函数完整版PPT课件
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16
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数，实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数，实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
2024/1/28
相位变换
通过改变函数内的常数项，实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数，实现对函数图 像的上下平移。
17
三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时，函数单调递增 ；当 $k < 0$ 时，函数单调递
减。
8
二次函数表达式与图像
2024/1/28
二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）
图像特点
一条抛物线，开口方向由 $a$ 决定（$a > 0$ 时向上开口 ，$a < 0$ 时向下开口），对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
13
指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
2024/1/28
14
04
三角函数及其性质
函数完整版PPT课件
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程
2
01
函数基本概念与性质
2024/1/28
3
函数定义及表示方法
01
周期性
理解三角函数的周期性，掌握周 期的计算方法，并了解周期对函
数图像的影响。
奇偶性
判断三角函数在不同区间上的奇 偶性，理解奇偶性对函数图像对
称性的影响。
单调性
分析三角函数在不同区间上的单 调性，掌握单调区间的判断方法 ，并了解单调性对函数图像变化
趋势的影响。
2024/1/28
18
05
反三角函数及其性质
2024/1/28
26
07
参数方程与极坐标方程
2024/1/28
27
参数方程基本概念及表示方法
参数方程定义
通过引入一个或多个参数来表示曲线或曲面上点 的坐标的方程。
参数方程一般形式
$left{ begin{array}{l} x = f(t) y = g(t) end{array} right.$，其中$t$为参数。
22
06
复合函数与分段函数
2024/1/28
23
复合函数定义及运算规则
01
复合函数定义
02
复合函数的运算规则
设函数$y = f(u)$的定义域为$D_f$， 函数$u = g(x)$的定义域为$D_g$， 且其值域$R_g$是$D_f$的子集，则 由$x$通过$g$和$f$确定的函数$y = f[g(x)]$称为由函数$u = g(x)$与函数 $y = f(u)$构成的复合函数。
2024/1/28
20
反三角函数图像变换规律
2024/1/28
周期性
反三角函数具有周期性，其周期与对应的三角函数相同。例如，arcsin函数的周期为2π， arccos函数的周期为2π，arctan函数的周期为π。
奇偶性
反三角函数的奇偶性与对应的三角函数相反。例如，arcsin函数是奇函数，arccos函数是 偶函数，arctan函数是奇函数。
分段函数应用举例
在交通管理中，分段函数可用于描述 不同速度下的罚款金额；在税收计算 中，可用于描述不同收入段的税率等 。
要点三
复合函数与分段函数 的综合应用
在实际问题中，常常需要将复合函数 与分段函数结合起来使用，以解决更 为复杂的问题。例如，在金融领域中 ，可以用复合函数描述利率的变化， 而用分段函数描述不同投资期限下的 收益率等。
函数定义
02
函数的表示方法
设$x$和$y$是两个变量，$D$是实数集的某个子集，若对于$D$中 的每一个数$x$，按某种对应法则$f$，使$y$唯一确定地与$x$对应 ，则称$f$为从$D$到实数集$R$的一个函数，记作$y=f(x),x in D$ 。 2024/1/28
解析法、列表法和图象法。 4
2024/1/28
15
三角函数定义及基本关系式
三角函数的定义
根据角度在直角坐标系中的位置 ，确定对应的正弦、余弦、正切
等函数值。
2024/1/28
基本关系式
掌握正弦、余弦、正切等基本三角 函数之间的关系式，如正弦定理、 余弦定理等。
诱导公式
利用周期性、奇偶性等性质，推导 出各象限间三角函数值的转换公式 。
$rho = f(theta)$或$theta = g(rho)$。
通过极坐标与直角坐标的互化公式， 可以将极坐标方程转化为直角坐标方 程。
29
参数方程和极坐标方程应用举例
参数方程应用举例
在物理学中，参数方程可以用来描述 物体的运动轨迹；在工程学中，参数 方程可以用来设计曲线的形状。
极坐标方程应用举例
应用举例
在求解实际问题时，如面积最大、费用最 小等，可转化为二次函数最值问题进行求 解。
2024/1/28
10
03
指数函数与对数函数
2024/1/28
11
指数函数表达式与图像
01
02
03
指数函数定义
形如 $y = a^x$ (a > 0, a ≠ 1) 的函数称为指数函数 。
2024/1/28
指数函数图像
在航海和航空中，极坐标可以用来确 定船只或飞机的位置；在电磁学中， 极坐标可以用来描述电场和磁场的分 布。
2024/1/28
30
THANKS
2024/1/28
31
性质
当 $a > 0$ 时，函数有最小值；当 $a < 0$ 时，函数有 最大值。
9
二次函数最值问题求解
03
最值点
