2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第八章 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解析

一、填空题

1．设y ＝x 3与y ＝(1

2)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是 (n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.

解析：作出y ＝x 3与y ＝(1

2)x －2的图象观察可知1<x 0<2.故n ＝1. 答案：1

2．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：

则函数y ＝f (解析：依题意，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个． 答案：3

3．设函数f (x )＝1

3x －ln x (x >0)，有下列命题：

①在区间(1

e ，1)，(1，e)内均有零点； ②在区间(1

e ，1)，(1，e)内均无零点；

③在区间(1

e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点； ④在区间(1

e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点． 正确命题的序号是________．

解析：f ′(x )＝13－1

x ，易知f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(1e ，e)上单调递减，又f (1e )＝13e ＋1>0，f (1)＝13－0>0，f (e)＝e

3－1<0， ∴f (1)·f (e)<0，f (1

e )·

f (1)>0.

∴f (x )在区间(1

e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点． 答案：④

4．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是1，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 解析：由题意知ax ＋b ＝0(a ≠0)的解为x ＝1，∴b ＝－a ， ∴g (x )＝－ax 2－ax ＝－ax (x ＋1)， 由g (x )＝0得x ＝0或x ＝－1. 答案：0或－1

5．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是________．

解析：设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0⇒m >52. 答案：m >5

2

6．若函数f (x )＝x 3－ax 2(a >0)在区间(20

3，＋∞)上是单调增函数，则使方程f (x )＝1 000有整数解的实数a 的个数是________． 解析：令f ′(x )＝3x 2－2ax >0，

则x >2a

3或x <0.

由f (x )在区间(203，＋∞)上是单调增函数知(203，＋∞)⊆(2a

3，＋∞)，

从而a ∈(0,10]．由f (x )＝1 000得a ＝x －1 000x 2，令g (x )＝x －1 000

x 2，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g (x )与y ＝a (0<a ≤10)的大致图象 (如图所示)．当a ＝10时，由f (x )＝1 000得x 3－10x 2－1 000＝0.令h (x )＝x 3－10x 2－1 000，因为h (14)＝－216<0，h (15)＝125>0，所以方程x 3－10x 2－1 000＝0在区间(14,15)上存在根x 0，因此从图象可以看出在(10，x 0]之间f (x )＝1 000共有4个整数解．

答案：4

7．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2

x 的零点所在的区间是(n ，n ＋1)，则正整数n ＝________. 解析：设x 0是函数f (x )＝ln(x ＋1)－2

x 的零点，而f (1)<0，f (2)>0， ∴x 0所在的区间是(1,2)，∴n ＝1. 答案：1

8．已知f (x )＝2x ，g (x )＝3－x 2，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是________． 解析：在同一坐标系内作出函数f (x )＝2x 与g (x )＝3－x 2的图象，两图象有两个交点，故函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点． 答案：2

9．若函数f (x )＝x 2·lg a －2x ＋2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是________．

解析：由题意可知，f (1)f (2)<0，即(2lg a －1)lg a <0，解得1<a <10. 答案：(1，10) 二、解答题

10．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围．

解析：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，

则f (x )为开口向上的抛物线(如图所示)． ∵f (x )＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

f (－2)>0，

f (0)<0，f (1)<0，f (3)>0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

3×(－2)2－5×(－2)＋a >0，

a <0，3－5＋a <0，3×9－5×3＋a >0，

解得－12<a <0.

∴所求a 的取值范围是(－12,0)．

11．已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，求实数p 的取值范围．

解析：二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的否定是对于区间[－1,1]内的任意一个x 都有f (x )≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

f (1)≤0，f (－1)≤0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4＋2(p －2)－2p 2

－p ＋1≤0，

整理得⎩⎪⎨⎪⎧

2p 2＋3p －9≥0，2p 2－p －1≥0，

解得p ≥3

2或p ≤－3，

∴二次函数在区间[－1, 1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的实数p 的取值范围是(－3，3

2)．

12．已知二次函数y ＝g (x )的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g (x )在x ＝－1处取得极小值m －1(m ≠0)．设函数f (x )＝g (x )

x .

(1)若曲线y ＝f (x )上的点P 到点Q (0,2)的距离的最小值为2，求m 的值； (2)k (k ∈R)如何取值时，函数y ＝f (x )－kx 存在零点，并求出零点．