必胜的数学套路——对弈策略教案

必胜的数学套路
——对弈问题
一、教学目标：
1.在探究数学游戏的必胜策略活动中，了解并掌握对弈问题所包含的数学知识。

2.在阅读、探究、实验、辩论的过程中了解并掌握游戏必胜的计算方法和规律，练习并加强计算能力和反应能力，加深对倍的认识。

3.认识到数学学科的神奇之处，增加对数学的喜爱之情。

二、教学准备：
教师：PPT、20支粉笔
学生：纸和笔
三、教学重难点
掌握游戏必胜的计算方法和规律，和解决这类问题的常用方法。

四、教学过程：
1.课前导入：热身游戏
师：孩子们，在上课之前，我们来玩一个有趣的游戏，叫做：《最后的粉笔》。

（PPT出示游戏规则，让学生看。

）
师：请两位同学分别上台来扮演大明和小明，试一试谁能赢？
【可以让学生玩3局，预设有输有赢】
出示问题：有没有办法，让大明或者小明一定取胜呢！我们需要学习一些数学套路，以后只要遇到这种问题，就能百战百胜！
2.学习周期取胜
（1）师：为了方便研究，我们把取粉笔改为报数。

大明小明两人轮流报数，每人每次至少报1个数，最多报4个数，谁先报到10，谁就获胜。

（2）活动：小组内试一试，想一想，有没有办法一定赢呢？（PPT提示倒推，从10开始，为了报到10，所以9就是对方的，但下一步876都不能选，只能选5，
不然就会被对方报5，对方就只能报4，这样看来先报1可以赢）
（3）有更快的方法吗？揭秘：知己知“彼”，百战百胜
①若对方先报数1，而我方应该报4，因为1+4=5（头+尾=周期）！可以凑成5，而10÷5=2，只需要两轮，你就可以取胜，10就是你的了。

②若对方报2呢？你就报3，因为2+3=5，也只需要两轮，你就可以取胜了。

③只要能抢到使两人报的自然数之和为5的第一个倍数“5”，以后无论对方
报几，只要你每次所报的数和对方所报数之和凑成5，即每次抢到5的倍数：5、10……
所以，只要根据敌方动作，调整我方策略，就能必胜。

小结：所以，一定要让对方先报数！
（4）尝试：
①大明、小明两人轮流报数，每人每次至少报1个，最多报5个，从1到180，谁先报到180，谁就获胜。

请你和同桌讨论给出必胜的方法。

②揭秘：每人最少报1，最多报5，因为180÷（1+5）＝30，让对方先报数，无论报的是1、2、3、4、5，你都相应地报出与对方所报的数之和凑成6，使自己每次抢到6的倍数，就能必胜。

③总结：
制胜方法：
（1）让对方先报数；
（2）只要每次所报数的个数和对方所报数的个数之和凑成6，即每次抢到6的倍数，这样就一定能抢到180。

（5）练习提升
①大明、小明两人抓石子，规定最多可以抓3个，最少抓1个，谁抓到最后一个石子就算输。

若让大明先去抓，棋子数为3001个，小明怎么样才能必胜？
②设置活动：同桌讨论，小明的必胜策略。

请一人起来汇报。

③揭秘
小明只需要每次根据大明抓的个数，和和他的之和凑成3（最多）+1（最少）=4，只需要3001÷4=750（次）……1（个）后，就只剩下1个，大明不要也得要。

（6）
①变化：大明发现了小明的套路，于是他也学会了最优取法，想以其人之道还治其人之身，若还是大明先取，但也才用必胜套路，大明会赢吗？
②盘子里有100个巧克力，大明、小明两人每次轮流取走1至3粒巧克力，谁能取完盘子里的巧克力谁就获胜。

如果双方都采取最佳取法，大明先取。

那么获胜的是谁？
③揭秘：即便大明采取了最佳取法，但是由于自己先取，已经被小明抢占先机，创造了第一个倍数（1+3=4）,100÷4=25，还是被小明取胜了。

所以：后取+凑出和=必胜！
（7）总结，引出课题：这就是数学中的对弈问题，对弈问题主要研究下棋、报数等比赛，在这些活动中，参加竞争的双方都想获胜，必须考虑对方可能怎样决策，从而选出一个最好的应对策略。

3.对称必胜策略
（1）①大明、小明两人轮流地往一张圆桌面上放一枚5角硬币，不能重叠。

谁放完最后一枚之后，使得对方无法再往桌面上放硬币时，谁就是胜利者。

如果大明先放，大明有没有必胜的策略呢？（PPT出示圆桌）
②设置活动：同桌二人在本子上画圆代替，研究一下，看看有没有必胜策略呢？
③揭秘：
为了方便研究，以圆心为中点，把它平均分成6份。

大明知道圆是一个中心对称图形，就抢先占据中心点，下来无论小明把一个硬币放哪里，大明就放在和他对称的位置，只要小明能找到位置放硬币，大
明就能找到相应对称的位置，这样大明最后就一定会胜利！
④小结：大明有必胜的策略。

先在圆桌正中心放一枚硬币，然后无论小明
怎么放，只要放在与小明所放位置中心点对称的位置上。

大明一定获胜。

（2）尝试
①在一张大圆桌上放同样大小的碟子，不能重叠，每次放一只，放到对方无法再放时，你就获胜。

你先放，怎样放必胜？
②揭秘：圆是中心对称图形，先在圆桌正中心放一只碟子，然后无论对方把碟子放在何处，我们就在对方所放位置关于中心点对称的位置上放另一只碟，这样只要对方能找到位置放碟子，我们总能找到对应的位置，直到结束，我们一定获胜。

（3）总结：我方先走，占据中心+对称放置！
思考：如果规定中心不能放碟子，我方先走还是后走才能必胜？
3.学习余数取胜
（1）①情景：有26根小棒如图放置。

游戏规则为：从最下面一排右边开始按顺序取，大明小明两人轮流取。

每人每次至少取1根，最多取5根。

且下一排未取完之前不能取上一排，取到最后一根者胜。

怎样取才能必胜？
②思考：小组内讨论，怎样制定策略，才能必胜？提示：26÷（1+6）=4……2和之前的情况有联系吗？
③揭秘：26÷（1+6）=4……2（根）
如果要必胜的话，那我方就先取走2根，那么无论对方取多少根，我们只要保持与他取得根数之和为6，这样我们就一定能取到最后一根。

取胜方法：自己先取；再根据对方所取的数，使自己所取数与对方所取数之和为6就能取胜。

（2）尝试
①有24根小棒如图放置。

游戏规则为：从最下面一排右边开始按顺序取，大明小
明两人轮流取。

每人每次至少取1根，最多取5根。

且下一排未取完之前不能取上一排，取到最后一根者胜。

怎样取才能必胜？
和同桌讨论，必胜之法。

②揭秘：因为24=（1+5）×4，让对方先取，无论它取多少根，我们只要相应地取出与对方的和为6的根数，我们一定能能赢。

必胜方法
（1）对方先取；
（2）再根据对方所取的数，使自己所取数与对方所取数之和为6，就能取胜。

4.全课总结
①倒推
②对称型
规定：谁“无”路可走即为输
方法：中心可以放——抢先占据中心，再跟随对方
中心不能放——抢后，跟随对方
③总数÷（两数之和）[有余数：抢先拿余数；整除（余数为0）：抢后]
五、拓展思索
见PPT
六、谈谈收获。