对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$（ $a neq 0$），其最值点位于对称轴上， 即 $x = -frac{b}{2a}$。
最值求解
将 $x = -frac{b}{2a}$ 代入原函数，即可 求得最值 $y_{text{min/max}} = c frac{b^2}{4a}$。
2024/1/28
19
反三角函数定义及基本关系式
反三角函数定义
反三角函数是三角函数的反函数，用于求解角度值。常见的反三角函数有反正弦 函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）和反正切函数（arctan）。
基本关系式
反三角函数与三角函数之间存在基本关系式，如 arcsin(sinθ) = θ, arccos(cosθ) = θ, arctan(tanθ) = θ 等。这些关系式在求解反三角函数时非常重要。
图像变换
通过对反三角函数的图像进行平移、伸缩等变换，可以得到其他形式的反三角函数图像。 这些变换规律在绘制反三角函数图像时非常有用。
21
反三角函数应用举例
01
角度求解
在几何、物理等领域中，经常需要求解角度值。通过反三角函数，可以
将已知的三角函数值转换为相应的角度值。
2024/1/28
02 03
复合函数求解
02
一般用大括号表示，包括自变量取值范围、对应法则和函数值
三部分。
分段函数的性质
03
分段函数在其定义域内可能具有不同的性质，如单调性、连续
性等。
25
复合函数和分段函数应用举例
要点一
复合函数应用举例
在经济学中，复合函数可用于描述投 入与产出之间的关系；在物理学中， 可用于描述速度与时间的关系等。
要点二
在求解复合函数时，有时需要将其中一个函数表示为反三角函数的形式 。例如，在求解y=sin(arcsinx)时，可以将arcsinx表示为siny，从而简 化求解过程。
微分方程求解
在求解某些微分方程时，可能需要使用反三角函数来表示方程的解。例 如，在求解y''+y=0时，其解可以表示为y=A*sinx+B*cosx的形式，其 中A、B为常数。
参数方程表示方法
通过消去参数$t$，可以得到曲线或曲面的普通方 程。
2024/1/28
28
极坐标方程基本概念及表示方法
极坐标பைடு நூலகம்义
极坐标方程一般形式
极坐标方程表示方法
在平面内取一个定点$O$，叫做极点 ，引一条射线$Ox$，叫做极轴，再 选定一个长度单位和角度的正方向（ 通常取逆时针方向）。对于平面内任 何一点$M$，用$rho$表示线段 $OM$的长度（有时也用$r$表示） ，$theta$表示从$Ox$到$OM$的角 度，$rho$叫做点$M$的极径， $theta$叫做点$M$的极角，有序数 对$(rho, theta)$就叫点$M$的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系 2024/1/。28
当 a > 1 时，图像上升； 当 0 < a < 1 时，图像下 降。图像均经过点 (0, 1) 。
指数函数性质
单调性、值域、周期性等 。
12
对数函数表达式与图像
对数函数定义
形如 $y = log_a x$ (a > 0, a ≠ 1) 的函数称为对数 函数。
2024/1/28
对数函数图像
当 a > 1 时，图像上升； 当 0 < a < 1 时，图像下 降。图像均经过点 (1, 0) 。
函数性质与分类
函数性质
有界性、单调性、奇偶性、周期性。
函数分类
根据函数性质可分为有界函数、无界函数、单调函数、周期函数等；根据函数 表达式可分为一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数 等。
2024/1/28
5
常见函数类型及其图像
一次函数
$y=kx+b(k neq 0)$，图像是一条直线。
幂函数
$y=x^a(a in R)$，图像因$a$的取值不同而不同。
对数函数
$y=log_a x(a>0,a neq 1)$，图像是一条对数曲线。
2024/1/28
二次函数
$y=ax^2+bx+c(a neq 0)$，图像是一条抛物线。
指数函数
$y=a^x(a>0,a neq 1)$，图像是一条指数曲线。
三角函数
如正弦函数$y=sin x$、余弦函数$y=cos x$等，图像是 周期性的波浪线。
6
02
一次函数与二次函数
2024/1/28
7
一次函数表达式与图像
01
一次函数表达式
$y = kx + b$（$k neq 0$）
2024/1/28
02
图像特点
一条直线，斜率 $k$ 决定了直 线的倾斜程度，截距 $b$ 决定
复合函数遵循“由内到外”的运算顺 序，即先求内层函数的值，再将其代 入外层函数中计算。
03
复合函数的性质
复合函数具有保域性、单调性、奇偶 性等性质。
2024/1/28
24
分段函数定义及表示方法
2024/1/28
分段函数定义
01
在自变量的不同取值范围内，对应法则用不同解析式子来表示
的一个函数。
分段函数的表示方法
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数，实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数，实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
2024/1/28
相位变换
通过改变函数内的常数项，实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数，实现对函数图 像的上下平移。
17
三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时，函数单调递增 ；当 $k < 0$ 时，函数单调递
减。
8
二次函数表达式与图像
2024/1/28
