重庆市渝中区巴蜀中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

重庆市渝中区巴蜀中学校2022-2023学年八年级上学期期末
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列式子是分式的是（ ）
A ．12
B ．
5
y C D ．
y x
2．若a
b ，则下列分式变形正确的是（ ）
A ．
22a a
b b +=+ B ．
22a a
b b -=- C ．22a a b b
=
D ．
55a a
b b
= 3．已知1x =是一元二次方程2230x kx --=的根，则k 的值为（ ） A ．1-
B ．1
C ．2
D ．2-
42的值介于（ ） A ．0到1之间
B ．1到2之间
C ．2到3之间
D ．3到4之间
5．下列事件中是必然事件的是（ ） A ．三角形任意两边之和大于第三边 B ．掷一枚均匀的硬币，落地后正面向上 C ．随机翻开数学书，翻到的页码是偶数
D ．同位角相等
6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E 的面积是（ ）
A ．20
B ．26
C ．30
D ．52
7．若26,23m n ==，则2m n -的值是（ ） A ．2
B ．3
C ．18
D ．9
8．若202(2),(2),(2)a b c -=-=-=-，则a ，b ，c 中最小的是（ ） A ．a
B ．b
C ．c
D ．不能确定
9．如果代数式2(2)4x m x +-+是完全平方式，则m 的值为（ ） A 6
B
C 6
D 62
10．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则||a c b ++（ ）
A ．2b c -
B ．2b a -
C ．2a b --
D ．2c b -
11．如图，将ABC 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，
C 恰好在网格图中的格点上，那么ABC 中BC 边上的高的长度是（ ）
A B C D 12．若关于x 的一元二次方程2(1)(24)10a x a x a -+-++=有实数解，且关于x 的分式方程
2311a x a x x
++=---有正数解，则符合条件的整数a 的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．中国抗疫新型冠状病毒2019−nCoV 取得了巨大成就，堪称奇迹，为世界各国防控疫情提供了重要的借鉴和支持，让中国人倍感自豪，该病毒直径在0.00008毫米到0.00012毫米之间，将0.00012用科学记数法表示为______________．
14x 的取值范围是_______．
15．已知一组数据12345,,,,a a a a a 的方差是1，则另一组数据123453,3,3,3,3a a a a a -----方差是_____________．
16．若1,1a b ==，则
b a
a b
+=_______________． 17．如图，在ABC 中，105BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到
AB C ''△．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB '=，则AB C ''∠的度数为___________．
18．如图，长方体中10,4,3AB BC BF ===，P 为HG 中点，在P 处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从点A 出发，沿长方体表面到点P 处吃蜂蜜，那么它爬行的最短路程是________________．
19．若a ，b 分别是方程23950x x -+=的两根，则24a a b --=______________． 20．我们把一列代数式的第一个记作1A ，第二个记作2A ，第三个记作3A ，…，第n 个记作n A ，规定：1231
n
i n i A A A A A ==+++
+∑．已知一列代数式
2
2
2
2
2
,2,3,4,5x x x x x x x x x x -+--+--+…，对于任意的实数x ，15
1
i i A =∑的最大值为
______________．
21．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，AC 边的垂直平分线交BC 于E ，交AC 于D ，F 为AC 上一点，连接EF ，点C 关于EF 的对称点C '恰好落在ED 的延长线上，则C D '的长为_________．
22．某超市内售卖A ，B ，C ，D 四种水果，其中A ，B 两种水果的单价相同，D 种水果的单价是C 种水果单价的6倍，上午时段，A ，C 两种水果的销量相同，B 种水果的销量是D 种水果的6倍，结果上午时段A ，B 两种水果的总销售额比C ，D 两种的总销售额多198元，且四种水果上午时段的单价和销量均为正整数，到了下午的时候，由于D 种水果新鲜度下降，摊主便将D 种水果打八折售卖，其他三种水果单价不变，结果下午时段除了B 种水果销量下降了20％，其他几种水果的销量跟上午一样，若A 种水果与
C
种水果的单价之差超过8元但不超过14元，B 种水果和D 种水果上午时段的单价之和不超过40元，则下午时段四种水果总销售额最多为_____元．
三、解答题 23．计算
(1)因式分解：322b b b -+
(2)计算：(3)计算：29
33a a a
+
-- (4)计算：2
23
223·2a b bc a b c a c
⎛⎫
⎛⎫--÷ ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭ 24．解方程 (1)
31
244x x x
--=-- (2)(4)(1)78x x x +-=-
25．先化简，再求值：222
142442
x x x x x x x x ---⎛⎫-÷
⎪++++⎝⎭，请从2-，0，2，4这四个整数中选一个适当的数作为x 的值代入求值．
