线代知识点总结-数学一

线性代数知识点、难点
1、n 阶行列式的定义 对于n 阶行列式的定义，重点应把握两点：一是每一项的构成，二是每一项的符号。

每一项的构成是不同行不同列的n 个元素构成，一个n 阶行列式共有!n 项。

乘积项为
1212...n j j nj a a a 的符号取决于12,,...n j j j 的逆序数，即当12,,...n j j j 为偶排列时取正号，当
12,,...n j j j 为奇排列时取负。

例1 行列式 312
2
D =
为二阶行列式，每一项由2个元素构成，第一项为3*2，符号为
正，第二项为1*2，符号为负。

2、余子式和代数余子式
余子式和代数余子式的概念容易出错，在计算中应注意。

代数余子式
(1)i j ij ij A M +=-，其中ij M 为余子式。

一般这类题，重点考察对代数余子式的理解和其基本性质的应用，所以考生一定要灵活掌握，掌握基本思想。

下面请看一例： 例2 设行列式
3
040222207
005
3
2
2
D =
--
则第4行元素余子式之和的值为__________ 【分析】4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+
3230403
4022
22(7)(1)2
2
2
2807
1
11
1111
+==--=------
部分考生答案为0。

原因是将余子式和代数余子式混淆了。

本题中第四行元素的代数余子式之和为0。

因为
41424344414243441
(2222)02
A A A A A A A A +++=+++=。

3、行列式按一行（列）展开
设()ij n n A a ⨯=，则
1122||,...0,i j i j in jn A i j
a A a A a A i j
=⎧+++=⎨
≠⎩ 或
1122||,...0,i j i j ni nj A i j
a A a A a A i j =⎧+++=⎨
≠⎩
注意：公式中使用的是代数余子式，而不是余子式。

4、行列式的计算 行列式的基本计算方法有三个：
例21 归化 利用行列式的性质将行列式化成较简单且易于计算的行列式（如三角行列
式等）；
例22 降阶 利用行列式的展开定理，将高阶行列式化成低阶行列式进行计算。

在实际计算过程中，往往两种方法交替使用：先利用性质将某行（列）化出
尽可能多的零元素，再用按行（列）展开定理进行降阶。

注意，在化零元素的过程中，尽量不要出现分式，否则，计算过程往往会变得相当繁琐。

例23 递推 在降阶中找出高阶行列式n D 与低阶行列式r D （r n <，通常是1r n =-）
的关系，即递推公式，利用递推公式递推求得n D 。

例3 记行列式2
1232221222333324535443
57
43
x x x x x x x x D x x x x x
x x x --------=
-------为()f x ，则方程()0f x =的根的个数
为＿。

解析 问方程()0f x =有几个根，也就是问()f x 是x 的几次多项式。

不要错误
地认为这样的()f x 一定是4次多项式 ，其实适当选系数可构造出0至4任一次数的多项式。

由于行列式的每一个位置都含有x ，若立即展开处理是不妥的，应当先利用 性质恒等变形消去一些x 再展开。

将第1列的-1倍依次加至其余各列，有
21
012
1
0022101221002
12
1()33122331212217
643
7
3
43
7
6
x x x x x x f x x x x x x x x
x x
x ---------=
==---------------易见
()f x 是二次多项式。

例4 ..................
......a b b b b a b b D b
b
b a
=
= ＿。

解析 方法1
1......(1)......0......000 0
..........00 0
0......[(1)]()n a b
b b
a n
b b b b b a a b a b D b a a b a b
a n
b a b -+----==
--- =+--
方法2
1
1......1......1......00 0
[(1)][(1)]
..........1......000......[(1)]()n b b b b b b a b b a b D a n b a n b b b a a b
a n
b a b - - =+-=+- - =+-- 解本例的方法有典型性，大家应熟练掌握。

