高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习32 椭圆

18 16
98
32
2
【答案】B
【解析】因为离心率e = c = a
，解得 ， ， 1−
b2 a2
=1 3
b2 = 8 b2 = 8 a2
a2 9
9
A1, A2 分别为 C的左右顶点，则 A1 (−a,0), A2 (a,0) ， B 为上顶点，所以 B(0,b) .
所以 ，因为 BA1 = (−a, −b), BA2 = (a, −b)
4.（2022·新高考Ⅱ卷 T16）已知椭圆 x2 + y2 =1，直线 l 与椭圆在第一象限交于 ，A B 两点，与 x 轴， 63
y 轴分别交于 ，M N 两点，且| MA|=| NB |,| MN |= 2 3 ，则直线 l 的方程为___________． 【答案】 x + 2y − 2 2 = 0 【解析】令 AB 的中点为 E ，因为 MA = NB ，所以 ME = NE ，
1．点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系 点 (1) P(x0，y0)在椭圆内⇔
点 (2) P(x0，y0)在椭圆上⇔
点 (3) P(x0，y0)在椭圆外⇔
2．焦点三角形 如图，椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫做焦点三角形．设 ＝ ， ＝ ， r1 |PF1| r2 |PF2|
3k +1
5
3k +1
5
当且仅当k = 3 时取等号，故 CD 的最小值为 6 5 .
16
5
1.求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，转化为 e 的关系式，常用方
法如下： (1)直接求出 a，c，利用离心率公式 e＝ac求解． 由 (2) a 与 b 的关系求离心率，利用变形公式 e＝ 1－ba22求解．
−
x2
(x
−
x2 )
将 ，代入整理得 ， (0,−2)
2(x1 + x2 ) − 6( y1 + y2 ) + x1 y2 + x2 y1 − 3y1 y2 −12 = 0
将 代入，得 (*)
24k +12k 2 + 96 + 48k − 24k − 48 − 48k + 24k 2 − 36k 2 − 48 = 0,
=2
5
x1 − x2
[(2k +1)x1 −1][(2k +1)x2
−1]
=2
5
(2k
+1)2 x1x2
x1 − x2
− (2k +1) ( x1 +
x2 ) +1
， = 3 5 ⋅
16k 2 +1 = 6 5 ⋅
16k 2 +1
9 16
+1
≥
6
5×
4k
×
3 4
+
2 1×1
=6
5
2 3k +1 5
k) 4
y2
y2
=
4(4
+ 4k − 2k 2 ) 3k 2 + 4
且 x1
y2
+
x2
y1
=
−24k 3k 2 + 4
(*)
联立 可得 y = y1
y
=
2 3
x
−
2
,
T
( 3 y1 2
+
3,
y1 ),
H
(3 y1
+
6
−
x1,
y1 ).
可求得此时 ， HN
:
y
−
y2
=
3 y1
y1 − +6−
y2 x1
3
3
3
，由 得到 求得 方程： T ( 6 + 3, 2 6 )
MT = TH
H (2 6 + 5, 2 6 ) . HN
3
3
，过点 y = (2 − 2 6 )x − 2
(0, −2) .
3
②若过点 的直线斜率存在，设 P(1,−2)
kx − y − (k + 2) = 0, M (x1, y1), N (x2 , y2 ) .
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>
b
>
， 0) C
的上顶点为
A，两个焦点为
，F1
F2
，离心率为
1 2
．过
F1
且垂直于
AF2
的直线与
C
交于
，D E
两点，
|
DE
|=
6
，则
ADE 的周长是
________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为 e = c = 1 ，∴ a = 2c ，∴b2 = a2 − c2 = 3c2 ，∴椭圆的方程为 a2
BA1 ⋅ BA2 = −1
所以 ，将 代入，解得 ， −a2 + b2 = −1
b2 = 8 a2
a2 = 9, b2 = 8
9
故椭圆的方程为 x2 + y2 =1. 98
2.（2022·全国甲（理）T10）椭圆 C
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>
b
>
0)
的左顶点为
A，点
，P Q
均在
C
上，且
关于 y 轴对称．若直线 AP, AQ 的斜率之积为 1 ，则 C 的离心率为（） 4
3 ，斜率倒数为
3
3，
直线 DE 的方程： x = 3y − c ，代入椭圆方程3x2 + 4y2 −12c2 = 0 ，整理化简得到：
， 13y2 − 6 3cy − 9c2 = 0
判别式 ， 2 ( ) ∆ = 6 3c + 4 ×13× 9c2 = 62 ×16 × c2
2 / 39
∴ ( ) ， CD = 1+
∠ ＝ ，△ F1PF2 θ PF1F2 的面积为 S，则在椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)中： 当 (1) r1＝r2，即点 P 的位置为短轴端点时，θ 最大；
(2)
，当|y0|＝b，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc.
－ ＋ (3)a c≤|PF1|≤a c. ＝ ＋ ， ＝ － (4)|PF1| a ex0 |PF2| a ex0.
显然成立，
综上，可得直线 HN 过定点(0,−2).
