复数与复变函数

非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数
有理分式： a0 + a1z1+ + an zn b0 + b1z1 + + bn zn
n为整数
指数函数： w = e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y)
⎧x = ρ cos ϕ
⎨
⎪⎩ϕ = arctg( y / x)
⎨ ⎩
y
=
ρ
sin
Байду номын сангаас
ϕ
则复数z可表示为三角式： z = ρ (cosϕ + i sin ϕ )
代数式： z = ρeiϕ
ρ = z ϕ = Argz 分别叫做该复数的模,和辐角
讨论：i) 复数的幅角不能唯一地确定. 如果φ0是其中一个幅角， 则的φ幅=角φ称0为+2主kπ值(幅k=角0,±，1记,±为2,a…rg..)z也. 0是≤其ar幅g z角<，2 π把属于[0, 2 π)
(4)复平面：
z1 + z2 = z1 + z2 ,
z1z2 = z1z2 ,
⎜⎜⎝⎛
z1 z2
⎟⎟⎠⎞
=
z1 z2
一对有序 实数(x,y)
平面上一 点 (x,y)
复数x+iy
如果把 x 和 y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点 一一对应起来，这个平面叫做复数平面或 z平面，x 轴称为实 轴，y 轴称为虚轴.
(5)复数的几种表示法：
1) 几何表示：
一矢量与一复数z构成一一对应，复数的加减与矢量的加减一致 。
z1 + z2 ≥ z1 + z2
z1 − z2 ≤ z1 − z2
x ≤ z, y ≤ z x + y ≥ z
2) 复数的三角形式和指数形式
用极坐标r,φ代替直角坐标x和y来表示复数z.有
⎪⎧ρ = x2 + y2
于是
显然满足C--R条件，但在z=0点并不可微，因为：
f (z) =
xy , lim f (∆z) − f (0) = lim ∆x ∆y
∆z→0
∆z
∆x→0 ∆y→0
∆x
+
i∆y
当 Δz 沿射线Δy=k Δx趋于零时:
lim f (∆z) − f (0) = lim
k ∆x 2 =
k
∆z →0
∆z
=
∂u
+ i ∂v
∆x→0 ∆y→0
∆x + i∆y
∂x ∂x
(这一极限与∆z → 0的方式无关）
由上述定理可得：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别
，复变函数可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且
还要求其实部与虚部通过C--R条件联系起来。
例如：函数
由于 v(x, y) =0，
在z = 0点满足C--R条件，但不可微。
x
2 2
+ +
y1 y2 y22
+i
x2 y1 x22
− +
x1 y2
y
2 2
(x22 + y22 ≠ 0)
(2) 按定义：容易验证加法交换律、结合律，乘法交换律结合律
分配律均成立。
(3)共轭复数： z = x − iy 与 z = x + iy 互为共轭复数。
z = z, zz = x2 + y 2 , z + z = 2 Re z, z − z = 2i Im z
=
ρ1 ρ2
[cos(ϕ1
−
ϕ2
)
+
i
sin(ϕ1
−
ϕ
2
)]
=
ρ1 ρ2
ei(ϕ1 −ϕ2 )
(6) 复数的乘方与开方：
非零复数ｚ的整数n次幂为:
z n = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ ) = ρ neinϕ
ρ=1时 (cosϕ + i sinϕ )n = cos nϕ + i sin nϕ
2i
2
sinz为奇函数，cosz为偶函数，均以2为周期
shz = 1 (ez − e−z ), chz = 1 (ez + e−z )
2
2
若复数内 sin z ≤ 1, cos z ≤ 1 不一定成立
如 cos iy = eiy + e−i(iy) = e− y + e y > e y
2
2
2
y充分大，cosiy可以大于任意指定函数
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数 §1.3 导数 §1.4 解析函数 §1.5 平面标量场 §1.6 多值函数
§1.1 复数与复数运算
1. 复数的基本概念
(1) 复数：一对有序实数（x,y），记为z=x+i y称为复数（i2=-1），
规定：1）z1=z2=x1+
iy2=x2+
点解析与在一点可导不等价。
e z+i2kπ = e z (k=0,±1±2…) 以2πi为周期
e e = e z1 z2
z1 + z2
lim e z = 不存在
z →∝
lim e+∞ = ∞, lim e−∞ = 0
z →∝
z →∝
正余弦：sinz = 1 (eiz − e−iz ) cosz = 1 (eiz + e−iz )
∆z→0 ∆z
∆x→0 ∆y →0
∆x
+
i∆y
沿x轴时，Δy=0 上式 = lim ∆u + i∆v = ∂u + i ∂v
∆x→0 ∆x
∂x ∂v
沿y轴时，Δx=0
上式 = lim ∆u + i∆v = ∂v − i ∂u
∆y→0 i∆y
∂y ∂y
∴ ∂u = ∂v , ∂u = − ∂v ← Cauchy - Riemann条件 ∂x ∂y ∂y ∂x
zn
=
nz n−1
⎪d ⎪ dz
ez
= ez
⎪⎪ d ⎨
sin z
= cos z
⎪ dz
⎪ ⎪ ⎪
d dz
cos
z
=
−
sin
z
⎪ ⎪⎩
d dz
ln
z
=
1 z
4. 可导的必要条件 Cauchy-Riemann条件
若 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在 z=x+iy 可导，则
f ′(z) = lim ∆w = lim ∆u + i∆v
40 区域：满足下列两个条件的点集B称为区域。 （1） 每一点均为内点。（开集性） （2） 连续性：B内任意两点都可用完全属于B的曲线连接起来。 50 闭区域：B+边界Γ=闭区域 60单连域：在区域B作任何简单
闭曲线(没有重点）内所包围的点全属于B， 否则为多连通区域。
例: z −1 ≤ 2 是闭区域但不是区域。
2 . 区域的概念：满足一定条件的特殊集合，首先说明：
10 点的邻域：以Z0为中心（任意小正数）为半径的圆内点的集 合，称为z0的 ε邻域，即 z0 − z < ε
20 内点：若z0及其邻域的场属于E，则称z0为E的内点. 30 边界点：若z0的任意邻域总有属于点集E和不属于点集E的点
称为E的边界点。边界点的全体构成边界。
arg
z z
− +
i i
=
ϕ
=
arctan
g
x2
− +
2x y2
−1
0
<
arctan
g
x2
− +
2x y2
−1
<
π
4
0 < − 2x <1 x2 + y2 −1
于是有： x < 0, (x +1)2 + y2 > 2
§1.2 复变函数
1. 复变函数的定义： E为复数集，对E上每一复数，有唯一确定的 复数w与之对应，则称在E上确定了一个单值 函数， 记 w=f(z) (z∈E)。若z与多个w对应， 则称在E上确定义了一个多值函数，E为函数 的定义域。
⎪⎩ρ ∂ϕ ∂ρ
§1.4 解析函数
1. 定义：若函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导,则称f(z)在点z0 解析。又若函数f(z)在区域B上每一点都解析则称f(z)是区域 B上的解析函数.