26．奉节脐橙丰收了，某镇为帮助果农扩大销量，利用网络平台直播带货进行销售．为了解平台在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：
15，14，15，15，14，16，12，13，13，16，16，14，13，17，15，14，16，17，14，14
(1)根据上述样本数据，补全条形统计图；
(2)上述样本数据的众数是____________万元，中位数是_____________万元； (3)该网络平台一共有两男两女四名主播，每天随机有两名主播进行直播带货，请用树状图或者列表的方法求出某一天刚好主播是一男一女的概率是多少？
27．如图，四边形ABCD ，连接BD
(1)用直尺和圆规过A 点作BD 的垂线，交BD 与E ，交BC 于F ． (2)若BD 平分ABC ∠，求证：BA BF =．
28．继2008年夏奥会之后，2022年冬奥会花落北京，北京成为世界上首座“双奥之城”．在2022年北京冬奥会开幕式上，晶莹剔透的奥运五环，别具一格的“立春”字样烟花，独具创意的点火环节，超大LED 屏等高科技视觉呈现手段，给大家留下了深刻印象．在这场视觉盛宴中，灯光效果功不可没．此次灯光秀计划购买LED 照明灯和激光投射灯共花费90万元，其中LED 照明灯计划花费60万元，已知LED 照明灯与激光投射灯的单价之和为50元，计划购买LED 照明灯的数量是激光投射灯数量的3倍，请用方程的相关知识解决下列问题．
(1)本次灯光秀计划使用的LED 照明灯和激光投射灯的单价各是多少？（列分式方程解决）
(2)实际安装时，本着环保原则，重新设计了安装方案，这样LED 照明灯比计划少装了
%m ，激光投射灯比计划少装了3
%5
m ；同时由于原材料价格降低，LED 照明灯单价在
原有价格上下降了%m ，激光投射灯单价不变，最终灯光秀实际花费总价比原计划降低
了4
%3
m ，请求出m 的值． 29．材料一：若a 是正整数，a 除以13的余数为1，则称a 是“映辰数”例如：14是正整数，且141311÷=，则14是“映辰数”；41是正整数，且411332÷=，则41不是“映辰数”
材料二：对于任意四位正整数p ，p 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，规定：()2210a c
F p b d
+=
-+
请根据以上材料，解决下列问题：
(1)判断：300，1029是不是“映辰数”，并说明理由．
(2)若四位正整数q 是“映辰数”，q 的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的
和不大于4q ．
30．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒；点D 、点E 分别在线段AB 、线段AC 上，连接CD 、
DE ，且45EDC ∠=︒；过E 点作DE 的垂线EF ，交BA 延长线于点H ，交CD 于点F ，交BC 于点G ；
(1)如图1，若2CE AD =，24AD AE ==，求CD 的长； (2)如图2，若FH EG =，求证：BH BG =；
(3)如图3，在（2）的条件下，点M 是BC 边上的一个动点，以线段MC 为边，在直线BC 下方作等边CMN ，连接AM AN 、；当ED BD =，2AH =时，请直接写出在M 的运动过程中AM AN +取得的最小值；
参考答案：
1．D
【分析】根据分式的定义进行判断即可．
【详解】解：1
2、5
y
y x 属于分式，故D 正确．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的定义，一般地，如果A ，
()0B B ≠表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A
B
叫做分式． 2．D
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A ．22a a
b b
+≠+，故A 不符合题意； B ．
22a a
b b
-≠-，故B 不符合题意； C ．22a a
b b
≠，故C 不符合题意；
D ．
55a a
b b
=，故D 符合题意； 故选：D ．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 3．A
【分析】把1x =代入2230x kx --=，然后解关于k 的方程即可． 【详解】把1x =代入2230x kx --=，得
230k --=，
解得1k =-． 故选A ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解决此题的关键是计算的正确性． 4．B
3到42的所在范围．
【详解】解：
∵34<，
∵122<<，故B 正确． 故选：B ．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，掌握无理数大小的估算方法是解题的关键． 5．A
【分析】根据随机事件和必然事件的定义判断即可．
【详解】解：A 、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，故此选项符合题意；
B 、掷一枚均匀的硬币，落地后正面向上，是随机事件，故此选项不合题意；
C 、随机翻开数学书，翻到的页码是偶数，是随机事件，故该选项不符合题意；
D 、同位角相等，是随机事件，故此选项不合题意； 故选：A ．
【点睛】本题考查了随机事件，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键． 6．B
【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形A ，B ，C ，D 的面积和即为最大正方形的面积即可．
【详解】解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得：
E F G S S S =+
=A B C D S S S S +++ =61046+++ =26 故选B ．
【点睛】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
7．A
【分析】利用同底数幂的除法法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】∵26,23m n ==， ∵6
