河南省郑州市中考数学二模试卷及答案(word解析版)

河南省郑州市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，计20分）
1．（2分）（•常德）3的倒数是．
考点：倒数．
分析：根据倒数的定义可知．
解答：解：3的倒数是．
点评：主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（2分）﹣y的系数是﹣，次数是3．
考点：单项式．
分析：根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
解答：解：根据单项式系数、次数的定义，数字因式﹣为单项式的系数，字母指数和为2+1=3，故系数
是3．
点评：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
3．（2分）（•盐城）因式分解：x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）．
考点：因式分解-运用公式法．
分析：直接运用平方差公式进行因式分解．
解答：解：x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）．
点评：本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a ﹣b）．
4．（2分）（•邵阳）函数y=中，自变量x的取值范围是x≥1．
考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．
专题：计算题．
分析：根据二次根式的意义，有x﹣1≥0，解不等式即可．
解答：解：根据二次根式的意义，有x﹣1≥0，
解可x≥1，
故自变量x的取值范围是x≥1．
点评：本题考查了二次根式的意义，只需保证被开方数大于等于0即可．
5．（2分）（•盐城）已知△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为2：3，那么它们的周长比是2：3．
考点：相似三角形的性质．
分析：根据相似三角形性质，相似三角形周长的比等于相似比可求．
解答：解：∵△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为2：3，
∴它们的周长比是2：3．
点评：本题考查对相似三角形性质的理解．
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
6．（2分）（•盐城）在正比例函数y=3x中，y随x的增大而增大（填“增大”或“减小”）．
考点：正比例函数的性质．
分析：根据正比例函数的性质可知．
解答：解：因为正比例函数y=3x中，k=3＞0，
故此函数为增函数，即y随x的增大而增大．
故填：增大．
点评：本题考查的是正比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知以下知识：
正比例函数y=kx中：
当k＞0时，图象位于一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，图象位于二、四象限，y随x的增大而减小．
7．（2分）（•盐城）若直角三角形斜边长为6，则这个直角三角形斜边上的中线长为3．
考点：直角三角形斜边上的中线．
分析：此题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形的性质直接求解．
解答：解：∵直角三角形斜边长为6，
∴这个直角三角形斜边上的中线长为3．
点评：解决此题的关键是熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
8．（2分）（•盐城）请写出你熟悉的两个无理数或．
考点：无理数．
专题：开放型．
分析：由于开方开不尽的数或无限不循环小数是无理数，根据此定义即可解答．
解答：解：例如，．（答案不唯一）．
点评：此题主要考查了无理数的定义，解答此题的关键是熟知无理数的定义：无理数为无限不循环小数．
9．（2分）（•郴州）已知⊙O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的位置关系是
相切．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：应用题；压轴题．
分析：圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切．
解答：解：∵圆心到直线的距离=圆的半径，
∴直线与圆的位置关系为相切．
点评：此题考查的是圆与直线的位置关系．
10．（2分）（•盐城）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=90°，则∠BCD=135度．
考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质．
专题：压轴题．
分析：根据圆周角定理可求出∠A的度数，由于圆内接四边形的对角互补，可求出∠BCD的度数．
解答：解：根据圆周角定理，得：∠A=∠BOD=45°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣45°=135°．
点评：本题综合考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用．
二.选择题（本大题共8小题，每小题3分，计24分）下列各题给出的四个选项中只有一个是正确的，
