第5讲全等三角形动态几何

第五讲全等三角形动态几何
一、知识梳理
所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线，上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查.动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。

解动态几何题一.般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系(如等量关系、变量关系)、图形位置关系(如图形的特殊状态、图形间的特殊关系)等进行研究考察.抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。

二、典型例题
例1、如图，已知AB ＝12米，MA ⊥AB 于点A ，MA ＝6米，射线BD ⊥AB 于点B ，点P 从点B 出发沿BA 方向往点A 运动，每秒走1米，点Q 从点B 出发沿BD 方向运动，每秒走2米，若点P 、Q 同时从点B 出发，出发t 秒后，在线段MA 上有一点C ，使由点C 、A 、P 组成的三角形与△PBQ 全等，则t 的值是_____．
【答案】4秒
例2、如图，有一个直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC 10=，BC 6=，线段PQ =AB ，点Q 在过点A 且垂直于AC 的射线AX 上来回运动，点P 从C 点出发，沿射线CA 以2/cm s 的
速度运动，问P 点运动___________秒时(t 0)>，才能使ABC ≌QPA 全等．
【答案】2或8
例3、图，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝100，E ，F 分别为线段AB 和射线BD 上的一点，若点E
从点B 出发向点A 运动，同时点F 从点B 出发向点D 运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC 上取一点G ，使△AEG 与△BEF 全等，则AG 的长为40或75．
【分析】设BE ＝2t ，则BF ＝3t ，使△AEG 与△BEF 全等，由∠A ＝∠B ＝90°可知，分两种情况：
情况一：当BE ＝AG ，BF ＝AE 时，列方程解得t ，可得AG ；
情况二：当BE ＝AE ，BF ＝AG 时，列方程解得t ，可得AG ．
【解答】解：设BE ＝2t ，则BF ＝3t ，因为∠A ＝∠B ＝90°，使△AEG 与△BEF 全等，可分两种情况：
情况一：当BE ＝AG ，BF ＝AE 时，
∵BF ＝AE ，AB ＝100，
∴3t ＝100﹣2t ，
解得：t ＝20，
∴AG ＝BE ＝2t ＝2×20＝40；
情况二：当BE ＝AE ，BF ＝AG 时，
∵BE ＝AE ，AB ＝100，
∴2t ＝100﹣2t ，
解得：t ＝25，
∴AG ＝BF ＝3t ＝3×25＝75，
综上所述，AG ＝40或AG ＝75．
故答案为：40或75．
例4、如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点P 在线段AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．
（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
(1)当t =1时，AP =BQ =1,BP =AC =3,
又∠A =∠B =90°，
在△ACP 和△BPQ 中，
{AP BQ
A B
AC BP
=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ (SAS ).
∴∠ACP =∠BPQ ,
∴∠APC +∠BPQ =∠APC +∠ACP =90*.
∴∠CPQ =90°，
即线段PC 与线段PQ 垂直；
(2)①若△ACP ≌△BPQ ，
则AC =BP ，AP =BQ ，
34t t xt
=-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩
;②若△ACP ≌△BQP ，
则AC =BQ ，AP =BP ，
34xt t t
=⎧⎨=-⎩解得：232
t x =⎧⎪⎨=⎪⎩综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232
t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等.例5、如图，已知△ABC 中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D 为AB 的中点．
（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒得速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，1秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD ≌△CQP ？
（2）若点Q 以（1）②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，
都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
例6、如图（1）AB =8cm ，AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC =BD =6cm ，点P 在线段AB 上以2/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，它们的运动时间为t (s )．
（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t =1时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“60CAB DBA ∠=∠= ”，其他条件不变，设点Q 的运动速度为/xcm s ，是否存在实数x ，使得ACP ∆与BPQ ∆全等？若存在，求出相应的x 、t 值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）当1t =时，2AP BQ ==，6BP AC ==，
又∠A =∠B =90°，
在ACP ∆与BPQ ∆中
AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACP ≌△BPQ (SAS )，
ACP BPQ ∴∠=∠，
90APC BPQ APC ACP ∴∠+∠=∠+∠= ，
90CPQ ∴∠= ，
即PC PQ ⊥；
（2）①若△ACP ≌△BPQ ，
则AC BP =，A P B Q =，
8262t t xt -=⎧⎨=⎩
，解得12t x =⎧⎨=⎩
；②若△ACP ≌△BQP ，
则AC BQ =，AP BP =，
6282xt t t =⎧⎨=-⎩
，解得23t x =⎧⎨=⎩
，综上所述，存在1223
t t x x ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，使得ACP ∆与BPQ ∆全等.例7、在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，D 是AB 的中点，动点E 从A 点出
发沿着AC 匀速运动到终点C ，动点F 从C 点出发沿着CB 匀速运动到终点B ，他们同时出发并同时到达终点，连结DE ，DF ，EF ，在运动过程中。

(1)请分析△DEF 形状变化
(2)若AB=4，四边形ECFD的面积是否发生变化，若不变，请求出它的面积，若发生变化，请简要说说它是如何变化的.