5、矩阵的概念 矩阵的行数和列数不一定相等。

行数和列数相等的矩阵称为方阵。

A B =：矩阵A 和矩阵B 必须具有相同的行数和相同的列数，且对应元素均相等。

如111000 0⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪ 1⎝⎭⎝⎭。

只有两个矩阵具有相同的行数和列数时，才能进行矩阵的加法运算。

矩阵的数乘kA 表示对矩阵A 中的每一个元素都乘以k 。

注意：是每一个元素，而不是某一行或某一列。

矩阵的乘法AB 必须要求A 的列数等于B 的行数。

矩阵的乘法一般不满足交换律，即AB BA ≠。

例如：0A 0 0⎛⎫= ⎪ 1⎝⎭，0B 0 1⎛⎫
= ⎪ 0⎝⎭
，
00AB BA 0 00 1⎛⎫⎛⎫
=≠= ⎪ ⎪ 0 0⎝⎭⎝⎭。

对于某些矩阵，即使AB 与BA 都有意义，它们仍不一定相
等。

如()A =1 0 4，B 1⎛⎫
⎪
=1 ⎪ ⎪0 ⎝⎭
，AB 与BA 都有意义，但AB 为11⨯矩阵，而BA 为33⨯矩
阵，显然不相等。

当A 和B 均为n n ⨯矩阵时，||||||||AB A B BA ==。

行列式是数，可以交换。

有矩阵乘积0AB =，不能推出0A =或0B =。

等价地说，0A ≠且0B ≠，有可能使0AB =，如上例。

矩阵的乘法不满足消去律，即0A ≠时，有AB AC =，但B C ≠。

只有当A 为非奇异矩阵，即||0A ≠时，若0AB =，则必有0B =。

若AB AC =，则必有B C =。

例5 设4阶矩阵234(,,,)A r r r α=，234(,,,)B r r r β=，其中234,,,,r r r αβ是4维列向量，且
||4A =，||1B =，则||A B +=＿。

解析 本题考查矩阵运算与行列式的性质。

由于234(,2,2,2)A B r r r αβ+=+，所以
234234234234|||222|8||8(||||)8(41)40A B r r r r r r r r r r r r αβαβαβ+=+ =+ = + =+=
部分考生将矩阵运算与行列式的性质混淆，得出错误结论||||||A B A B +=+。

例6 设A 是3阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式1
||2
A =，求行列式1*|(3)2|A A --的值。

解析 本题同样考查矩阵运算与行列式的性质。

由于1*1||A A A -=
，故*111
||2
A A A A --==，故 1*1111131122816
|(3)2||(3)|||||()||23332727
A A A A A A A A --------=-=-=-=-=-⨯=-
不少考生把||||n kA k A =错误地写成||||kA k A =，把111
()kA A k --=错误地写成
11()kA kA --=。

6、关于0A =
0A =是考研中常见的一种题型，也是考生比较畏惧的一种题型。

它的特点是题干简单，已知较少，所以考生有时候觉得无从下手，其实所有的题都是由基本东西转换而来的，考生要掌握其基本思路。

下面举两例说明：
例7 设A 是n 阶非0矩阵，满足2A A =，且A E ≠，证明行列式0A =。

【证法一】（反证法）若||0A ≠，那么A 可逆。

用1A -左乘2A A =的两端，得
121A A A A A E --===与A E ≠矛盾，故||0A =。

【证法二】（用秩）据已知有()0A A E -=，那么()()r A r A E n +-≤ 因为A E ≠，即0A E -≠，那么秩()1r A E -≥从而秩()r A n <，故0A =。

【证法三】（用0Ax =有非零解）据已知有()0A A E -=，即A E -的列向量是齐次方程组0Ax =的解，又因0A E -≠，所以0Ax =有非零解，从而0A =。

注解 0AB =是考研题中一个常见的已知条件，对于0AB =应当有两种思路：
设A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，若0AB =，则 （1）B 的列向量是齐次方程组0Ax =的解
（2）()()r A r B n +≤
例8 设A 为n 阶矩阵，满足T AA E =，0A <，证明0A E +=。

【证明】因为()()T T T A E A AA A E A A E A A A E +=+=+=+=+ 所以 (1)0A A E -+= 又因0A <于是10A -> 故必有 0A E +=
7、伴随矩阵
伴随矩阵是线代中比较重要的概念，也是一个常考的点，出题点多结合逆矩阵，所以考生在深刻掌握伴随矩阵概念的同时，应该熟记一些和伴随有关的公式定理，这类型题一般解法较多比较灵活，考生应熟记它的定义和基本性质，以不变应万变。