请将正确答案的字母代号填写在下面的表格内．
11．（3分）（•盐城）下列各式正确的是（）
A．a5+3a5=4a5B．（﹣ab）2=﹣a2b2C．D．m4•m2=m8
考点：二次根式的性质与化简；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析：根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、二次根式的化简的法则进行判断．
解答：解：A、合并同类项，正确；
B、（﹣ab）2=a2b2，错误；
C、=2，错误；
D、m4•m2=m6，错误．
故选A．
点评：（1）本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、二次根式的化简，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错；
（2）同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并．
12．（3分）（•盐城）已知a：b=2：3，那么（a+b）：b等于（）
A．2：5 B．5：2 C．5：3 D．3：5
考点：分式的基本性质．
专题：计算题．
分析：分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．根据此性质作答．
解答：解：由a：b=2：3，可得出3a=2b，
让等式两边都加上3b，得：3（a+b）=5b，
因此，（a+b）：b=5：3．
故选C．
点评：在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．
13．（3分）（•盐城）解分式方程时，可设=y，则原方程可化为整式方程是
（）
A．y2+2y+1=0 B．y2+2y﹣1=0 C．y2﹣2y+1=0 D．y2﹣2y﹣1=0
考点：换元法解分式方程．
专题：换元法．
分析：
观察方程的两个分式具备的关系，设=y ，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的方程．去分母即可．
解答：
解：把=y代入原方程得：y+=2，
方程两边同乘以y整理得：y2﹣2y+1=0．
故选C．
点评：换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
14．（3分）（•盐城）下列命题中假命题是（）
A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等D．菱形的对角线相等且互相平分
考点：命题与定理．
分析：平行四边形的对角线互相平分；
矩形的对角线相等；
等腰梯形的对角线相等；
菱形的对角线垂直且互相平分．
解答：解：根据特殊四边形的性质，知：
A、B、C正确；
D、菱形的对角线不相等，故错误．
故选D．
点评：本题考查命题的真假性，是易错题．
注意平行四边形和特殊平行四边形对角线特性的掌握．
15．（3分）（•盐城）某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现在园地上建一个花园（即每个图中的阴影部分），使花坛面积是园地面积的一半，以下图中的设计不合要求的是（）A．B．C．D．
考点：正方形的性质．
专题：压轴题．
分析：根据正方形的对称性，逐个进行判断，可知A、C、D中的花坛面积均是园地面积的一半，而D则不是．
解答：解：根据正方形的对称性可知：A、C、D 中的花坛面积都是，而B中的面积是1﹣﹣=．故选B．
点评：主要考查了正方形的对称性和基本性质．正方形性质：
边：两组对边分别平行，四条边都相等，相邻边互相垂直
内角：四个角都是90°，
对角线：对角线互相垂直，对角线相等且互相平分，每条对角线平分一组对角．
16．（3分）（•盐城）若直线y=3x+m经过第一，三，四象限，则抛物线y=（x﹣m）2+1的顶点必在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：二次函数的性质；一次函数的性质．
分析：由直线y=3x+m经过第一，三，四象限可判断m的符号，再由抛物线y=（x﹣m）2+1求顶点坐标，判断象限．
解答：解：∵直线y=3x+m经过第一，三，四象限，
∴m＜0，
∴抛物线y=（x﹣m）2+1的顶点（m，1）必在第二象限．
故选B．
点评：要求掌握直线性质和抛物线顶点式的运用．
17．（3分）（•盐城）一台机床在十天内生产的产品中，每天出现的次品个数依次为（单位：个）0，2，0，2，3，0，2，3，1，2．那么，这十天中次品个数的（）
A．平均数是2 B．众数是3 C．中位数是1.5 D．方差是1.25
考点：方差；算术平均数；中位数；众数．
专题：应用题；压轴题．
分析：根据平均数、众数、中位数、方差的概念计算后，再判断各选项的正误．
解答：解：由题意可知：这十天次品的平均数为=1.5，故A错误；
出现次数最多的数就叫这组数据的众数，则这组数据的众数是2，故B错误；
总数个数是偶数的，按从小到大的顺序，取中间的那两个数的平均数便为中位数，则中位数为，故C错误；
一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，则方差=1.25，故D正确．
故选D．
点评：正确理解中位数、众数及方差的概念，是解决本题的关键．
18．（3分）（•盐城）如图是一个圆柱形木块，四边形ABB1A1是经边它的轴的剖面，设四边形
ABB1A1的面积为S，圆柱的侧面积为S侧，则S与S侧的关系是（）
A．S=S
侧B．
S=
C．D．不能确定
