永昌县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

永昌县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 双曲线E 与椭圆C ：x 29＋y 2
3＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
为π，则E 的方程为（ ） A.x 23－y 2
3＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.x 25
－y 2
＝1 D.x 22－y 2
4
＝1
2． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ） A ．()()2
2
210x y -++= B ．()()2
2
214x y -++= C ．()()2
2
218x y -++= D ．()()2
2
2116x y -++= 3． 复数
121i
i
-+在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4． 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．（0，+∞）
B ．（0，2）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1）
5． 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．（0，1）
B ．（0，]
C ．（0，
） D ．[
，1）
6． 定义运算
，例如
．若已知
，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．6对
8． 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c ．若sinC+sin （B ﹣A ）=sin2A ，则△ABC 的形状为（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
9． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形， 则该几何体的体积为（ ）
A ．64
B ．32
C ．
643 D ．323
10．已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
等于（ ） A ．15- B ．1
5
C ．-5
D ．5
11．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上都有可能
12．12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是
（ ）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
二、填空题
13．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）
14．已知过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若
1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）
A ．5-
B
C ．6- D
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．
15．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．
16．某种产品的加工需要 A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答）
三、解答题
17．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=，DC=2AB=2BC=2
，以直线AD 为旋转轴旋转一周的都如图
所示的几何体
（Ⅰ）求几何体的表面积
（Ⅱ）判断在圆A 上是否存在点M ，使二面角M ﹣BC ﹣D 的大小为45°，且∠CAM 为锐角若存在，请求出CM 的弦长，若不存在，请说明理由．
18．已知二次函数f （x ）的图象过点（0，4），对任意x 满足f （3﹣x ）=f （x ），且有最小值是． （1）求f （x ）的解析式；
（2）求函数h （x ）=f （x ）﹣（2t ﹣3）x 在区间[0，1]上的最小值，其中t ∈R ；
（3）在区间[﹣1，3]上，y=f （x ）的图象恒在函数y=2x+m 的图象上方，试确定实数m 的范围． 19．函数。