二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）
图像特点
一条抛物线，开口方向由 $a$ 决定（$a > 0$ 时向上开口 ，$a < 0$ 时向下开口），对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
13
指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
2024/1/28
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04
三角函数及其性质
函数完整版PPT课件
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程
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01
函数基本概念与性质
2024/1/28
3
函数定义及表示方法
01
周期性
理解三角函数的周期性，掌握周 期的计算方法，并了解周期对函
数图像的影响。
奇偶性
判断三角函数在不同区间上的奇 偶性，理解奇偶性对函数图像对
称性的影响。
单调性
分析三角函数在不同区间上的单 调性，掌握单调区间的判断方法 ，并了解单调性对函数图像变化
趋势的影响。
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05
反三角函数及其性质
2024/1/28
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07
参数方程与极坐标方程
2024/1/28
27
参数方程基本概念及表示方法
参数方程定义
通过引入一个或多个参数来表示曲线或曲面上点 的坐标的方程。
参数方程一般形式
$left{ begin{array}{l} x = f(t) y = g(t) end{array} right.$，其中$t$为参数。
22
06
复合函数与分段函数
2024/1/28
23
复合函数定义及运算规则
01
复合函数定义
02
复合函数的运算规则
设函数$y = f(u)$的定义域为$D_f$， 函数$u = g(x)$的定义域为$D_g$， 且其值域$R_g$是$D_f$的子集，则 由$x$通过$g$和$f$确定的函数$y = f[g(x)]$称为由函数$u = g(x)$与函数 $y = f(u)$构成的复合函数。
2024/1/28
20
反三角函数图像变换规律
2024/1/28
周期性
反三角函数具有周期性，其周期与对应的三角函数相同。例如，arcsin函数的周期为2π， arccos函数的周期为2π，arctan函数的周期为π。
奇偶性
反三角函数的奇偶性与对应的三角函数相反。例如，arcsin函数是奇函数，arccos函数是 偶函数，arctan函数是奇函数。
分段函数应用举例
在交通管理中，分段函数可用于描述 不同速度下的罚款金额；在税收计算 中，可用于描述不同收入段的税率等 。
要点三
复合函数与分段函数 的综合应用
在实际问题中，常常需要将复合函数 与分段函数结合起来使用，以解决更 为复杂的问题。例如，在金融领域中 ，可以用复合函数描述利率的变化， 而用分段函数描述不同投资期限下的 收益率等。
函数定义
02
函数的表示方法
设$x$和$y$是两个变量，$D$是实数集的某个子集，若对于$D$中 的每一个数$x$，按某种对应法则$f$，使$y$唯一确定地与$x$对应 ，则称$f$为从$D$到实数集$R$的一个函数，记作$y=f(x),x in D$ 。 2024/1/28
解析法、列表法和图象法。 4
2024/1/28
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三角函数定义及基本关系式
三角函数的定义
根据角度在直角坐标系中的位置 ，确定对应的正弦、余弦、正切
等函数值。
2024/1/28
基本关系式
掌握正弦、余弦、正切等基本三角 函数之间的关系式，如正弦定理、 余弦定理等。
诱导公式
利用周期性、奇偶性等性质，推导 出各象限间三角函数值的转换公式 。
$rho = f(theta)$或$theta = g(rho)$。
通过极坐标与直角坐标的互化公式， 可以将极坐标方程转化为直角坐标方 程。
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参数方程和极坐标方程应用举例
参数方程应用举例
在物理学中，参数方程可以用来描述 物体的运动轨迹；在工程学中，参数 方程可以用来设计曲线的形状。
极坐标方程应用举例
应用举例
在求解实际问题时，如面积最大、费用最 小等，可转化为二次函数最值问题进行求 解。
2024/1/28
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03
指数函数与对数函数
2024/1/28
11
指数函数表达式与图像
01
02
03
指数函数定义
形如 $y = a^x$ (a > 0, a ≠ 1) 的函数称为指数函数 。
2024/1/28
指数函数图像
在航海和航空中，极坐标可以用来确 定船只或飞机的位置；在电磁学中， 极坐标可以用来描述电场和磁场的分 布。
2024/1/28
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THANKS
2024/1/28
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性质
当 $a > 0$ 时，函数有最小值；当 $a < 0$ 时，函数有 最大值。
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二次函数最值问题求解