考点：圆柱的计算．
专题：压轴题．
分析：侧面积=底面周长×高，四边形的面积=底面直径×高，算出后比较即可．
解答：解：设底面直径为d，高为h，则四边形ABB1A1的面积为S=dh．圆柱的侧面积为S
侧
=πdh，所以
．
故选C．
点评：本题的关键是设未知数，但又要把未知数当已知数来求．
三.解答题（本大题共4小题，计29分）
19．（6分）（•盐城）计算：（﹣（2﹣π）0+|﹣|﹣．
考点：实数的运算．
分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=2﹣1+﹣1=0．
点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
20．（7分）（•盐城）如图，甲、乙两楼相距36m，甲楼高度为30m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶的仰角为30°，问乙楼有多高（结果保留根式）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：应用题．
分析：分析题意可得：过点A作AE⊥CD，交CD于点E；可构造Rt△ACE，利用已知条件解可得：CE=12；而乙楼高CD=AB+CE；代入可得答案．
解答：解：过点A作AE⊥CD，交CD于点E；在Rt△ACE中，AE=36，∠CAE=30°，故CE=36×tan30°=12，
CD=AB+CE=30+12
答：乙楼高为（30+12）m．
点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．（8分）（•盐城）分别解不等式5x﹣2＜3（x+1）和，再根据它们的解集写出x与y的大小关系．
考点：解一元一次不等式．
专题：计算题．
分析：解不等式5x﹣2＜3（x+1），去括号移项得2x＜5，得x＜．
解不等式去括号，移项得2y＞8，解得：y＞4，然后比较x与y的大小．
解答：解：不等式5x﹣2＜3（x+1）的解集为，
不等式的解集为y＞4，
∴y＞x．
点评：先利用不等式的性质，分别求出两个不等式的解集，然后比较大小．
22．（8分）（•盐城）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，对角线AC⊥BD，垂足为E，AD=BD，过点E作EF∥AB交AD于F，
求证：（1）AF=BE；
（2）AF2=AE•EC．
考点：相似三角形的判定与性质；平行线的性质；直角梯形．
专题：证明题．
分析：（1）根据平行构造相似三角形，利用相似三角形的性质解答；
（2）因为AB⊥BC，所以△ABC为直角三角形，又因为AC⊥BD，所以可知△BCE∽△ABE，利用相似三角形的性质即可解答．
解答：证明：（1）∵EF∥AB，
∴△DFE∽△DAB．
∴=．
又∵DA=DB，
∴DF=DE．
∴DA﹣DF=DB﹣DE，即AF=BE．（2）∵AB⊥BC，
∴△ABC为直角三角形．
又∵AC⊥BD，
∴△BCE∽△ABE．
∴=，即EB2=AE•EC．
又∵AF=EB，
∴AF2=AE•EC．
点评：解答此题的关键是根据平行和直角三角形的性质找出图中的相似三角形，利用相似三角形的性质解答此题．要知道，EB2=AE•EC属于射影定理．
四.解答题（本大题共8小题，计77分）
23．（9分）（•盐城）已知关于x的一元次方程x2﹣（m+2）x+m2﹣2=0
（1）当m为何值时，这个方程有两个相等的实数根；
（2）如果这个方程的两个实数根x1，x2满足x12+x22=18，求m的值．
考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．
分析：（1）由于△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根，故建立关于m的方程，求得m的值；
（2）把等号左边进行整理，根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2即可得到关于m的方程，从而求解．解答：解：（1）根据题意得：△=[﹣（m+2）]2﹣4×（m2﹣2）=0
解得：m=﹣3；
（2）∵x12+x22=18
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=18
即（m+2）2﹣2×（m2﹣2）=18
解得m=2或m=﹣10
根据题意可得m≥﹣3才有实数根
∴m=2．
点评：解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式．注意所求值的取舍．
24．（9分）（•盐城）某气球内充满了一定质量的气球，当温度不变时，气球内气球的气压p（千帕）
是气球的体积V（米2）的反比例函数，其图象如图所示．（千帕是一种压强单位）
（1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
考点：反比例函数的应用．
专题：应用题．
分析：（1）设p与V的函数的解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把v=0.8代入可得p=120；
（3）由p=144时，v=，所以可知当气球内的气压＞144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于立方米．
解答：解：（1）设p与V的函数的解析式为，把点A（1.5，64）代入，解得k=96．∴这个函数的解析式为；（2）把v=0.8代入，p=120，