22223
m n m n -=÷== 故选：A
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，解题的关键是对同底数幂的除法法则的掌握与灵活运用． 8．C
【分析】先计算出a ，b ，c 的值，然后比较大小即可．
【详解】解：∵24(2)a =-=，0(2)1b =-=，()
2
21
(2)142c ---=
==
，
又∵1414
>>
， ∵a ，b ，c 中最小的是c ，故C 正确． 故选：C ．
【点睛】本题主要考查了乘方运算，零指数幂和负整数指数幂的运算，有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则，准确计算． 9．C
【分析】利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】∵代数式2(2)4x m x +-+是完全平方式， ∵2(2)4x m x +-+ 2(2)x =±
244x x =±+
比较系数得24m -=±，解方程得6m =或2m =- 故选：C
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的形式是解题的关键． 10．C
【分析】根据a 、b 、c 在数轴上的位置得出0c a b <<<，c b >，从而得出0a c b ++<，
0c a -<，再根据绝对值的意义和二次根式性质，进行化简即可．
【详解】解：根据a 、b 、c 在数轴上的位置可知，0c a b <<<，c b >， ∵0a c b ++<，0c a -<，
∵||a c b ++()()a c b c a =-++---⎡⎤⎣⎦
()a c b c a =---+- a c b c a =---+-
2a b =--．
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，二次根式的性质，数轴上点的特点，解题的关键是根据点a 、b 、c 在数轴上的位置确定0a c b ++<，0c a -<． 11．D
【分析】先求出ABC 的面积，ABC 的面积111
442324147222
=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，由图
可知，BC BC 边上的高的长度．
【详解】∵111
442324147222
ABC
S
=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，BC 设ABC 中BC 边上的高为h
∵1
72
h =
∵h 故选：D
【点睛】本题主要考查间接法求三角形的面积和等面积法，理解两种方法及灵活运用是解题的关键． 12．B
【分析】先根据一元二次方程2(1)(24)10a x a x a -+-++=有实数解，求出满足题意的a 的取值范围；再根据关于x 的分式方程
2311a x a
x x
++=---有正数解，可进一步求出满足分式方程的a 的取值范围，两者求共同部分即可，注意需要验证a 的取值是否符合题意． 【详解】∵关于x 的一元二次方程2(1)(24)10a x a x a -+-++=有实数解，
∵210Δ(24)4(1)(1)0
a a a a -≠⎧⎨=---+≥⎩ 解得：54a ≤
且1a ≠ ∵2311a x a x x
++=--- ∵(2)3(1)a x a x -+=--
∵23x a =+ ∵32
a x += ∵方程有正数解 ∵302
a +＞ 解得：3a ＞ ∵534
a -≤＜且1a ≠ ∵a 为整数
∵a 可取2-、1-、0
又∵1a =-时，1x =，经检验：当1x =时，10x -=，故舍去
∵符合条件的整数a 有2个
故选：B
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况、解含参数的分式方程，熟练掌握对应得知识点是解题的关键．
13．41.210-⨯
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：40.00012 1.210-=⨯，
故答案为：41.210-⨯．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤＜
，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．1x ≥
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．
【详解】解：
∵x -1≥0，
解得x ≥1．
故答案为：x ≥1．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
15．1
【分析】根据方差的计算公式进行解答即可．
【详解】解：设12345,,,,a a a a a 的平均数为a ，
∵ 12345,,,,a a a a a 的方差是1， ∵()()()2222125115S a a a a a a ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣
⎦， ∵12345,,,,a a a a a 的平均数为a ，
∵123453,3,3,3,3a a a a a -----的平均数为3a -， ∵()()()222212513333335S a a a a a a ⎡⎤'=--++--++⋅⋅⋅+--+⎣
⎦ ()()()22212515a a a a a a ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣
⎦ 1=．
故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了方差的计算公式，解题的关键是熟练掌握
()()()2222121n S a a a a a a n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣
⎦． 16．4
【分析】先通分，再相加，再进一步代入求得数值即可． 【详解】解：b a a b
+ 22
a b ab
+=，
将1,1a b ==代入得：
22
a b ab
+
82
= 4=.
