第章动量守恒定律

量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边
形法则。或把动量和冲量投影在坐标轴上以
分量形式进行计算。
注意：动量为状态量，冲量为过程量。
t
I x to Fxdt mvx mvxo
t
I y to Fydt mvy mvyo
t
I z
to
Fz dt
mvz
mvzo F t
平均冲力： F
1
圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动
方程为 s 0.5 t 2 m。试求从 t1 2s到 t2 2 s这
段时间内质点所受合外力的冲量。
解：s1
1 2
2
2
1
s1 R
2
mv1
s2
1
2
22
2
2
s2 R
o
v ds t
dt
mv2
v1 2 (m s1) v2 2 (m s1)
mv1 2 (kg m s1)
解： v= 2.5103 m/s vr= 103 m/s
设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2
v1 vr v2
(m1 m2 )v m1v1 m2v2 m1(v2 vr ) m2v2
v2
v
m1vr m1 m2
2.17 103
m s1
v1 v2 vr 3.17103 m s1
设各级火箭的质量比分别为N1、N2、N3 、…
一级火箭速率： v1 ur ln N1
二级火箭速率： 三级火箭速率：
v2 v1 ur ln N2
v3 v2 ur ln N3
三级火箭所能达到的速率为：
v3 ur (ln N1 ln N2 ln N3 ) ur ln( N1 N2 N3 ) 设，N1 = N2 = N3 = 3 ur 2.5 103 m s1
v dv
u
Mv M d M (v d v) - d M v d v ur
略去二阶无穷小量 dMdv
dv
ur
dM M
设：初始 v0 0 火箭总质量 M0 ，
壳体本身的质量为M1 ，燃料耗尽时火箭的速度为v
v
0 dv ur
M1 dM M M 0Biblioteka vurln
M0 M1
多级火箭：
M 0 M1 为质量比
2-2-1 动量
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物 体的质量有关。
动量：运动质点的质量与速度的乘积。
p
mv
单位：kg·m·s-1
由n个质点所构成的质点系的动量：
p
n
pi
n
mivi
i1
i1
2-2-2 动量定理
1．质点的动量定理
得 v3 2.5 103 m s1 3 ln 3 8.2 103 m s1
这个速率已超过了第一宇宙速度。
我国长征系列火箭升空
神舟六号待命飞天
神舟六号点火升空
神舟六号发射成功
2-2-5 质心与质心运动定理
1．质心
设由n个质点r构c 成一质点系
质位量矢：：rm1、1、r2 、m…2、、…rn、 mn，
例5. 宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为。如 果质量为mo的飞船以初速vo穿过尘埃，由于尘埃粘在 飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其 在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积 为S的圆柱体）
解： 某时刻飞船速度：v，质量：m
动量守恒： m0v0 mv
质量增量： dm Svdt
与质心加速度的乘积。
质心的两个重要性质：
（1） 系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒 矢量，内力既不能改变质点系的总动量,也 就不能改变质心的运动状态 。
（2） 系统在外力作用下，质心的加速度等于外力 的矢量和除以系统的总质量。
例6. 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落 地点为xc 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等 的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平
2．质心运动定理
质心位置公式：
M drc
dt
mi
dri dt
Mrc miri
Mvc mivi
结论： 质点系的总动量等于总质量与其质心运 动速度的乘积。
由质点系动量定理的微分式可得：
Fi
dP dt
d dt
mivi
mi
dvi dt
M
dvc dt
Fi Mac
质心运动定理： 作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量
解 以竖直悬挂的链条 和桌面上的链条为一系统, 建立如图坐标
则 F ex m1g yg
由质点系动量定理得
m2
O
m1
y
F exdt dp
y
F exdt dp 又 dp d(yv)
ygdt d(yv)
则
yg dyv
dt
两边同乘以 yd y 则
y2gdy ydy dyv yv dyv
解：
（2）
（1） F 400 4105 t 0 3
3 400 t 4105 0.003s
I
Fdt
0.003 0
400
4 105 3
t
dt
400t
4105t 2 23
0.003
0.6 N s
0
（3） I mv 0
m I 0.6 0.002kg 2 g v 300
例 3 一柔软链条长为l,单位长度的质量为.链条放 在桌上,桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下,其余部分 堆在小孔周围.由于某种扰动,链条因自身重量开始落下 . 求链条下落速度与落下距离之间的关系 . 设链与各处的 摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开 .
抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解： 在爆炸的前后，质心
始终只受重力的作用，
因此，质心的轨迹为
一抛物线，它的落地 点为xc 。
xc
m1x1 m2 x2 m1 m2
xc
mx2 2m
o
m1 m2 m
x2 2xc
xc x2 x
, x1 0
§2-3 角动量守恒定律
2-3-1 质点的角动量
t
合外力的冲量：
t0
Fidt
t
t0 Fidt P P0 P
质点系的动量定理：
质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。
微分式：
Fi
dP dt
注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。
注意 ➢区分外力和内力 ➢内力仅能改变系统内某个物体的
动量，但不能改变系统的总动量.
