【红对勾】高中数学 第三章单元综合测试 新人教A版必修5

第三章单元综合测试
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
1．已知实数x 满足x 2
＋x <0，则x 2
，x ，－x 的大小关系是( ) A ．－x <x <x 2
B ．x <x 2
<－x C ．x 2
<x <－x
D ．x <－x <x 2
解析：根据条件x 2
＋x <0可得x 2
<－x 且－1<x <0，因此x －x 2
＝x (1－x )<0，故x <x 2
<－x 成立．
答案：B
2．若a <0，－1<b <0，则有( ) A ．a >ab >ab 2
B ．ab 2
>ab >a C ．ab >a >ab 2
D ．ab >ab 2
>a
解析：特殊值法，如取a ＝－1，b ＝－1
2，可验证D 项正确．
答案：D
3．设a ＝2x 2
－x ＋1，b ＝x 2
＋x ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ≥b
D ．a ≤b
解析：a －b ＝x 2
－2x ＋1＝(x －1)2
≥0. 答案：C
4．下列不等式中，解集为R 的是( ) A ．x 2
＋4x ＋4>0 B ．|x |>0 C ．x 2>－x
D ．x 2
－x ＋14
≥0
解析：A 项x ＝－2时，x 2
＋4x ＋4＝0，B 项x ＝0时，不成立．C 项x ＝0时不成立．D 项，x 2
－x ＋14＝(x －12
)2≥0.
5．关于x 的不等式mx 2
＋8mx ＋28<0的解集为{x |－7<x <－1}，则实数m 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：∵不等式mx 2
＋8mx ＋28<0的解集为{x |－7<x <－1}，∴－7，－1是方程mx 2
＋8mx
＋28＝0的两个根，且m >0，∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
－7－1＝－8m m
，
－
－
＝28m
，
∴m ＝4.故选D.
答案：D
6．图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( )
A ．x ＋y －1>0
B ．x ＋y －1≤0
C ．x －y －1<0
D ．x ＋y －1≥0
解析：代入(0,0)点验证，(0,0)不在区域内，且边界为虚线，故选A. 答案：A
7．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( ) A.|a ＋b |
2
≥|ab | B.b a ＋a b
≥2
C.
a 2＋
b 2
2
≥(
a ＋b
2
)2
D ．(a ＋b )(1a ＋1
b
)≥4
解析：(
a ＋b
2
)2
＝a 2＋b 2＋2ab
4≤
a 2＋
b 2＋a 2＋b 24
＝
a 2＋
b 2
2.
当且仅当a ＝b 时取等号，∴
a 2＋
b 2
2
≥(
a ＋b
2
)2
.
8．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8.则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112
解析：∵2xy ≤(
x ＋2y
2
)2
，
∴8＝x ＋2y ＋2xy ≤x ＋2y ＋(
x ＋2y
2
)2
令x ＋2y ＝t ，∴14
t 2
＋t －8≥0，
∴t ≥4或t ≤－8，∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥4， 即x ＋2y 的最小值为4. 答案：B
9．已知－1<a ＋b <3，且2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围是( ) A ．(－132，172)
B ．(－72，1
2)
C ．(－72，132
)
D ．(－92，132
)
解析：令A ＝a ＋b ，B ＝a －b ，则a ＝A ＋B
2
，b ＝
A －B
2，2a ＋3b ＝5A －B
2
.由－1<A <3,2<B <4，得－92<5A －B 2<132
.故选D.
答案：D
10．已知关于x 的不等式
x ＋1
x ＋a
<2的解集为P ，若1∉P ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) B ．[－1,0]
C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
D ．(－1,0]
解析：因为1∉P ，所以1＋11＋a ≥2或者a ＝－1⇔a
a ＋1≤0或者a ＝－1⇔－1≤a ≤0.
答案：B
11．设直角三角形两直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则a 4
＋b 4
和c 4
＋h 4
的大小关系是( )
A ．a 4
＋b 4
<c 4
＋h 4
B ．a 4＋b 4>c 4＋h 4
C ．a 4
＋b 4
＝c 4
＋h 4
D ．不能确定
解析：由面积公式可知ab ＝ch ，则a 4＋b 4－(c 4＋h 4)＝(a 2＋b 2)2－(c 2＋h 2)2＝(a 2＋b 2
－
c 2－h 2)(a 2＋b 2＋c 2＋h 2)
＝－h 2
(a 2
＋b 2
＋c 2
＋h 2
)<0. 答案：A
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋
x ，－x －
x ，则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是
( )
A ．{x |x ≥－3}
B ．{x |x ≥1}
C ．{x |－3≤x ≤1}
D ．{x |x ≥1，或x ≤－3}
解析：当x －1<0时，原不等式化为x ＋(x ＋1)x ≤3，解得－3≤x <1；当x －1≥0时，原不等式化为x ＋(x ＋1)[－(x －1)－1]≤3，解得x ≥1.综上可知，x ≥－3.故选A.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2
－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：由已知得：当a ＝2时，－4<0成立，
当a ≠2时⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ<0，
a －2<0，解得－2<a <2.
综上所述：－2<a ≤2. 答案：(－2,2]
14．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a
y
)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为
________．
解析：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋ax y ＋y
x
＋a ≥1＋a ＋
2a ＝(a ＋1)2
， ∴(a ＋1)2
≥9，∴a ≥4. 答案：4
15．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1
m
＋
4
n
的最小值是________．
解析：因为a 7＝a 6＋2a 5，所以a 5q 2
＝a 5q ＋2a 5，所以q ＝2，a m a n ＝a 1q
m －1
a 1q n －1＝a 212
m ＋n －2
＝16a 2
1，所以m ＋n ＝6，1m ＋4n ＝16(1m ＋4n )(m ＋n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥32
.