例8、如图1所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF．
（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．
三、课堂练习
1.如图，CA ⊥AB ，垂足为点A ，AB =12，AC =6，射线BM ⊥AB ，垂足为点B ，一动点E 从A 点出发以2厘米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED =CB ，当点E 经过秒时，△DEB 与△BCA 全等．
【答案】0，3，9，12．
2.如图，点C 在线段BD 上，AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，∠ACE =90°，且AC =5cm ，CE =6cm ，点P 以2cm /s 的速度沿A C E →→向终点E 运动，同时点Q 以3/cm s 的速度从E 开始，在线段EC 上往返运动（即沿E C E C →→→…运动），当点P 到达终点时，P ，Q 同时停止运动.过P ，Q 分别作BD 的垂线，垂足为M ，N 设运动时间为t s ，当以P ，C ，M 为顶点的三角形与△QCN 全等时，t 的值为__________．
【答案】1或115或2353.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．点P 从点A 出发，沿折线AC —CB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC —CA 以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P 、Q 两点同时出发．分别过P 、Q 两点作PE ⊥l 于E ，QF ⊥l 于F ．设点P 的运动时间为t （秒）：
（1）当P 、Q 两点相遇时，求t 的值；
（2）在整个运动过程中，求CP 的长（用含t 的代数式表示）；
（3）当△PEC 与△QFC 全等时，直接写出所有满足条件的CQ 的长．
【答案】
解：（1）由题意得t ＋3t ＝6＋8，
解得：t ＝72
（秒），当P 、Q 两点相遇时，t 的值为
72
秒；（2）由题意可知AP ＝t ，则CP 的长为6(6)6(614)t t t t -≤⎧⎨-<≤⎩
；（3）当P 在AC 上，Q 在BC 上时，
∵∠ACB ＝90，
∴∠PCE ＋∠QCF ＝90°，
∵PE ⊥l 于E ，QF ⊥l 于F ．
∴∠EPC ＋∠PCE ＝90°，∠PEC ＝∠CFQ ＝90°，
∴∠EPC ＝∠QCF ，
∴△PCE ≌△CQF ，
∴PC ＝CQ ，
∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，
∴CQ＝8﹣3t＝5；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，
由题意得，6﹣t＝3t﹣8，
解得：t＝3.5，
∴CQ＝3t﹣8＝2.5，
当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，
综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．
4.如图所示，在△ABC中，AB=AC=20cm，BC=16cm，D为AB中点，如果点P
在线段BC上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向点A运动，设运动时间为t（s）．
（1）若点P与点Q的速度都是2cm/s，问经过多少时间△BPD与△CQP全等？
说明理由；
（2）若点P的速度比点Q的速度都慢2cm/s，则经过多少时间△BPD与△CQP 全等，并求出此时两点的速度；
（3）若点P、点Q分别以（2）中速度同时从B、C出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，问经过多少时间点P与点Q第一次相遇，相遇点在△ABC的哪条边上？并求出相遇点与点B的距离．
5.已知：如图1所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．
（1）试判断线段DE、BD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE、BD、CE之间的数量关系．
三、举一反三
1.如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，
如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1B．1或4C．1或2D．3
2.如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，
点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
【答案】3或9 2
3.如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，
点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同
时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵∠B＝∠C，
∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，5＝8﹣3t，
解得t＝1，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒；
②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t＝8﹣3t，
解得t＝，
∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒；
故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．
4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD
于E．
（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，
①求∠ECD的度数；②求证：BD=2EC；
（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．
一、单选题1.