故答案为：4
【点睛】此题考查二次根式的混合运算、分式求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
17．50︒##50度
【分析】由旋转的性质可得C C '∠=∠，AB C B ，AB AB '=，由等腰三角形的性质可得C CAB '∠=∠，2B AB B C '∠=∠=∠，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△，
∵C C '∠=∠，AB C B ，AB AB '=，又AB CB '=,
∵AB CB ''=，B AB B '∠=∠，
∵C CAB '∠=∠，
∵2AB B C CAB C ''∠=∠+∠=∠ ，
∵2B AB B C '∠=∠=∠，
∵180B C CAB ∠+∠+∠=︒，
∵3180105C ∠=︒-︒，
∵25C ∠=︒，
∵250AB C B C ''∠=∠=∠=︒，
故答案为：50︒．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、三角形的内角和定理，掌握旋转的性质是本题的关键．
18
【分析】根据长方体展开图画出图形，利用勾股定理求出AP 的长即可．
【详解】解：如图1，AP =
如图2
AP ===
【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，画出图形是解题关键．
19．143
-##243- 【分析】根据a ，b 分别是方程23950x x -+=的两根，得出23950a a -+=，933
a b -+=-=，将23950a a -+=变形得出2533
a a -=-，然后变形()2234a a a
b a a b ----=+，最后代入求值即可．
【详解】解：∵a ，b 分别是方程23950x x -+=的两根，
∵23950a a -+=，933
a b -+=-
=， ∵2395a a -=-， 即2533
a a -=-， ∵24a a
b --
23a a a b =---
()23a a a b =--+
533
=-- 143
=-． 故答案为：143
-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系，得出2533
a a -=-，3a
b +=，注意整体代入思想的应用．
20．16
【分析】先根据整式加减求得151
i i A =∑，然后再根据偶次幂的非负性即可解答．
【详解】解：()()()()()15222221231415i i A x x x x x x x x x x ==-++-+-++
+-+-+∑
28x x =-+
()2
416x =--+
所以151i i A =∑的最大值为16．
故答案为16．
【点睛】本题主要考查了偶次幂的非负性、整式的加减等知识点，正确求得15
1i i A =∑的代数式
是解答本题的关键．
21．2.5
【分析】先根据勾股定理求出10AC =，再根据垂直平分线的性质，得出AE CE =，AE CE x ==，则8BE x =-，根据勾股定理列出方程，求出x 的值，根据轴对称得出 6.25CE C E '==，根据勾股定理求出 3.75DE =，根据线段间的关系，即可得出答案．
【详解】解：∵在ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，
∵10AC =，
∵CE 垂直平分AC ，
∵AE CE =，152
AD CD AC ===，90CDE ∠=︒， 设AE CE x ==，则8BE x =-，
在Rt ABE △中，222AB BE AE +=，
即()2
2268x x +-=，
解得： 6.25x =，
∵C 关于EF 的对称点为C '，
∵ 6.25CE C E '==，
在Rt CDE △中，根据勾股定理得： 3.75DE =，
∵ 6.25 3.75 2.5C D C E DE ''=-=-=．
故答案为：2.5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是根据勾股定理求出 6.25CE =．
22．353.6
【分析】首先设A ，B 两种水果的单价为y 元，C 种水果单价为x 元，A 种水果的销量为a ，D 种水果的销量为b ，可得D 种水果的单价为6x 元，C 种水果的销量为a ，B 种水果的销量为6b ，根据题意列出不等式，由上午时段的单价与销量均为正整数确定出各参数的值，再代入下午时段的总销售额确定出最大值即可．
【详解】解：设A ，B 两种水果的单价为y 元，C 种水果单价为x 元，A 种水果的销量为a ，D 种水果的销量为b ，
则D 种水果的单价为6x 元，C 种水果的销量为a ，B 种水果的销量为6b ， 根据题意，得814640
y x y x <-≤⎧⎨+≤⎩， ∵上午时段A ，B 两种水果的总销售额比C 、D 两种水果的总销售额多198元，
∵()()66198a b y a b x +-+=，
∵()()6198a b y x +-=，
∵四种水果上午时段的单价与销量均为正整数，
∵9y x -=，622a b +=或11y x -=，618a b +=，
