数学中考专题30讲：圆的内接四边形

圆内接四边形
【知识要点】
1．概念：圆内接四边形，四边形的外接圆．
2．定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．
【经典例题】
例1、AD 是ABC ∆的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形的外接圆交于点D ，AC 、BD 相交于点P ． （1）DBC ∆为等腰三角形； （2）AB:BD=PB:PC
例2、四边形ABCD 内接于⊙O ，点P 在CD 的延长线上，且AP ∥BD ．求证：AD AB BC PD ⋅=⋅
例3． 已知圆内接四边形ABCD 中，如图所示，AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数．
例4．如图所示，ABC ∆是等边三角形，D 是上任一点．求证：DB+DC=DA ．
·
A
B
C
D
O ·
A
D
C
B
O P
A
例5．如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，过A 点的直线与ABC ∆的外接圆交于E ，与BC 的延长线交于D ．求证：ED AD AC AD ⋅=-22
【课堂训练】（题目简单可不能粗心）得分
一、填空题
1．圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都 它的内对角．
2．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2: :7，且最大的内角为 ． 3．如右图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CD 于E ，若∠ABC=︒130，则∠DAE= ． 4．已知圆内接四边形ABCD 的∠A 、∠B 、∠C 的外角度数比为2:3:4，则∠A= ．
5．如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，点B 、C 、E 在一直线上，∠1=︒39，∠2=︒48，则∠DCE= ． 6．如图2，已知⊙O 的直径AB=10cm ，AC=︒120，则AC= ．
7．如图3，ABC ∆内接于⊙O ，D 是劣弧AB 上一点，E 是BC 延长上一点，AE 交⊙O 于F ，为使
ADB ∆～
ACE ∆．应补充一个条件是
或 。

8．如图4所示，在ABC ∆的外接圆中，AB=AC ，D 为AB 的中点，若∠EAD=︒114，则∠BAD= ．
910．若E 是圆内接四边形ABCD 的边BA 的延长线上一点，BD=CD ，∠EAD=︒55，则∠BDC= ． · A
B
C E
D
O · A
B
C
D
E
O
图1 图2 图3 · A C
B D O E 图4
11．四边形ABCD 内接于圆，∠A 、∠C 的度数之比是5:4，∠B 比∠D 大︒30，则∠A= 。