注意：1)有时说：“函数 f(z)在某点解析”，是指在该点的某一
邻域内处处可导。在B上解析与在B上可导等价，在一
∆x→0 ∆x + ik∆x 1 + ik
∆y→0
与k 有关，沿不同的射线，k 值不同，所以该极限不存在，从
而函数在z = 0点不可微.
在极坐标系中， z = ρ e iϕ f (z) = u(ρ,ϕ ) + iv(ρ,ϕ )
哥西-黎曼条件为:
⎧ ∂u ⎪⎪ ∂ρ
=
1 ρ
∂v ∂ϕ
⎨ ⎪
1
∂u
=
−
∂v
⎧d
⎪ ⎪
dz
(w1 +w2 )
=
dw1 dz
+
dw2 dz
⎪d ⎪ dz
(w1w2
)
=
dw1 dz
w2
+
w1
dw2 dz
⎪
⎪d
⎨ ⎪
dz
( w1 w2
)
=
w1/ w2 − w1w2 / w2 2
⎪ ⎪
dw
= 1/
dz
⎪ dz dw
⎪d ⎪⎩ dz
F (w)
=
dF . dw dw dz
⎧d
⎪ ⎪
dz
沿虚轴
∆z = iy, ∆z = − i∆y = −1 ∆z iy
极限不存在，因而不可导。
2. 可导必定连续，连续不一定可导，这样的函数在实变函数中不
易找到，但是在复变函数中屡见不鲜，如 f (z) = z = x − iy
3. 求导法则：复变函数导数的定义，在形式上跟实变函数的 导数定义一样，因而实变函数论中的关于导数的规则和公式 可用于复变函数。例如：
5. 函数f(z)可导的充分必要条件:
函数f(z)的偏导数 ∂u , ∂v , ∂u , ∂v 存在，且连续，并且满足 柯西—黎曼方程。∂x ∂y ∂y ∂x
证明：由于这些偏导数连续，二元函数u和v的增量可分别写为：
∆u
=
∂u ∂x
∆x
+
∂u ∂y
∆y
+
ε1∆x
+
ε 2∆y
∆v
=
∂v ∂x
∆x
+
∂v ∂y
1 < z − i < 2 为多连通区域
3. 复变函数的极限和连续
(1) 复变函数的极限和连续的定义同实变函数极限、连续定义完全 相同。只不过当z →z0 时，从任意方向。f(z)在B上各点连续称 f(z)在B上连续。
由于：f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ，如 z2=x2+y2+i2xy
lim
∆y
+
ε 3∆x
+
ε 4∆y
当∆z → 0时，ε → 0
∂u ∆x + ∂u ∆y + i(∂v ∆x + ∂v ∆y)
lim ∆f = lim ∆u + i∆v = lim ∂x
∂y
∂x
∂y + O(ε )
∆z ∆z→0
∆z →0
∆z
∆z →0
∆z
=
lim
∂u ∂x
(∆x
+ i∆y) + i ∂v (∆x + i∆y) ∂x
例1. 求 ii
解：
ii
=
⎡ ⎤ i( π +2kπ ) i ⎢e 2 ⎥
−(π+2kπ)
=e 2
⎣
⎦
k = 0,±1 ± 2…
例2. 求 0<argz−i <π 表示的图形
z+i 4
解： z − i = x + i( y −1) = x2 + y 2 −1 + i − 2x z + i x + i( y + 1) x 2 + ( y + 1)2 x 2 + ( y + 1)2
初等多值函数后面专门讨论！
§1.3 导数
1. 定义：设w=f(z)在B上游定义。若在B内某z∈B, 极限
lim ∆w = lim f (z + ∆z) − f (z)
∆z ∆z→0
∆z →0
∆z
存在，则称f(z)在z可导，记为 df (z) 或f ′(z)
dz
注：复变函数和实变函数的导数的定义，虽然形式上相同，实质
z→z0
f
(z)
=
w0 (=
a
+ ib)
lim u(x, y) = a
x → x0 y→ y0
lim v(x, y) = b
x → x0 y→ y0
这样f(z)在z0连续，可归结为u, v在(x0,y0)连续。
复变函数中极限、连续在定义形式上与微积分中相对应，关于
其中的函 数，极限，连续的性质和运算法则在复变函数中亦成
iy2
当且仅当
,
x1=x2 , y1=y2
2） z1 + z2=(x1+x2) + i (y1+y2)
3）z1z2=(x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2)