涉及伴随矩阵的计算或证明问题一般可从公式**||AA A A A E ==及伴随矩阵的相关结论着手分析。

以下结论可以直接使用：
(),()1
()1,0() 1.
n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪
==-⎨⎪<-⎩
若若若 例9 设A 为n 阶非零矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，当*T A A =时，证明0A ≠。

证明 由**||AA A A A E ==，及*T A A =，有*||T AA AA A E ==。

若0A =，则0T AA =，设A 的行向量为(1,2,...,)i i n α=，则0(1,2,...,)T i i i n αα==，即
0i α=，于是0A =，与已知矛盾，故0A ≠。

例10 设矩阵33()ij A a ⨯=满足*T A A =，其中*A 是A 的伴随矩阵，若111213,,a a a 为三个相
等的正数，则11a =＿。

解析 题设与A 的伴随矩阵有关。

由**||AA A A A E ==，及*T A A =，有,,1,2,3ij ij a A i j ==，且
23||||||||0T AA A E A A A =⇒=⇒=或|A |1=，
而211111212131311||30A a A a A a A a =++=≠，于是|A |1=，且1133
a =。

8、逆矩阵 涉及两个矩阵是否可交换，考虑用逆矩阵的定义进行分析。

例11 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =，其中E 是n 阶单位阵，则下列哪些正确？ 1、BCA E = 2、CAB E = 3、CBA E = 4、BAC E = 5、ACB E =
解析 把题目和矩阵的逆矩阵联系起来。

若ABC E =，则说明1A BC -=，1()AB C -=，故BCA E =，CAB E =。

逆矩阵的计算一般有三种方法： （1）1*
1||
A A A -=
； （2）通过恒等变形，利用定义进行计算； （3）用初等变换求逆矩阵。

-−−−−→初等行变换
１（Ａ　Ｅ）（Ｅ　Ａ）
1E A E A -⎛⎫
⎛⎫−−−−
→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
初等列变换
在用初等变换法求逆矩阵的整个过程中，如果置E 于A 之右E （Ａ　）
，则必须只用行初等变换，而不能用列初等变换。

如果置E 于A 之下A E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则必须只用列初等变换，
而不能用行初等变换。

这点务必注意。

例12 设矩阵A 满足40A A E +-=2，其中E 为单位矩阵，则1(-)A E -=＿。

解析 本题考查用定义求逆矩阵。

题中给出了矩阵方程，需经过恒等变形，得出
10002300A 045000-67 ⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪ - ⎪ ⎝⎭
()A E B E -=或()B A E E -=的形式，确定A E -的逆矩阵。

由于40A A E +-=2，所以
222A A A E E -+-=2，
于是()2(-)(2)()2A A E A E A E A E E -+=+-=，
故11
(-)(2)2
A E A E -=+。

题中没有具体给出矩阵的元素，所以不能用初等变换或求伴随矩阵的方法求逆矩阵，只能用定义。

从上面的解题过程可以看出，类似于多项式的因式分解。

我们配出了因式A E -，不少考生正是忽视逆矩阵的定义而不知如何下手。

例13 设A ，B 均为3阶矩阵，E 为3阶单位矩阵，已知2AB A B =+，202040202B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎝⎭
，
则1(-)A E -=＿。

解析 本题考查求逆矩阵。

先做恒等变形，设法分解出A E -，再进行数值计算。

由于
2AB A B =+，所以
222AB B A E E --+=，
()2()()(2)2A E B A E A E B E E ---=--=，
故111(-)(B 2E)121A E - ⎛⎫
⎪
=-= ⎪ ⎪
⎝⎭。

本题给出了具体的矩阵B ，若先求矩阵A 与-A E 之后，再求1(-)A E -，计算量就比
较大，费时也容易出错。

例14 设100023000-45000-67A ⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪ ⎪ ⎝⎭
，E 为4阶单位矩阵，且1()()B E A E A -=+-，则1()E B -+=＿。