L r p mvr
注意： 角动量与所取的惯性系有关； 角动量与参考点O的位置有关。
p
r
o
质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的 投影，称为质点对轴线的角动量。
LA L cos
质点系的角动量
设动各量质分点别对为O点pr11的,, 位pr22矢,, 分别,,pr为nn
L
A LA
O
n n
F1 z
Fi
M ri Fi
r1
ri
O
r2
F2
y
x
2．力对轴的矩
L Li (ri pi )
i 1
i 1
2-3-2 力矩
1．力对参考点的力矩
质点的角动量 L 随时间的变化率为
dL
dr
p
dr
p
r
dp
dt dt dt
式中
dr
p
v
p
0
dt
dL
rF
dp
dt
F
dt
dt
关，而质且点与角参动考量点的O改到变质不点仅的与位所矢受r的有作关用。力
F
有
定义：外力
F
对参考点O的力矩：
M0 r F Nm
z
力矩的大小：
M
M0 rF sin
F
力矩的方向由右手螺 旋 关系确定，垂直于 r和 F
确定的平面。
O r
x
y
设作用于质点系的作用力分别为： F1 , F2 , , Fn
作用点相对于参考点O的位矢分别为： r1 , r2 , rn
相对于参考点O的合力 矩为：
动量定理的微分式：
dp F dt
dt
dt
如果力的作用时间从 t0 t，质点动量从 p0 p
p
t
dp F dt
po
to
t
I
F
to
dt
p
p0
mv
mv0
质点动量定理： 质点在运动过程中，所受合外力的
冲量等于质点动量的增量。
说明：
（1）
冲量的方向
I
与动量增量
p
的方向一致。
（2） 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢
mv2 2 (kg m s1)
I mv2 mv1 (mv)
mv1
mv2
(mv)
mv
mv12 mv2 2
2 2 4 2
6 (kg m s1)
I 6 7.69 (kg m s1)
tan mv2 2
mv1 2
5444
例2. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F = 400-4105 t/3，子弹从枪口射出时的速率为300 m/s。 设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走 完枪筒全长所用的时间t。（2）子弹在枪筒中所受力 的冲量I。（3）子弹的质量。
设：t时刻质点的位矢 r 质点的动量 mv
运动质点相对于参考原
点O的角动量定义为：
L
r
p
r
m
v
单位：Kg ·m2·s-1
z
L
O
x
p
m r
y
角动量大小： L rp sin mrv sin
角动量的方向：
矢经
r 和动量
mv 的矢积方向，
用右手螺旋法则确定。
如果质点绕参考点O作圆周运动
冲量：作用力与作用时间的 乘积。
冲量是反映力对时间的 累积效应。 恒力的冲量：
I F (t2 t1)
运动员在投掷标 枪时，伸直手臂，尽 可能的延长手对标枪 的作用时间，以提高 标枪出手时的速度。
变力的冲量：
I
t2
F
(t)
dt
单位：N·s
t1
牛顿运动定律：
F ma
F
d(mv)
dp
有Px
mi
v ix
Cx
Fxex 0 , px mi vix Cx
Fyex 0 , py mi viy C y
Fzex 0 , pz mi viz Cz
(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基
本的定律之一．它不仅适合宏观物体，同
样也适合微观领域。
例4、火箭以2.5103m/s的速率水平飞行，由控制器 使火箭分离。头部仓m1=100kg，相对于火箭的平均 速率为103 m/s 。火箭容器仓质量m2=200kg。求容器 仓和头部仓相对于地面的速率。
v m
m m0v0 v
dm
m0 v0 v2
dv
Svdt
dv v3
S
m0 v0
dt
v dv S
t
dt
v vo 3 m0v0 0
1 2
(
1 v2
1 v02
)
S
m0 v0
t
v
2
m0 Sv0t
m0
v0
2-2-4 火箭飞行原理
设： t 时刻：火箭的质量为M，
速度为v； t +dt 时刻：
火箭的质量为M+dM 速度为v + dv 喷出气体的质量为-dM 相对于火箭的速度为ur
常矢量
条件： Fi 0
讨论 (1) 系统的总动量不变，但系统内任一
物体的动量是可变的． (2) 守恒条件：合外力为零．
F ex Fiex 0
➢ 当 F ex Fin 时，可近似地认为 系统总动量守恒． （如：碰撞，
打击等）
(3) 若F ex Fiex 0，但满足 Fxex 0
初速度 vio 末速度 vi
由质点动量定理：
i
fi
t
to Fi fi dt mi vi mi vio
t
to Fi fi dt mivi mi vio
其中：
fi 0
系统总末动量： P
mi vi
系统总初动量： P0
F1 mi vio
F2
f12 m1
f21 m2
rc
m1r1
m2r2
mn rn
m1 m2 mn
miri
M
z
m1 r1
ri
mi
C
rC
O
m2 r2
y
x
质心位置的分量式：
xc
mi xi mi
yc
mi yi mi
zc
mi zi mi
连续体的质心位置：
xc
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
说明： 对于密度均匀，形状对称的物体，其质 心都在它的几何中心。
t F dt
t t0 to
I F t
t
结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长， 物体受到的平均冲力越小；反之则越大。
海绵垫子可 以延长运动员下 落时与其接触的 时间，这样就减 小了地面对人的 冲击力。
2．质点系的动量定理
设 有n个质点构成一个系统
第i个质点： 质量 m i
Fi
内力 fi 外力 Fi
讨论
F
（1） F 为恒力
I F t
t1
（2） F 为变力
F
I
t2 t1
Fdt F(
t2
t1
)
F
t2 t
t1 t2 t
动量定理常应用于碰撞问题
F
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
t2 t1
t2 t1
注意
在 p 一定时
t 越小，则 F 越大
m v1
mv mv2
F
例1、质量m = 1kg的质点从o点开始沿半径R = 2m的
dt
g y y 2 d y yv yv dyv
0
0
m2
O
m1
y
y
1 gy3 1 yv2
3
2
v
2
gy
1 2
3
2-2-3 动量守恒定律
质点系的动量定：
t
t0 Fidt P P0
当 Fi 0 时，
有 P P0
动量守恒定律：
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。
P
mi vi