九年级数学相似三角形--母子型

相似三角形（2）
教学目标：
1．知识目标：能识别基本图形母子三角形并能熟练应用
2．能力目标：在复杂的图形中，能够在二次相似或多次相似识别基本图形及其应用
3．情感目标：通过对基本图形的应用与拓展，培养学生独立思考的习惯，发展学生的探究意识，提高学生的总结、归纳能力、阅读理解能力和创新能力。

教学重难点
重点：让学生能识别基本图形母子三角形并能熟练应用。

难点：在二次相似或多次相似能够识别基本图形及其应用。

【知识要点】
一、直角三角形相似
1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应
成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：
1、条件：如图，已知△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高．
结论：（1）△ACD∽△CBD，△BDC∽△BCA，△CDA∽△BCA
（2）△ACD∽△CBD中，2
CD AD BD
=
△BDC∽△BCA中，2
BC BD AB
=
△CDA∽△BCA中，2
AC AD AB
=
2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC
结论：△ACD∽△ABC中，2
AC AD AB
=
【例题解析】
类型一：三角形中的母子型
【例1】1.如图,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,
【练】如图，D 是△ABC的边AB上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC的长.
D C
B
A
【例2】如图，在△ABC中，AD为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC
的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2
【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽
类型二：直角三角形中的母子型
【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =∙
H
G F
E
D C B A
【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则
AD=____,CD=_______.
【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则
AD=______.
【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.
B
A
类型三：四边形中的母子型
【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =∙。

A
C
2.如图，菱形ABCD 中，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，求证：212
AD DE DB =∙。

【练】如图，P 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BP=BQ ，BH ⊥PC
于H ，求证：QH ⊥DH ．
类型四：圆中的母子型
【例1】1.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，
求证：2EB DE AE =∙。

_ A
_ C _ B
B C
E
2.如图，PA切⊙O于A，AB为⊙O的直径，M为PA的中点，连BM交⊙O于C，
求证：（1）2
=∙（2）∠MPC=∠MBP。

AM MC MB
P
【练】1.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于D，弧AC=弧CE，AE交CD于F，求证：2
=∙。

CE AF AE
A
B
2.如图，点A是⊙O上一点，以A为圆心的圆交⊙O于B、C两点，E为⊙O上一点，AE 与BC相交于点D，求证：2
=∙
AB AD AE
E
3.如图11，点O是四边形AEBC外接圆的圆心，点O在AB上，点P在BA的延长线上，且∠PEA＝∠ADE，CD⊥AB于点H，交⊙O于点D。

（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若D 为劣弧BE 的中点，且AH ＝16，BH ＝9，求EG 的长．
【家庭作业】
1、已知直角三角形ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ，D 为AC 上的一点，DE AB ⊥交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE= （ ）
A 、1.24cm
B 、1.26cm
C 、1.28cm
D 、1.3cm
2、如图1-1，在Rt ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）条线段的长，就可以求其他线段的长.
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3、在Rt ABC 中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，若
34
AC AB =，则BD CD =（ ） A 、34 B 、43 C 、169 D 、916
4、如图1-2，在矩形ABCD 中，1,3
DE AC ADE CDE ⊥∠=
∠，则EDB ∠=（ ） A 、22.5 B 、
30 C 、
45 D 、
60
5、ABC ∆中，90A ∠=，
AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD= ，AC= ，22:AB AC = 。

6、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，
AC=6，AD=3.6，则BC= ．
7、已知90CAB ∠=，AD CB ⊥，ACE ∆，ABF ∆是正三角形，求证：DE DF ⊥
图11
P
B
8、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E是弧CB的中点，EF⊥AC于F. （1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接CE、AE、CO，AE交CO于N，若CE=6，AE=8，求AN
NE
的值.。