03
最值点
对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$（ $a neq 0$），其最值点位于对称轴上， 即 $x = -frac{b}{2a}$。
最值求解
将 $x = -frac{b}{2a}$ 代入原函数，即可 求得最值 $y_{text{min/max}} = c frac{b^2}{4a}$。
2024/1/28
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反三角函数定义及基本关系式
反三角函数定义
反三角函数是三角函数的反函数，用于求解角度值。常见的反三角函数有反正弦 函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）和反正切函数（arctan）。
基本关系式
反三角函数与三角函数之间存在基本关系式，如 arcsin(sinθ) = θ, arccos(cosθ) = θ, arctan(tanθ) = θ 等。这些关系式在求解反三角函数时非常重要。
图像变换
通过对反三角函数的图像进行平移、伸缩等变换，可以得到其他形式的反三角函数图像。 这些变换规律在绘制反三角函数图像时非常有用。
21
反三角函数应用举例
01
角度求解
在几何、物理等领域中，经常需要求解角度值。通过反三角函数，可以
将已知的三角函数值转换为相应的角度值。
2024/1/28
02 03
复合函数求解
02
一般用大括号表示，包括自变量取值范围、对应法则和函数值
三部分。
分段函数的性质
03
分段函数在其定义域内可能具有不同的性质，如单调性、连续
性等。
25
复合函数和分段函数应用举例
要点一
复合函数应用举例
在经济学中，复合函数可用于描述投 入与产出之间的关系；在物理学中， 可用于描述速度与时间的关系等。
要点二
在求解复合函数时，有时需要将其中一个函数表示为反三角函数的形式 。例如，在求解y=sin(arcsinx)时，可以将arcsinx表示为siny，从而简 化求解过程。
微分方程求解
在求解某些微分方程时，可能需要使用反三角函数来表示方程的解。例 如，在求解y''+y=0时，其解可以表示为y=A*sinx+B*cosx的形式，其 中A、B为常数。
参数方程表示方法
通过消去参数$t$，可以得到曲线或曲面的普通方 程。
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极坐标方程基本概念及表示方法
极坐标பைடு நூலகம்义
极坐标方程一般形式
极坐标方程表示方法
在平面内取一个定点$O$，叫做极点 ，引一条射线$Ox$，叫做极轴，再 选定一个长度单位和角度的正方向（ 通常取逆时针方向）。对于平面内任 何一点$M$，用$rho$表示线段 $OM$的长度（有时也用$r$表示） ，$theta$表示从$Ox$到$OM$的角 度，$rho$叫做点$M$的极径， $theta$叫做点$M$的极角，有序数 对$(rho, theta)$就叫点$M$的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系 2024/1/。28
当 a > 1 时，图像上升； 当 0 < a < 1 时，图像下 降。图像均经过点 (0, 1) 。
指数函数性质
单调性、值域、周期性等 。
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对数函数表达式与图像
对数函数定义
形如 $y = log_a x$ (a > 0, a ≠ 1) 的函数称为对数 函数。
2024/1/28
对数函数图像
当 a > 1 时，图像上升； 当 0 < a < 1 时，图像下 降。图像均经过点 (1, 0) 。
函数性质与分类
函数性质
有界性、单调性、奇偶性、周期性。
函数分类
根据函数性质可分为有界函数、无界函数、单调函数、周期函数等；根据函数 表达式可分为一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数 等。
2024/1/28
5
常见函数类型及其图像
一次函数
$y=kx+b(k neq 0)$，图像是一条直线。
幂函数
$y=x^a(a in R)$，图像因$a$的取值不同而不同。
对数函数
$y=log_a x(a>0,a neq 1)$，图像是一条对数曲线。
2024/1/28
二次函数
$y=ax^2+bx+c(a neq 0)$，图像是一条抛物线。
指数函数
$y=a^x(a>0,a neq 1)$，图像是一条指数曲线。
三角函数
如正弦函数$y=sin x$、余弦函数$y=cos x$等，图像是 周期性的波浪线。
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一次函数与二次函数
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一次函数表达式与图像
01
一次函数表达式
$y = kx + b$（$k neq 0$）
2024/1/28
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图像特点
一条直线，斜率 $k$ 决定了直 线的倾斜程度，截距 $b$ 决定
复合函数遵循“由内到外”的运算顺 序，即先求内层函数的值，再将其代 入外层函数中计算。
03
复合函数的性质
复合函数具有保域性、单调性、奇偶 性等性质。
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分段函数定义及表示方法
2024/1/28
分段函数定义
01
在自变量的不同取值范围内，对应法则用不同解析式子来表示
的一个函数。
分段函数的表示方法