如图，D 为ABC ∆边B C 上一点，AB AC =，56BAC ∠=︒，且BF D C =，EC BD =，则EDF ∠等于(
)
A ．62︒
B ．56︒
C ．34︒
D ．124︒
【解答】解：AB AC = ，11
(180)(18056)6222
B C BAC ∴∠=∠=
︒-∠=︒-︒=︒，在BFD ∆和E D C ∆中，BF DC
B C BD CE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩，
()BFD EDC SAS ∴∆≅∆，
BFD EDC ∴∠=∠，
180********FDB EDC FDB BFD B ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，
则180()18011862EDF FDB EDC ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．
故选：A ．
2.已知：如图，AC C D =，90B E ∠=∠=︒，AC CD ⊥，则不正确的结论是(
)
A ．A ∠与D ∠互为余角
B ．2A ∠=∠
C ．ABC CED
∆≅∆D ．12
∠=∠【解答】解：AC CD ⊥ ，1290∴∠+∠=︒，90B ∠=︒ ，190A ∴∠+∠=︒，2A ∴∠=∠，
在ABC ∆和CED ∆中，902
B E A A
C C
D ∠=∠=︒⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，()ABC CED AAS ∴∆≅∆，
故B 、C 选项正确；290D ∠+∠=︒ ，90A D ∴∠+∠=︒，故A 选项正确；
AC CD ⊥ ，90ACD ∴∠=︒，
1290∠+∠=︒，
故D 选项错误．故选：D ．
3.如图，已知90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥，AD C E ⊥于点D ， 2.5AD cm =，
1.7DE cm =，则(
BE =
)A ．1cm B ．0.8cm C ．4.2cm
D ．1.5cm
【解答】解：BE CE ⊥ ，AD C E ⊥，90ACB ∠=︒，90E ADC AC B ∴∠=∠=∠=︒，
90BC E AC D ∴∠+∠=︒，90C AD AC D ∠+∠=︒，BCE CAD ∴∠=∠，在BCE ∆和ACD ∆中E ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
BC E AC D ∴∆≅∆，
2.5AD CE cm ∴==，BE CD =，
2.5 1.70.8BE CD CE DE cm cm cm ∴==-=-=，
故选：B ．
4.
如图，在ABC ∆，ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下三个结论：①BD CE =；②BD C E ⊥；③45AC E D BC ∠+∠=︒．其中结论正确的个数是(
)
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
【解答】解：①90BAC D AE ∠=∠=︒ ，
BAC CAD DAE CAD ∴∠+∠=∠+∠，即BAD C AE ∠=∠，
在BAD ∆和CAE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩，
()BAD CAE SAS ∴∆≅∆，
BD CE ∴=，本选项正确；
②BAD CAE ∆≅∆ ，ABD ACE ∴∠=∠，
45ABD D BC ∠+∠=︒ ，45AC E D BC ∴∠+∠=︒，
90DBC DCB DBC ACE ACB ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒，
则BD C E ⊥，本选项正确；③ABC ∆ 为等腰直角三角形，45ABC AC B ∴∠=∠=︒，45ABD D BC ∴∠+∠=︒，
ABD ACE
∠=∠ 45AC E D BC ∴∠+∠=︒，本选项正确；
综上所述，正确的结论有3个．故选：C ．二、填空题
5.如图，AB AD =，AC AE =，52DAB CAE ∠=∠=︒，则BOC ∠=
︒
．
【解答】解：52D AB C AE ∠=∠=︒ ，
DAC BAE ∴∠=∠，且AB AD =，AC AE =，()
DAC BAE SAS ∴∆≅∆ADC ABE ∴∠=∠，
180BOC BDO ABD ABO BDO ABD ADC DAB ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒-∠ ，18052128BOC ∴∠=︒-︒=︒，
故答案为：128．
6.如图示，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD C E ⊥于D ，8AD =，5D E =，
则CDB ∆的面积等于．
【解答】解：90
ACB
∠=︒
，
90
BCE ECA
∴∠+∠=︒，
AD CE
⊥
于D，
90
C A
D EC A
∴∠+∠=︒，
CAD BCE
∴∠=∠．
又90
AD C C EB
∠=∠=︒，AC BC
=，AC D C BE
∴∆≅∆，
BE CD
∴=，8
CE AD
==，
853
BE CD CE DE
∴==-=-=，
_
119
33
222 CDB
S CD BE
∴==⨯⨯=
．
故答案为：9
2
．
7.如图，AO OM
⊥，4
O A=，点B为射线O M上的一个动点，分别以O B，AB为直角边，B为直角顶点，在O M两侧作等腰Rt OBF
∆、等腰Rt ABE
∆，连接EF交O M于P 点，当点B在射线O M上移动时，则P B的长度为．
【解答】解：如图，过点E作EN BM
⊥，垂足为点N，
90
AOB ABE BNE
∠=∠=∠=︒
，
90
ABO BAO ABO NBE
∴∠+∠=∠+∠=︒，
BAO NBE
∴∠=∠，
ABE
∆
、BFO
∆均为等腰直角三角形，
AB BE
∴=，BF BO
=；
在ABO
∆与BEN
∆中，
BAO NBE AOB BNE AB BE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()ABO BEN AAS ∴∆≅∆，
BO NE ∴=，BN AO =；BO BF = ，BF NE ∴=，
在BPF ∆与NPE ∆中，FBP ENP FPB EPN BF NE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，()BPF NPE AAS ∴∆≅∆，1
2
BP NP BN ∴==；而BN AO =，11
4222
BP AO ∴=
=⨯=，故答案为：2
．
8.