再由814640y x y x <-≤⎧⎨+≤⎩
，可得4x =或3或2或1， 当9y x -=，622a b +=时，此时17x y +=或15或13或11；
161a b ==，或102a b ==，或43a b ==，；
当11y x -=，618a b +=时，此时19x y +=或17或15或13；
162a b ==，或21a b ==，；
下午时段四种水果总销售额为()()()4.8( 4.8)a x y b x y x y a b +++=++元，
如果总销售额最多，那么161a b ==，，17x y +=，
此时销售额()1716 4.8353.6=⨯+=（元）．
故答案为：353.6．
【点睛】本题考查了因式分解，根据不等式确定方程整数解的应用，解题关键是：（1）理清各数量间的关系，正确列出方程及不等式；（2）确定出方程的整数解．
23．(1)()21b b -
(3)3a + (4)292b c a
-
【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解；
（2）利用二次根式的混合运算法则求解即可；
（3）利用分式的加减混合运算法则求解即可；
（4）利用分式的乘法运算法则求解即可．
【详解】（1）322b b b -+
()221b b b =-+
()2
1b b =-；
（2）
=
= （3）2933a a a
+-- 2933
a a a =---
293
a a =-- ()()333
a a a +-=- 3a =+；
（4）223223·2a b bc a b c a c
⎛⎫⎛⎫--÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 42322
29·2a b bc a b c a c
⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭ 232
39·2a b c c a b =- 292b c a
=-． 【点睛】此题考查了因式分解，二次根式的混合运算，分式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
24．(1)原方程无解
(2)122x x ==
【分析】（1）方程两边同乘以()4x -变为整式方程，然后再解整式方程，最后进行检验即可；
（2）先将方程化为一般形式，然后再用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：31244x x x
--=--， 方程两边同乘以()4x -得：()3124x x -+=-，
去括号得：3128x x -+=-，
移项合并同类项得：312x -=-，
未知数系数化为1得：4x =，
检验：把4x =代入()4x -得：440-=，
∵4x =是原方程的增根，
∵原方程无解．
（2）解：(4)(1)78x x x +-=-，
化为一般形式：2440x x -+=，
分解因式得：()2
20x -=，
∵122x x ==．
【点睛】本题主要考查了解分式方程和一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和一元二次方程的一般步骤，注意分式方程要进行检验．
25．1(2)x x +；18
【分析】先将括号里的分式的分母进行因式分解，再进行通分，然后进行减法运算，再根据分式除法法则进行计算即可，最后将有意义的数值代入求值即可． 【详解】解：222142442
x x x x x x x x ---⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭ =()()2214222x x x x x x x ⎡⎤---⎢⎥-÷++⎢⎥+⎣⎦
=()()222244222x x x x x x x x x ⎡⎤---⎢⎥-÷+⎢⎥++⎣⎦
=()
2224242x x x x x x x --++⋅-+ =
()24242x x x x x -+⋅-+ =1(2)
x x +， ∵2x ≠-，0，4，x 只能取2，
∵原式112(22)8
==+． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式有意义的条件，异分母分式的减法，分式的除法等知识．掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)14，14.5 (3)23
【分析】（1）根据题目中的数据，可以得到销售额14万元和16万元的天数，然后即可将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以直接写出样本数据的众数，计算出样本数据的中位数；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男和一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）由题目中的数据可得，
销售额为14万元的有6天，销售额为16万元的有4天，
补全的条形统计图如右图所示；
（2）由条形统计图可得，