定义数列如下：是过两点的直线
与轴交点的横坐标。

（1）证明：；
（2）求数列
的通项公式。

20．（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为，，，c b a 且
)3(s i n
))(sin (sin c b C a b B A -=-+. （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ） 若2a =，ABC ∆，求c b ,.
21．（本小题满分12分）已知函数2
()(21)ln f x x a x a x =-++（a R ∈）.
（I ）若1
2
a >，求)(x f y =的单调区间； （II ）函数()(1)g x a x =-，若0[1,]x e ∃∈使得00()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.
22．已知函数
．
（Ⅰ）若函数f （x ）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[1，e]上的最小值．
23．（本题12分）
正项数列{}n a 满足2
(21)20n n a n a n ---=．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1
(1)n n
b n a =+，求数列{}n b 的前项和为n T .
永昌县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，
渐近线方程为y ＝±b
a
x ，即bx ±ay ＝0，
由题意得E 的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即
|6b |b 2
＋a
2
＝1，
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝5，
∴E 的方程为x 25－y 2
＝1，故选C.
2． 【答案】B 【解析】
考
点：圆的方程.1111] 3． 【答案】C 【解析】
4． 【答案】D
【解析】解：∵方程x 2+ky 2
=2，即
表示焦点在y 轴上的椭圆
∴故0＜k ＜1
故选D ．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．
5． 【答案】C 【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c ，
∵
=0，
∴M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆． 又M 点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即c ＜b ，c 2＜b 2=a 2﹣c 2
．
∴e 2=
＜，∴0＜e ＜
．
故选：C ．
【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．
6． 【答案】D
【解析】解：由新定义可得，
=
=
=
=
．
故选：D ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．
7． 【答案】B 【解析】
试题分析：三棱锥P ABC 中，则PA 与BC 、PC 与AB 、PB 与AC 都是异面直线，所以共有三对，故选B ．
考点：异面直线的判定． 8． 【答案】D
【解析】解：∵sinC+sin （B ﹣A ）=sin2A ， ∴sin （A+B ）+sin （B ﹣A ）=sin2A ， ∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA ﹣cosBsinA=sin2A ，
∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA ， ∴2cosA （sinA ﹣sinB ）=0， ∴cosA=0，或sinA=sinB ，
∴A=
，或a=b ，
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形 故选：D ．
【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而导致漏解，属中档题和易错题．
9．【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:144432
⨯⨯⨯=，故选B.
2
考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.
【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
10．【答案】B
【解析】
考点：三角恒等变换．
11．【答案】D
【解析】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．
故选D
【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．
12．【答案】B
【解析】
考点：向量共线定理．
二、填空题
13．【答案】充分不必要
【解析】解：∵复数z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i，
∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），
若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，
∴﹣2＜a＜2，
∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．
14．【答案】B
【解析】
15．【答案】90°．
【解析】解：∵
∴=
∴
∴α与β所成角的大小为90°
故答案为90°
【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．
16．【答案】24
【解析】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，
因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，
故答案为：24．
【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题
17．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=×4π×2×2=8π，
或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，连结FM，易证FM⊥BC，
∴∠MFE为二面角M﹣BC﹣D的平面角，
设∠CAM=θ，∴
EM=2sinθ，EF=，
∵tan∠MFE=1，∴，∴tan=，∴，
∴CM=2．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
18．【答案】
【解析】解：（1）二次函数f（x）图象经过点（0，4），任意x满足f（3﹣x）=f（x）
则对称轴x=，
f（x）存在最小值，
则二次项系数a＞0
设f（x）=a（x﹣）2+．
将点（0，4）代入得：
f（0）=，
解得：a=1
∴f（x）=（x﹣）2+=x2﹣3x+4．
（2）h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x
=x2﹣2tx+4=（x﹣t）2+4﹣t2，x∈[0，1]．
当对称轴x=t≤0时，h（x）在x=0处取得最小值h（0）=4；
当对称轴0＜x=t＜1时，h（x）在x=t处取得最小值h（t）=4﹣t2；
当对称轴x=t≥1时，h（x）在x=1处取得最小值h（1）=1﹣2t+4=﹣2t+5．
综上所述：
当t≤0时，最小值4；
当0＜t＜1时，最小值4﹣t2；
当t≥1时，最小值﹣2t+5．
∴．
（3）由已知：f（x）＞2x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，
∴m＜x2﹣5x+4对x∈[﹣1，3]恒成立，
∵g（x）=x2﹣5x+4在x∈[﹣1，3]上的最小值为，
∴m＜．
19．【答案】
【解析】（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点
，可知，直线斜率一定存在。

故有
直线的直线方程为，令，可求得
所以
下面用数学归纳法证明
当时，，满足
假设时，成立，则当
时， 由余弦定理得：2
32cos 222=-+=bc a c b A ，又),0(π∈A ，故6π=A . 6分
（Ⅱ） ABC ∆3sin 2
1=∴A bc ，34=∴bc ①， 8分 又由（Ⅰ）2223c bc a b -=-及,2=a 得1622=+c b ，② 10分
由 ①②解得32,2==c b 或2,32==c b . 12分
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想的运用和综合分析问题解决问题的能力．
请22．【答案】
【解析】解：（1）由已知得：f′（x）=．
要使函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，只需≥0在[1，+∞）上恒成立．
结合a＞0可知，只需a，x∈[1，+∞）即可．
易知，此时=1，所以只需a≥1即可．
（2）结合（1），令f′（x）==0得．
当a≥1时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上递增，所以f（x）min=f（1）=0；
当时，，此时在[1，）上f′（x）＜0，在上f′（x）＞0，
所以此时f （x ）在上递减，在上递增，所以f （x ）min =f （）=1﹣lna ﹣；
当时，，故此时f ′（x ）＜0在[1，e]上恒成立，所以f （x ）在[1，e]上递减，
所以f （x ）min =f （e ）=
． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．
23．【答案】（1）n a n 2=；（2）=n T )1(2+n n .
考点：1．一元二次方程；2．裂项相消法求和．。