解析 对于1()E B -+没有运算法则，通常用单位矩阵恒等变形的技巧化为乘积的形式。

111111
1111()[()()][()()()()]1121[()()][2()]()232
34E B E E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A ----------+=++-=++++-⎛⎫
⎪-
⎪ =+++-=+=+= ⎪ - ⎪ - ⎝⎭ 本题是考生失误较多的一个考题，这里涉及的思路方法应很好体会。

9、初等变换
初等变换是一个非常重要的概念，它可以简化许多问题，但是考生在应用初等变换上还不是很熟练，有时候根本就不知道初等变换是用来干什么的。

首先建议学员一定要弄清楚概念，它具有什么性质。

知道行变换就是左乘初等矩阵，列变换就是右乘初等矩阵，然后就可以化简计算。

初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵。

例如：
1001001010010,100100-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11
00100102000,20010
01-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
1
100100310310,001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 即 11
1ij ij i i ij ij 1E E E E (),E ()E ().k k k
---===-，（k ）
例15 设122,331A B ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则1,P AP B P -==其中 答案：001100010⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
【分析】利用初等矩阵。

矩阵A 的一、二两行互换后再二、三两行互换，然后一、二两
列互换后再二、三两列互换，即是矩阵B ，即
100010010100001100100001010001001010A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
可见
010100001100001100001010010⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

10、线性相关性
线性相关性是考察的重点，同时也是考生的难点。

多以选择题或证明题的形式出现。

向量组的线性相关（无关）是一个抽象概念，在理解时需仔细体会“有一组”与“任一组”。

“有一组”只要求存在，而“任一组”要求全部，强调任意性。

许多错误往往发生在此。

对于向量组12s ,,...,ααα恒有12s 00...00ααα+++=，向量组12s ,,...,ααα是否线性相关，其实就是问除上述情况之外，能否再找到另一组12,,...,s k k k 使得
1122...0s s k k k ααα+++=成立。

n 维向量12s ,,...,ααα线性相关
⇔存在不全为0的数12,,...,s k k k 使得1122...0s s k k k ααα+++=成立； ⇔齐次方程组1212(,,...,)0...s s x x
x ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
有非零解；
⇔向量组的秩12(,,...,)0s r ααα<；
⇔向量组中某个向量i α可以用其余向量12-1,1,,...,,...,i i s ααααα+线性表出 。

例16 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，若10m A α-≠，0m A α=，证明向量组α，A α，
2A α，21,
,m A A αα-线性无关
【证】（用定义、同乘）设211230m m k k A k A k A αααα-++++= （1）
由于0m A α=知10m A α+=，20m A α+=，
用1m A -左乘（1）式两端，并把0m A α=，10m A α+=，20m A α+=，代入，有
110m k A α-= 因为10m A α-≠，故1k =0。

把10k =代入（1）式，同理可知 120m k A α-= 从而20k =。

类似可得30k =，
，0m k =，所以α，A α，21,
,m A A αα-线性无关。

分析 部分考生在设出211230m m k k A k A k A αααα-++++=之后，不知如何往下做，没
有想到可用1m A -左乘等式的两端，使问题得到解决。

例17 设4维列向量123,,ααα线性无关，且与4维列向量12,ββ均正交，证明12,ββ线性相关。

【证】（用秩）构造矩阵
123T T T A ααα⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则矩阵A 是秩为3的34⨯矩阵，由于
123001,20T T i i T A i αβαβα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以12,ββ均是齐次方程组0Ax =的解。