+÷=（万元），
样本数据的众数是14万元，中位数是(1415)214.5
故答案为：14，14.5；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男和一女的有8种结果，
∵抽取的两人恰好是一男和一女的概率为82
=．
123
【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数、树状图法与列表法求概率，解答本题的关键是明确条形统计图的特点，会计算一组数据的中位数和加权平均数．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
27．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点A为圆心，大于点A到BD的距离为半径画弧，与BD交于M、N两点，作线段MN的垂直平分线AE，则AE即为BD的垂线；
（2）根据ASA证明ABE FBE
△≌△，根据全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：以点A为圆心，大于点A到BD的距离为半径画弧，与BD交于M、N两
点，作线段MN 的垂直平分线AE ，则AE 即为所求作的垂线，如图所示：
（2）证明：∵BD 平分ABC ∠，
∵ABE FBE ∠=∠，
∵AE BD ⊥，
∵90AEB FEB ∠=∠=︒，
∵AE AE =，
∵()ASA ABE FBE ≌，
∵BA BF =．
【点睛】本题主要考查了尺规作垂线，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明ABE FBE △≌△．
28．(1)LED 照明灯的单价为20元，激光投射灯的单价为30元
(2)30
【分析】（1）由题意可知LED 照明灯的费用为60万，激光投射灯的费用为30万，再根据LED 照明灯与激光投射灯的单价之和为50元，LED 照明灯的数量是激光投射灯数量的3倍，即可列出方程，解方程即可求出LED 照明灯和激光投射灯的单价；
（2）根据原计划的总费用和实际总费用之间的关系，列出方程即可求出m 的值．
【详解】（1）设LED 照明灯的单价为x 元，则激光投射灯的单价为(50)x -元，
由题意得：
906060350x x
-⨯=- 解得：20x
经检验：20x 是原方程的解，
∵50502030x -=-=，
∵LED 照明灯的单价为20元，激光投射灯的单价为30元．
（2）由（1）可知：LED 照明灯的数量为：6000002030000÷=，
激光投射灯的数量为：3000003010000÷=， ∵3430000(1)(1)2010000(1)30900000(1)53
m m m m -%⋅-%⨯+-%⨯=-%， 解得：30m =，
∵m 的值为30．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，准确找出题目中对应的等量关系是解此类题的关键．
29．(1)300是“映辰数”， 1029不是“映辰数”，理由见解析；
(2)1236q =或1288q =
【分析】（1）根据定义进行判断；
（1）设q 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，根据题意，按要列出题目中所有条件的等式及不等式，找到符合条件的“映辰数”，
判断其是否为有理数即可确定q 的值．
【详解】（1）300是“映辰数”， 1029不是“映辰数”，
理由：∵30013231÷=，102913792÷=
∵300是“映辰数”， 1029不是“映辰数”，
（2）设q 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，
则由题意可知：1410909
a b a b a c d +=⎧⎪+≤⎪⎪≥⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩，且100010010131q a b c d k =+++=+（k 为正整数）
∵1a =，2b =，
即：100020010131q c d k =+++=+， 则：119910103921313c d c d k ++++=
=+ ∵10313
c d m ++=为正整数，即：10313c d m ++= 则：3103102c d ≤++≤，
∵103c d ++=13，26，39，52，65，78，91，
当10313c d ++=时，1c =，0d =，1210q =，
则：111()221044022
a c F q
b d ++===--+-+ 当10326
c
d ++=时，2c =，3d =，1223q =，
则：123()2210443014
a c F q
b d ++===--+-+ 当10339
c
d ++=时，3c =，6d =，1236q =，
则：1341()22104460164a c F q b d ++====-+-+，12
，符合要求； 当10352c d ++=时，4c =，9d =，1249q =，
