数学选修2-2预习导航：1.6 微积分基本定理 Word版含解析

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1．微积分基本定理

⎰f(x)d x

(1)定理内容：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么b

a

＝F(b)－F(a)．

这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．

⎰f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．

(2)符号表示：b

a

(3)作用：建立了积分与导数间的密切联系，并提供了计算定积分的有效方法．

思考1满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)是唯一的吗？这影响微积分基本定理的正确性吗？

提示：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)不是唯一的，这些函数之间相差一个常数，即[F(x)＋c]′＝f(x)，但这并不影响微积分基本定理，

⎰f(x)d x＝[F(x)＋c]|b a

因为b

a

＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)，

所以用一个最简单的原函数F(x)就可以．

思考2求导数运算与求原函数运算有什么关系？

提示：求导数运算与求原函数运算可以看做是互逆的运算，但一个函数的导函数是唯一的，而一个导函数的原函数却不止一个，这些原函数之间仅相差一个常数，在利用微积分基本定理计算定积分时，只要选用最简单的一个即可．

2．定积分和曲边梯形面积的关系

设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则

⎰f(x)d x＝S上．

(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则b

a

⎰f(x)d x＝－S下．

(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则b

a

⎰f(x)d x＝S上－S下．(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则b

a

⎰f(x)d x＝0.

若S上＝S下，则b

a