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
5 / 39
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
6（. 2022·浙江卷
T21）如图，已知椭圆
x2 12
+
y2
=
1．设
，A B
是椭圆上异于
=
1 4
又 ，则 ( ) ，所以 ( ) ，即 ， x12 + y12 =1 a2 b2
b2 y12 =
a2 − x12 a2
b2 a2 − x12
a2
=1
−x12 + a2 4
b2 = 1 a2 4
所以椭圆 的离心率 C
e= c = a
1
−
b2 a2
=
3. 2
3.（2022·新高考Ⅰ卷
T16）已知椭圆 C
M
−
m k
,
0
N (0, m)
E
−
m 2k
,
m 2
3 / 39
m
即k
×
−
2 m
= − 1 ，解得 k = − 2
或2 k =
2
2 （舍去），
2
2k
又 MN = 2 3 ，即 MN =
( m2 +
)2
2m
=2
3 ，解得 m = 2 或 m = −2 （舍去），
所以直线 AB : y = − 2 x + 2 ，即 x + 2 y − 2 2 = 0 ； 2
高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习 考点知识 32 椭圆
1.（2022·全国甲（文）T11）已知椭圆 C
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>
b
>
0) 的离心率为
1 3
，
A1,
A2
分别为
C
的
左、右顶点，B 为 C 的上顶点．若 BA1 ⋅ BA2 = −1，则 C 的方程为（）
A. x2 + y2 = 1B. x2 + y2 =1C. x2 + y2 = 1D. x2 + y2 = 1
设 ， ，则 ， ， A( x1, y1 ) B ( x2, y2 )
x12 + y12 = 1 x22 + y22 = 1
63
63
所以 ，即 x12 − x22 + y12 − y22 = 0
( x1 − x2 )( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )( y1 − y2 ) = 0
6633
x2 4c2
+
y2 3c2
= 1，即3x2
+
4y2
−12c2
=
0
，不妨设左焦点为
F1 ，右焦点为
F2
，如图所示，
∵
AF2
=
a，OF2
=
c，a
=
2c
，∴
∠
AF2O
=
π 3
，∴ △AF1F2
为正三角形，∵过
F1
且垂直于
AF2
的
直线与 C 交于 ，D E 两点，DE 为线段 AF2 的垂直平分线，∴直线 DE 的斜率为
5.（2022·全国乙（理）T20（文）T）21. 已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过
两点． A(0,
−2)
,
B
3 2
,
−1
（1）求 E 的方程；
（2）设过点 P(1,−2) 的直线交 E 于 ，M N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点
7 / 39
(3)构造 ，a c 的齐次式．离心率 e 的求解中可以不求出 ，a c 的具体值，而是得出 a 与 c 的关系， 从而求得 e. 2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． (2)将所求范围用 a，b，c 表示，利用 a，b，c 自身的范围、关系求解．
P(0,1)
的两点，且点
Q
0,
1 2
在线段 AB 上，直线 PA, PB 分别交直线 y = − 1 x + 3于 ，C D 两点． 2
（1）求点 P 到椭圆上点的距离的最大值； （2）求| CD |的最小值．
【答案】（1）12 11 ； （2） 6 5 ．
11
5
【解析】【小问 1 详解】
设Q(2 3 cosθ ,sinθ ) 是椭圆上任意一点, P(0,1) ,则
6
3
所以 ，即 ，设直线 ， ， ， ( y1 + y2 )( y1 − y2 ) = − 1
( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) 2
kOE
⋅ kAB
=
−
1 2
AB : y = kx + m k ，令 得 ，即 ， ，所以 ， x = 0 y = m
y=0 x=−m k
E
的方程为：
y2 4
+
x2 3
=1.
【小问 2 详解】
，所以 ， A(0, −2), B(3 , −1)
AB : y + 2 = 2 x
2
3
4 / 39
①若过点 P(1,−2) 的直线斜率不存在，直线 x =1.代入 x2 + y2 =1， 34
可得 M (1, 2 ， 6 ) N (1, − 2 6 ) ，代入 AB 方程 y = 2 x − 2 ，可得
，当且仅 |
PQ
|2 = 12 cos2 θ
+
(1− sinθ )2
= 13 −11sin2 θ
−
2 sin θ
=
−11
sin θ
+
1 2 11
+ 144 11
≤
144 11
当sinθ = − 1 时取等号，故| PQ |的最大值是12 11 .
11
11
【小问 2 详解】
设直线 AB
:y
=
kx
+
1 2
,直线
AB
方程与椭圆
x2 12
+
y2
=
1联立,可得
k
2
+
1 12
x2
+
kx
−
3 4
=
0
,
6 / 39
设 ，所以 ， A( x1, y1), B( x2, y2 )
x1
+
x2
=
−
k2
k +
1 12
x1
x2
=
−
3
4
k
2
+
1 12
因为直线
PA :
y
=
y1 −1 x1
x
+1与直线
3
2
y1 − y2
= 2×
∆ 13
= 2×6×4× c = 6 13
∴ ， c = 13 得 ， a = 2c = 13
8
4
∵ DE 为线段 AF2 的垂直平分线，根据对称性， AD = DF2，AE = EF2 ，∴ ADE 的周长等于
△F2DE 的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE 周长为
. DF2 + EF2 + DE = DF2 + EF2 + DF1 + EF1 = DF1 + DF2 + EF1 + EF2 = 2a + 2a = 4a = 13
H 满足 MT = TH ．证明：直线 HN 过定点．
【答案】（1） y2 + x2 =1 （ ）2 (0, −2) 43
【解析】【小问 1 详解】
解：设椭圆
E
的方程为
mx2
+
ny2
=
1，过
A(0,
−2)
,
B
3 2
,
−1
，
则 9 4
4n = 1
，解得 m
m+n =1
=
1 3
，n
=
1 4
，所以椭圆
A.
3 B. 2
2 C. 2
1 2
D.
1 3
1 / 39
【答案】A
【解析】 ，设 ，则 ，则 ， A(−a,0)
P ( x1, y1 )
Q (−x1, y1 )
k AP
=
y1 x1 + a
, kAQ