答案：3
2
16．设集合A ＝{(x ，y )|y ≥1
2|x －2|}，B ＝{(x ，y )|y ≤－|x |＋b }，A ∩B ≠∅.
(1)b 的取值范围是________．
(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，则b 的值是________．
解析：(1)集合A 所表示的区域为如图所示的阴影部分，已知A ∩B ≠∅，故b ≥1.
(2)(x ，y )∈A ∩B 为图中重叠阴影部分，要使x ＋2y 取最大值，必在(0，b )处，所以0＋2×b ＝9，所以b ＝9
2
.
答案：(1)b ≥1 (2)9
2
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知a ，b 是不相等的两个正数，求证： (a ＋b )(a 3
＋b 3
) >(a 2
＋b 2)2
. 证明：∵(a ＋b )(a 3
＋b 3
)－(a 2
＋b 2)2
＝(a 4
＋ab 3
＋ba 3
＋b 4
)－(a 4
＋2a 2b 2
＋b 4
) ＝ab (a －b )2
.∵a ，b ∈R ＋
且a ≠b ， ∴ab >0，(a －b )2
>0，∴ab (a －b )2
>0. ∴(a ＋b )(a 3
＋b 3
)>(a 2
＋b 2)2
.
18．(12分)已知函数f (x )＝－3x 2
＋a (6－a )x ＋c . (1)当c ＝19时，解关于a 的不等式f (1)>0.
(2)若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，求实数a ，c 的值．
解：(1)由已知有：f (1)＝－3＋a (6－a )＋19>0， 即a 2
－6a －16<0，解得－2<a <8. 所以不等式的解集为(－2,8)．
(2)由关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)可知： －1,3是关于x 的方程3x 2
－a (6－a )x －c ＝0的两个根，则有
⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋3＝
a
－a
3
，－1×3＝－c 3
，
解得a ＝3±3，c ＝9.
19．(12分)已知函数f (x )＝x 2
＋(lg a ＋2)x ＋lg b 满足f (－1)＝－2，且对于任意x ∈R ，恒有f (x )≥2x 成立．
(1)求实数a ，b 的值； (2)解不等式f (x )<x ＋5.
解：(1)由f (－1)＝－2知，lg b －lg a ＋1＝0，① ∴a b
＝10.②
又f (x )≥2x 恒成立，有x 2
＋x ·lg a ＋lg b ≥0恒成立，故Δ＝(lg a )2
－4lg b ≤0.将①式代入上式，得(lg b )2
－2lg b ＋1≤0，即(lg b －1)2
≤0，故lg b ＝1.即b ＝10，代入②，得a ＝100.
(2)由(1)知f (x )＝x 2
＋4x ＋1， ∵f (x )<x ＋5，∴x 2＋4x ＋1<x ＋5. ∴x 2
＋3x －4<0，解得－4<x <1. ∴不等式的解集为{x |－4<x <1}．
20．(12分)某投资公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 1与投资金额x 的函数关系为y 1＝18－
180
x ＋10
，B 产品的利润y 2与投资金额x 的函数关系为y 2＝x
5
，(注：利润与投资金额单位：万元)
(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中，其中x 万元资金投入A 产品，试把A ，B 两种产品利润总和表示为x 的函数，并写出定义域；
(2)试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
解：(1)其中x 万元资金投入A 产品，则剩余的100－x (万元)资金投入B 产品，利润总和
f (x )＝18－180
x ＋10
＋
100－x
5
＝38－x 5－180x ＋10
(x ∈[0,100])
(2)∵f (x )＝40－(
x ＋10
5
＋
180
x ＋10
)，x ∈[0,100]， ∴由基本不等式得：
f (x )≤40－236＝28，取等号当且仅当x ＋105＝180
x ＋10
时，即x ＝20.
答：分别用20万元和80万元资金投资A ，B 两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．
21．(12分)某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10 000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5 000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
解：设生产甲种肥料x 车皮，乙种肥料y 车皮能够产生利润z 万元． 目标函数为z ＝x ＋0.5y ， 约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋y ≤10，
18x ＋15y ≤66，
x ∈N ，
y ∈N .
可行域如图中阴影部分的整点．
当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大．
解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x ＋y ＝10，
18x ＋15y ＝66，得M 点坐标为(2,2)．
所以z max ＝x ＋0.5y ＝3.
答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．
22．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1
bx ＋c
(a ，b ，c ∈R ，a >0，b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )
有最小值2，其中b ∈N *
，且f (1)<52
.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)函数f (x )图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点，若存在，求出这两点的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即ax 2＋1b －x ＋c ＝－ax 2＋1
bx ＋c ，∴bx ＋c ＝
bx －c ，∴c ＝0.∵a >0，b >0，∴f (x )＝ax 2＋1bx ＝a b x ＋1
bx
≥2
a
b 2
，当且仅当x ＝1
a
时，等
号成立．∴2
a b 2＝2，∴a ＝b 2.由f (1)<52，得a ＋1b ＋c <52，即b 2＋1b <52，∴2b 2
－5b ＋2<0.解得12
<b <2.又b ∈N *
，∴b ＝1，a ＝1，∴f (x )＝x ＋1x
.
(2)设存在一点(x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上，则它关于(1,0)的对称点(2－x 0，－y 0)也
在y ＝f (x )的图象上，则x 20＋1
x 0＝y 0，且
－x 02
＋12－x 0
＝－y 0，消去y 0，得x 2
0－2x 0－1＝0，解
得x 0＝1± 2.∴y ＝f (x )的图象上存在两点(1＋2，22)，(1－2，－22)关于(1,0)对称．。