则：145()2210449046a c F q b d ++===-+-+，=为无理数，不符合要求； 当10365c d ++=时，6c =，2d =，1262q =，
则：167()2210442024
a c F q
b d ++===--+-+ 当10378
c
d ++=时，7c =，5d =，1275q =，
则：1784()2210445063a c F q b d ++====-+-+，为无理数，不符合要求； 当10391c d ++=时，8c =，8d =，1288q =，
则：1891()22104480364a c F q b d ++====-+-+，12
，符合要求； 故1236q =或1288q =．
【点睛】此题主要考查了新定义，不等式的应用及算术平方根，灵活应用新定义是解本题的关键．
30．(1)(2)见解析 (3)
18+
【分析】（1）先求出8CE =，2AE =，再求出2810AC AE CE =+=+=，根据勾股定理求出结果即可；
（2）过点F 作MF GH ⊥，延长MF 交AC 于点N ，证明()AAS EFN DEH ≌，得出HE FN =，
证明()SAS CFN CFG ≌，得出FNC FGC ∠=∠，证明H BGF ∠=∠，即可得出BG BH =；
（3）过点F 作FQ HG ⊥，连接DQ ，证明()ASA HED GFQ ≌，得出DE QF =，
DH QG =，证明BDQ △为等边三角形，得出BH BG GH ==60H B BGH ∠=∠=∠=︒，求出
826AB =+=+NA ，使AP AN =，连接PM ，
AN AM AP AM PM +=+≥，当P 、A 、M 、N 在同一直线上时，AN AM +最小，过点A 作'AN GH ∥交BC 于点M '，交CN 于点N '，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵2CE AD =，24AD AE ==，
∵8CE =，2AE =，
∵2810AC AE CE =+=+=，
∵90BAC ∠=︒，
∵
CD
（2）证明：过点F 作MF GH ⊥，延长MF 交AC 于点N ，如图所示：
∵DE GH ⊥，
∵DE HG ⊥，
∵90DEF ∠=︒，
∵45EDF ∠=︒，
∵904545EFD ∠=︒-︒=︒，
∵EDF EFD ∠=∠，
∵DE EF =，
∵MF GH ⊥，
∵90EFN ∠=︒，90HAE ∠=︒，FEN HEA ∠=∠，
∵90FEN ENF HEA H ∠+∠=∠+∠=︒，
∵ENF H ∠=∠，
∵()AAS EFN DEH ≌，
∵HE FN =，
∵HF EF EG EF -=-，
即HE FG =，
∵FN FG =，
∵90EFM ∠=︒，45EFD ∠=︒，
∵45∠=︒DFM ，
∵45NFC DFM ∠=∠=︒，45CFG DFE ∠=∠=︒，
∵EFC GFC ∠=∠，
∵CF CF =，
∵()SAS CFN CFG ≌，
∵FNC FGC ∠=∠，
∵180ENF FNC BGF FGC ∠+∠=∠+∠=︒，
∵ENF BGF ∠=∠，
∵ENF H ∠=∠，
∵H BGF ∠=∠，
∵BG BH =；
（3）解：如图，过点F 作FQ HG ⊥，连接DQ ，
根据解析（2）可知，HE FG =，H FGQ ∠=∠，
∵90HED GFQ ∠=∠=︒，
∵()ASA HED GFQ ≌，
∵DE QF =，DH QG =，
∵BH BG =，
∵BD BQ =，
∵DE GH ⊥，QF GH ⊥，
∵DE QF ∥，
∵四边形DEFQ 为平行四边形，
∵90DEF ∠=︒，DE EF =，
∵四边形DEFQ 为正方形，
∵DE DQ =，
∵BD DQ BQ ==，
∵BDQ △为等边三角形，
∵=60B ∠︒，
∵BH BG =，
∵BHG 为等边三角形，
∵BH BG GH ==，60H B BGH ∠=∠=∠=︒，
∵90EAH ∠=︒，
∵30AEH ∠=︒，
∵2AH =，
∵4HE =，
∵90DEH ∠=︒，
∵30HDE ∠=︒，
∵28DH HE ==，
DE ==
∵BD DE ==
∵826AB =+=+，
∵90BAC ∠=︒，=60B ∠︒，
∵212BC AB ==+
反向延长NA ，使AP AN =，连接PM ，
∵AN AM AP AM PM +=+≥，
∵当P 、A 、M 、N 在同一直线上时，AN AM +最小，
过点A 作'AN GH ∥交BC 于点M '，交CN 于点N '，
∵60AM B AGH '∠=∠=︒，60BAM H '∠=∠=︒，
∵ABM '△为等边三角形，60CM N AM B '''∠=∠=︒，
∵MCN △为等边三角形，
∵60MCN ∠=︒，
∵M CN ''为等边三角形，
∵当点M 与M '重合时AM AN +最小，
∵M CN ''和ABM '△为等边三角形，
∵M N M C '''=，6AB AM BM ''===+
∵12AN AM M N AM M C AC ''''''=+=+==+，
∵AN AM +的最小值为：12618++=+
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握判定和性质，是解题的关键．。