋(－n)＝a m－n，因此a m÷a n＝a m·a－n.
特别地，a
b＝a÷b＝a·b
－1，所以⎝⎛⎭⎫
a
b
n
＝(a·b－1)n，即商的乘方⎝⎛⎭⎫
a
b
n
可以转化为积的乘方(a·b－1)n.
这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为： (1)a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是整数)；
(2)(a m )n ＝a mn (m ，n 是整数)；
(3)(ab )n ＝a n b n (m ，n 是整数)．
【例4】 计算：
(1)⎝⎛⎭
⎫－23－2； (2)a 2b －3(a －1b )3÷(ab )－1.
解：(1)⎝⎛⎭⎫－23－2＝1⎝⎛⎭⎫－232＝149
＝94； (2)a 2b －3(a －1b )3÷(ab )－1＝a 2b －3·a －3b 3·ab ＝a 0b ＝b .
5．科学记数法
(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为原数整数部分的位数减1；
(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a ×10
－n 的形式，其中n 为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a |＜10.
提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小．
【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来：
(1)650 000；
(2)－36 900 000；
(3)0.000 002 1；
(4)－0.000 006 57.
解：(1)650 000＝6.5×105；
(2)－36 900 000＝－3.69×107；
(3)0.000 002 1＝2.1×10－6；
(4)－0.000 006 57＝－6.57×10－6.
6．分式的乘除混合运算
分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算．
谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式．
7．分式的混合运算
分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式．
解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定．
8．把分式化简后再求值
分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．
【例6】 计算：1－x 2x 2＋4x ＋4÷(x －1)2·x 2＋3x ＋2x －1
. 分析：按照从左到右的顺序依次运算，把除法运算转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式或整式．
解：1－x 2x 2＋4x ＋4÷(x －1)2
·x 2＋3x ＋2x －1 ＝（1＋x ）（1－x ）
（x ＋2）2
·1（x －1）2·（x ＋1）（x ＋2）x －1
＝－（x ＋1）2（x ＋2）（x －1）2.
【例7】 计算：⎣⎡⎦⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab ÷⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2·2a 2－b 2＋2ab
. 解：原式＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab 2·2a 2－b 2＋2ab ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab ·（ab ）2（a ＋b ）2·2a 2－b 2＋2ab ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab （a ＋b ）2·2a 2－b 2＋2ab
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 2－b 2（a ＋b ）2＋2ab （a ＋b ）2·2a 2－b 2＋2ab ＝a 2－b 2＋2ab （a ＋b ）2·2a 2－b 2＋2ab
＝2（a ＋b ）2
. 【例8】 先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫3x x －1－x x ＋1·x 2－12x ，其中x ＝－3.
解：原式＝3x （x ＋1）－x （x －1）（x ＋1）（x －1）
·（x ＋1）（x －1）2x ＝3x 2＋3x －x 2＋x 2x ＝2x 2＋4x 2x ＝2x ·（x ＋2）2x
＝x ＋2. 当x ＝－3时，原式＝－3＋2＝－1.
9.运用分式运算解决实际问题
运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题．
作差法举例：若x ≠y 且x ＞0，y ＞0，比较4x ＋y 与x ＋y xy
的大小． 解：4x ＋y －x ＋y xy ＝4xy －（x ＋y ）2xy （x ＋y ）＝－（x －y ）2xy （x ＋y ）
. 因为x ≠y ，x ＞0，y ＞0.
所以－（x －y ）2
xy （x ＋y ）＜0，即4x ＋y
＜x ＋y xy . 【例9】 甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出168个零件，乙生产出144个零件，则他们两人谁能先完成任务？
解：设甲每小时生产这种零件x 个，则乙每小时生产这种零件(x －8)个，甲完成任务需要时间为168x 小时，乙完成任务需要时间为144x －8
小时． 168x －144x －8＝168（x －8）－144x x （x －8）＝24（x －56）x （x －8）
. ∵x ＞8，∴x －8＞0，∴x (x －8)＞0.
故当x ＞56时，168x －144x －8＞0；
当x ＝56时，168x －144x －8＝0； 当x ＜56时，168x －144x －8
＜0. 所以若甲每小时生产零件多于56个，则乙先完成任务；若甲每小时生产零件等于56个，则两人同时完成任务；若甲每小时生产零件小于56个且多于8个，则甲先完成任务．
10．分式混合运算的开放型题
运用分式的混合运算解决开放型问题，关键还是进行分式的混合运算，只是题目具有一定的开放性，所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．
举例：已知P ＝a 2＋b 2a 2－b 2，Q ＝2ab a 2－b 2
，用“＋”或“－”连接P ，Q 共有三种不同的形式：P ＋Q ，P －Q ，Q －P ，请选择其中一种进行化简求值，其中a ＝3，b ＝2.
【例10】 已知A ＝1x －2，B ＝2x 2－4，C ＝x x ＋2
.将它们组合成(A －B)÷C 或A －B÷C 的形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x ＝3.
解：选一：(A －B)÷C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2－2x 2－4÷x x ＋2
＝x （x ＋2）（x －2）×x ＋2x ＝1x －2
， 当x ＝3时，原式＝
13－2＝1. 选二：A －B÷C ＝1x －2－2x 2－4÷x x ＋2
＝1x －2－2（x ＋2）（x －2）
×x ＋2x ＝1x －2－2x （x －2）＝x －2x （x －2）＝1x
， 当x ＝3时，原式＝13
.。