如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂
线BD ，C E ，若4BD cm =，3CE cm =，则DE =
cm
．【解答】解： 在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，90ADB AEC ∠=∠=︒
90BAD EAC ∴∠+∠=︒，90BAD B ∠+∠=︒
EAC B ∴∠=∠AB AC
= ()
ABD ACE AAS ∴∆≅∆AD CE ∴=，BD AE
=7DE AD AE CE BD cm ∴=+=+=．
故填7．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．
三、解答题
9.已知：如图，ABC ∆和C D E ∆都是等边三角形，且点A 、C 、E 在一条直线上，AD 与
BE 相交于点P ，AD 与B C 相交于点M ，BE 与C D 相交于点N ．求证：（1）60APB ∠=︒；（2）CM CN =
．
【解答】证明：（1）ABC ∆ 和C D E ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，D C EC =，60AC B D C E ∠=∠=︒，ACB BCD DCE BCD ∴∠+∠=∠+∠，即ACD BCE ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
CAD CBE ∴∠=∠．
又AM C BM P ∠=∠ ，60APB ACB ∴∠=∠=︒；（2）在AC M ∆和B C N ∆中CAD CBE AC BC
ACB BCD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
()ACM BCN ASA ∴∆≅∆，
CM CN ∴=．
10.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，
垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．（1）求证：AE=CD ；
（2）若AC=12cm ，求BD 的长．
【解答】（1）∵CF ⊥AE
∴∠AFC=90°
∴∠CAE+∠ACF=90°
∵∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACF=90°
∴∠CAE=∠BCD
∵BD ⊥BC
∴∠CBD=90°
∴∠CBD=∠ACB
∴△ACE ≌△CBD(ASA)
∴AE=CD
（2）∵AC 2+BC 2=AB 2,AC=BC,AB=52cm
∴2BC 2=（52）2=25
∴BC=5
∵AE 是BC 边上的中线
∴CE=2.5cm
∵△ACE ≌△CBD
∴BD=CE=2.5cm
11.已知：如图，ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是B C 的中点，⊥AF BE 于G ．求
证：DH DF
=
【解答】∵AB=AC ，∠BAC=90°，D 是BC 的中点
∴AD=BD=CD ，AD ⊥BC
∴∠ADB=90°
∵AF ⊥BE
∴∠AGH=90°
∴∠DBE=∠DAF
∴在△BDH 和△ADF 中，
⎪⎩
⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ADF ADB AD BD DAF DBH ∴△BDH ≌△ADF （ASA ）
∴DH =DF
12.如图，已知Rt ABC △中90ACB ∠=°，AC BC =，D 是B C 的中点，C E AD ⊥，垂足
为E ．BF AC ∥，交C E 的延长线于点F ．求证：2AC BF =
．
【解答】∵∠ACB=90°，BF ∥AC ，
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∠ADC+∠CAD=90°．
∵CE ⊥AD ，
∴∠FCB+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠FCB ．
又∵AC=CB ，
∴△ADC ≌△CFB ．
∴DC=FB ．
∵D 是BC 的中点，
∴BC=2BF ，
即AC=2BF ．
13.已知∠MAN ＝45°，点B 为射线AN 上一定点，点C 为射线AM 上一动点（不与点A
重合），点D 在线段BC 的延长线上，且CD ＝CB ，过点D 作DE ⊥AM 于点E ．
（1）当点C 运动到如图1的位置时，点E 恰好与点C 重合，此时AC 与DE 的数量关系是AC ＝DE ；
（2）当点C 运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC ＝AE +DE ；
（3）在点C 运动的过程中，点E 能否在射线AM 的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC ，AE ，DE 之间的数量关系；若不能，请说明理由．
【分析】（1）易证△ABD是等腰三角形，得AB＝AD，由SSS证得△ABC≌△ADC，得出∠CAD＝∠BAC＝45°，则∠BAD＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；
（2）依题意即可补全图形，过点B作BF⊥AM于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，由AAS 证得△BFC≌△DEC，得出BF＝DE，CF＝CE，易证△ABF是等腰直角三角形，再BF ＝AF，推出AF＝DE，即可得出结论；
（3）过点B作BF⊥AM于F，同（2）△BFC≌△DEC（AAS），得出BF＝DE，CF＝CE，证得AF＝DE，即可得出结果．
【解答】（1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AB＝AD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝45°+45°＝90°，
∴AC＝CD＝CB，
∵点E恰好与点C重合，
∴AC＝DE，
故答案为：AC＝DE；
（2）证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴AE+DE＝AF+CF+CE+DE＝AC+CF+AF＝AC+AC＝2AC，∴2AC＝AE+DE；
（3）解：能，2AC+AE＝DE；理由如下：
过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴2AC+AE＝AC+CE＝AC+CF＝AF＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．。