∠D= ． 12．四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠BOD=︒150，C 在劣弧BD 上，则∠BCD= ．
13．圆内接四边形ABCD 中，如果两条对角线AC 、BD 相等，但不是直径，那么四边形ABCD 是 ． 14．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，则∠DAB+∠ACD= ．
二、选择题
1．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2：3：6,则∠D 的度数是（ ）
A 、︒5.67
B 、︒135
C 、︒5.112
D 、︒110
2．如图1所示，圆的内接四边形ABCD ，DA 、CB 延长线交于P ，AC 和BD 交于Q ，则图中相似三角形有（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对 3．如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（ ）
A 、215
B 、315
C 、2315
D 、2
2
15 4．下列四边形中，有外接圆的四边形是（ ）
A 、有一个角为︒60的平行四边形
B 、菱形
C 、矩形
D 、直角梯形 5．如图2，四边形ABCD 是圆的内接四边形，如果BCD 的度数为︒240，那么∠C 等于（ ） A 、︒120 B 、︒80 C 、︒60 D 、︒40 6．若四边形ABCD 内接于圆，且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n ，则（ ） A 、5m=4n B 、4m=5n C 、m+n=9 D 、m=n=︒180
三、解答题
1．如图所示，已知四边形ABCD 内接于圆，延长AD 、BC 相交于点Q ，延长 AB 、DC 相交于点P ，若∠A=︒50，∠P=︒35，求∠Q ．
【课后作业】姓名 日期 家长签名
一、选择题
A
D C
B
P
Q
图1
A
D
B
C
· O
图2
A
D
Q
C
P B
1．过四边形ABCD 顶点A 、B 、C 作一个圆，若∠B+∠D ︒>180，则D 点在（ ）
A 、圆上
B 、圆内
C 、圆外
D 、不能确定 2．如图6-16，若AC=AD ，那么圆中相等的圆周角所有的对数共有（ ） A 、5对 B 、6对 C 、7对 D 、8对 3．已知四边形ABCD 内接于圆，且∠D=︒35，那么∠D 的对角∠B=（ ） A 、︒35 B 、︒55 C 、︒65 D 、︒145
4．如图6-17，已知ABC ∆的外角∠BCD 的平分线CE 交ABC ∆的外接圆于E ，则ABE ∆是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 5．∠DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，那么一定有（ ）
A 、∠DCE+∠A=︒180
B 、∠DCE+∠B=︒180
C 、∠DCE=∠A
D 、∠DCE=∠B
6．如图6-18，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AE 是⊙O 的弦，且AE ⊥CD ，若∠B=︒120，则∠DAE 为（ ） A 、︒60 B 、︒30 C 、︒50 D 、︒70
二、解答题
已知：如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 直径，若∠DAC=︒60，BC=33
7
，AD=5．求AC 的长．
2010年中考基础训练（5）
班级 姓名 成绩
一、精心选一选
A
B
C
D 图6-16
A · B
C
D
O
图6-18
A
B C D
E
图6-17
· A
B
D
C O
1．下列运算正确的是（ ） A ．9
3
3
x x x ÷=
B ．43
12
()x x -=- C ．248
x x x =
D ．232456
()x x x x x +=++
2．统计局统计资料显示：一季度，全国规模以上工业企业（全部国有企业和年产品销售收入500万元以上的非国有企业）完成增加值17 822亿元，这个增加值用科学记数法（保留三位有效数字）表示为（ ） A ．12
1.78210⨯元
B ．11
1.7810⨯元
C ．12
1.7810⨯元
D ．12
1.7910⨯元
3．计算tan602sin 452cos30︒+︒-︒的结果是（ ） A ．2
B
C
D ．1
4．用A B C ，，分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东25︒，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35︒，则ACB ∠等于（ ） A ．35︒ B ．55︒ C ．60︒ D ．65︒ 5
．函数12
y x -=
-x 的取值范围是（ ）
A ．1x -≥
B ．2x >
C ．1x >-且2x ≠
D ．1x -≥且2x ≠
6．如图，等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，AC BC ⊥，点E 是AB 的中点，EC AD ∥，则ABC ∠等于（ ） A ．75︒ B ．70︒ C ．60︒ D ．30︒ 7．如图，直线PA PB ，是O 的两条切线，A B ，分别为切点，120APB =︒∠，10OP =厘米，则弦AB 的长为（ ）
A
．
厘米 C ． D 厘米
868BC =，，若将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 的长为（ ） A ．
152 B ．15
4
C ．5
D ．6 9．某学校举行理科（含数学、物理、化学、生物四科）综合能力比赛，四科的满分都为100分．甲、乙、综合成绩按照数学、物理、化学、生物四科测试成绩的的比例计分，则综合成绩的第一名是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．不确定
10．某厂投入200 000元购置生产某新型工艺品的专用设备和模具，共生产这种工艺品x 件，又知生产每件工艺品还需投入350元，每件工艺品以销售价550元全部售出，生产这x 件工艺品的销售利润=销售总收入－总投入，则下列说法错误的是（ ） A ．若产量1000x < ，则销售利润为负值
E
B
A B F
A ．
B ．
C ．
D ．
D '
C B ．若产量1000x = ，则销售利润为零 C ．若产量1000x = ，则销售利润为200 000元
D ．若产量1000x > ，则销售利润随着产量x 的增大而增加
11．已知a b >，且000a b a b ≠≠+≠，，，则函数y ax b =+与a b
y x
+=
在同一坐标系中的图象不可能是（ ）
12．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ）
A ．
1
2
B
C
．1 D ．1 二、细心填一填
13．方程1
21x x x x
-+=+的解是 ．
14．小明与小亮玩掷骰子游戏，有两个均匀的正方体骰子，六个面上分别写有1，2，3，4，5，6这六个
数．如果掷出的两个骰子的两个数的和为奇数则小明赢，如果掷出的两个骰子的两个数的和为偶数则小亮赢，则小明赢的概率是 ．
15．已知01a a b x ≠≠=，，是方程2
100ax bx +-=的一个解，则
22
22a b a b
--的值是 ． 16．1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集．从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段．无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集．上图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为 ．
17．晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为
米．。