当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是120千帕；（3）由p=144时，v=，
∴p≤144时，v≥，
当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于立方米．
点评：主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．
25．（8分）（•盐城）如图，AB是⊙O的直径，DF切⊙O于点D，BF⊥DF于F，过点A作AC∥BF
交BD的延长线于点C．
（1）求证：∠ABC=∠C；
（2）设CA的延长线交⊙O于E，BF交⊙O于G，若的度数等于60°，试简要说明点D和点E关于直
线AB对称的理由．
考点：切线的性质．
专题：证明题．
分析：（1）作辅助线，连接OD，由DF为⊙O的切线，可得OD⊥DF，又BF⊥DF，AC∥BF，所以OD∥AC，∠ODB=∠C，由OB=OD得∠ABD=∠ODB，从而可证∠ABC=∠C；
（2）连接OG，OD，AD，由BF∥OD，=60°，可求证===60°由平行线的性质及三角形的内角和定理可求出∠OHD=90°，由垂径定理便可得出结论．
解答：证明：（1）连接OD，
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF．
∵BF⊥DF，AC∥BF，
∴OD∥AC∥BF．
∴∠ODB=∠C．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB．
∴∠ABC=∠C．（2）连接OG，OD，AD，
∵BF∥OD，
∴∠OBG=∠AOD，=．
∵=60°，
∴===60°．
∴OD∥BF∥AC．
∴∠ABC=∠C=∠E=30°，∠ODE=∠E=30°．
在△ODH中，∠ODE=30°，∠AOD=60°，
∴∠OHD=90°，
∴AB⊥DE．
∴点D和点E关于直线AB对称．
点评：本题考查的是切线的性质及圆周角定理，比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合
解答．
26．（9分）（•盐城）如图，给出了我国从1998年～年每年教育经费投入的情况．
（1）由图可见，1998年～年这五年内，我国教育经费投入呈现出逐年增长趋势；
（2）根据图中所给数据，求我国1998年～年教育经费的年平均数；
（3）如果我国的教育经费从年的5480亿元增加到年的7891亿元，那么这两年的教育经费平均增长率为多少？（结果精确到0.01）
考点：算术平均数；一元二次方程的应用．
分析：（1）从图中可以我国从1998年～年每年教育经费投入一年比一年高，所以呈现逐年增长的趋势；
（2）我国从1998年～年每年教育经费投入分别是2949亿元，3349亿元，3849亿元，4638亿元，5480亿元，所以教育经费的年平均数为（2949+3349+3849+4638+5480）÷5=4053亿元；
（3）第三问考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
解答：解：（1）根据图表可知我国教育经费投入呈现出趋势逐年增长趋势；（2）根据图表我国教育经费平均数=（2949+3349+3849+4638+5480）÷5=4053亿元；（3）设这两年的教育经费的平均增长率为x，
则5480（1+x）2=7891
解得x1≈0.20 x2≈﹣2.2（舍去）（结果精确到0.01）
∴x=0.20=20%．故答案为（1）逐年增长；
（2）我国1998年～年教育经费的年平均数为4053亿元；
（3）教育经费平均增长率为20%．
点评：本题主要考查的知识点：（1）平均数的求法；（2）涉及一元二次方程的平均变化率的求解．
27．（10分）（•盐城）已知y=ax2+bx+c经过点（2，1）、（﹣1，﹣8）、（0，﹣3）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）画出该抛物线的草图、并标出图象与x轴交点的横坐标；
（3）观察你所画的抛物线的草图，写出x在什么范围内取值时，函数值y＜0？
考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象．
分析：（1）直接利用图中的三个点的坐标代入解析式用待定系数法求解析式；
（2）令y=0，解关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣3=0，其解即为图象与x轴交点的横坐标；
（3）依据图象可知，当图象在x轴上方时，y＞0，在x轴下方时，y＜0，在x轴上时，y=0．
解答：解：（1）把点（2，1），（﹣1，﹣8），（0，﹣3）代入
可得
解得a=﹣1，b=4，c=﹣3
故y=﹣x2+4x﹣3；（2）当y=0时，﹣x2+4x﹣3=0
解得x=1或x=3
故图象与x轴交点的横坐标是1和3；（3）当x＜1或x＞3时，函数值y＜0．
点评：主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数及其图象的性质．
28．（11分）（•盐城）银河电器销售公司通过对某品牌空调市场销售情况的调查研究，预测从年1月份开始的6个月内，其前n个月的销售总量y（单位：百台）与销售时间n（单位：月）近似满足函数关系
式y=（n2+3n）（1≤n≤6，n是整数）．
（1）根据题中信息填写下表：
（百台）
第一个月的销售量
前两个月的销售量（百台）第二个月的销售量（百台）
前三个月的销售量（百台）第三个月的销售量（百台）
（2）试求该公司第n个月的空调销售台数W（单位：百台）关于月份的函数关系式．
考点：二次函数的应用．
专题：应用题．
分析：（1）先将月份1代入函数式中，求出1月份的销售量，然后将月份2代入函数式中求出1、2月份的销售量的和，然后减去1月份的销售量，就求出了2月份的销售量，然后按照此办法依次求出前3个月的销售总量和第3个月的销售量；
（2）根据（1）得出的1、2、3月份的单月销售量，观察它们大致符合什么函数，然后设出函数通式，用待定系数法求出函数的解析式即可．
解答：解：（1）
第一个月的销售量 1（百台）
前两个月的销售量2.5（百台）第二个月的销售量1.5 （百台）
前三个月的销售量4.5 （百台）第三个月的销售量2（百台）
（2）可设：W=kn+b，根据（1）中的填表信息可得：
，
解得：
即该函数关系式为：W=（1≤n≤6，n是整数）．
点评：本题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式．根据二次函数准确填表是解题的关键，要注意给出的二次函数中y代表的是前n个月的销售总量，而不是第n个月的销售量．
29．（10分）（•盐城）如图1，E为线段AB上一点，AB=4BE，以AE，BE为直径在AB的同侧作半圆，圆心分别为O1，O2，AC、BD分别是两半圆的切线，C、D为切点．
（1）求证：AC=BD；
（2）现将半圆O2沿着线段BA向点A平移，如图2，此时半圆O2的直径E′B′在线段AB上，AC′是半圆O2的切线，C′是切点，当为何值时，以A、C′、O2为顶点的三角形与△BDO1相似？
考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定．
专题：综合题；压轴题；分类讨论．
分析：（1）如果设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，那么根据AB=4BE，可知R=3r．连接O1D，O2C，那么O1B=5r，AO2=7r，可在直角△BO1D中求出BD的长，同理求出AC的长，即可得出AC，BD的比例关系；
（2）本题要分两种情况进行讨论：
①当∠CAO2=∠B时，O2C，O1D和AO2，BO1分别对应成比例．设AE′=kAB，那么可用k，r表
示出AE′的长，然后代入比例关系式中即可求出k的值．
②当∠CAO2=∠DO1B时，AO2，BO1和O2C，BD对应成比例，然后按①的方法即可求出此时k
的值．
解答：（1）证明：连接O1D，O2C，设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，
则R=3r
在直角三角形BO1D中
∵BO1=5r，O1D=3r
∴BD=4r，
同理可求得AC=4r
∴AC=BD；（2）解：设AE′=kAB，因此AE′=8kr
①当∠C′AO2=∠B时，，即
∴k=，
②当∠C′AO2=∠BO1D时，，即
∴k=，
或时，以A、C′、O2为顶点的三角形与△BDO1相似．
点评：本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，要注意（2）中要按不同的相似三角形对应的成比例线段是不同的，因此要分类讨论．不要漏解．
30．（11分）（•大庆）如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b
（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．
（1）求S△DBF；
（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；
（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．
考点：旋转的性质；正方形的性质．
专题：压轴题．
分析：（1）根据图形的关系，可得AF的长，根据三角形面积公式，可得△DBF的面积；
（2）连接AF，由题意易知AF∥BD；△DBF与△ABD同底等高，故面积相等；
（3）分析可得：当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值；分两种情况讨论可得其最大最小值．
解答：解：（1）∵点F在AD上，
∴AF2=a2+a2，即AF=a，
∴DF=b﹣a，
∴S△DBF=DF×AB=×（b﹣a）×b=b2﹣ab；（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，∴四边形AFDB是梯形，
∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底，
由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，
∴S△DBF=S△ABD=b2；（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆，
第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值，
因为△BFD的边BD=b，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值．
如图②所示DF⊥BD时，S△BFD的最大值=S△BFD=b•（+a）=，S△BFD的最小值=S△BFD=b•（﹣a）=，
第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值．
∴S△BFD的最大值=．（如果答案为4a2或b2也可）．
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．。