那么，12(,)()431r n r A ββ≤-=-= 从而12,ββ线性相关。

11、线性表出
线性表出也是常考的一类题型，考察的形式多结合线性相关，线性无关。

应结合他们的定义与线性表出的概念，以及他们之间的联系来解题。

这类题多用反证法，考生应熟练掌握这部分的题型，否则可能拿到手后根本没有思路，当遇到这种情况时，建议从
最基本的定义和概念出发，一步步往结论处求证。

有些题可以利用线性相关、无关、向量组的秩、极大线性无关组等概念之间的关系直观的得出结论。

例18 设12,,
,s ααα是n 维向量组，12(,,
,),s r r ααα=则（ ）不正确。

（A ） 如果r n =，则任何n 维向量都可以用12,,,s ααα线性表示；
（B ） 如果任何n 维向量都可以用12,,
,s ααα线性表示，则r n =；
（C ） 如果r s =，则任何n 维向量都可以用12,,,s ααα唯一线性表示； （D ） 如果r n <，则存在n 维向量不能用12,,,s ααα线性表示。

【分析】利用“用秩判断线性表示”的有关性质。

当r n =时，任何n 维向量添加进12,,
,s ααα时，秩不会增大，从而（A ）正确。

如果（B ）的条件成立，则任何n 维向量组12,,,t βββ都可以用12,,,s ααα线性表示，
从而1212(,,
,)(,,
,).t s r r n βββααα≤≤如果取12,,,n ηηη是一个n 阶可逆矩阵的列向
量组，则得到1212(,,,)(,,,)n s n r r n ηηηααα=≤≤，从而12(,,
,),s r n ααα=（B ）正确。

（D ）是（B ）的逆否命题，也正确。

当r s =时，不能保证任何n 维向量可用12,,,s ααα线性表示（如r n <时），因此（C ）
不正确。

例19 设n 维列向量组12,,,()m m n ααα<线性无关，则n 维列向量组12,,
,m βββ线性
无关的充要条件为 A 向量组12,,,m ααα可由向量组12,,,m βββ线性表出 B 向量组12,,,m βββ可由向量组12,,,m ααα线性表出 C 向量组12,,
,m ααα与向量组12,,
,m βββ等价
D 矩阵12(,,,)m A ααα=与矩阵12(,,
,)m B βββ=等价
解析 简记向量组()r II m =12,,,m ααα为I ，向量组12,,,m βββ记为II ，那么
II 线性无关()r II m ⇔=，
A 若I 可由II 线性表出，则()()r I r II ≤。

又I 线性无关，有
()()m r I r II m =≤≤，
从而()r II m =，即II 线性无关，充分性成立。

那么，当m n <时，条件必要吗？设1100α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2010α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2001β⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则12,αα与12,ββ均线性无关，但12,αα不能由12,ββ线性表出，故A 仅为充分条件，不是必要条件。

B 若II 可由I 线性表出，则()()r II r I m ≤=，即有12(,,
,)m r m βββ≤，12,,
,m βββ的线
性无关性不能确定，故B 不充分。

而由A 的反例可知B 也不是必要条件。

C 由A ，B 知C 只是充分条件。

D
如果矩阵
12(,,
,)m A ααα=与矩阵12(,,,)m B βββ=等价，则
1212()(,,,)(,,,)()m m r A r r r B αααβββ===，因为12,,,m ααα线性无关，故12(,,
,)m r m ααα=，故12(,,
,)m r m βββ=，故向量组12,,
,m βββ线性无关，充分性成
立。

反之，若向量组12,,
,m ααα与12,,,m βββ均线性无关，故
1212(,,,)(,,
,)m m r r m αααβββ==，从而()()r A r B =，即矩阵,A B 等价，必要性成立，
故选D 。

由于两个等价的概念不清，本题错误率很高。

如果两个向量组向量个数相同且等价，则可推知两个矩阵等价。

即
12,,
,m ααα与12,,,m βββ等价⇒12(,,,)m ααα与12(,,,)m βββ等价
但是12,,
,s ααα与12,,,t βββ（s t ≠）等价时，矩阵12(,,,)s ααα与12(,,
,)t βββ不等
价。

矩阵A 与B 等价是指经初等变换矩阵A 可转换为矩阵B ，A 与B 等价的充要条件是
()()r A r B =。

12、向量组的秩与极大线性无关组 向量组的极大线性无关组往往是不唯一的，其成员可以不一样，但这些极大线性无关组是等价的，极大线性无关组中向量的个数是一样的，由原向量组唯一确定，由此引出向量组秩的概念，向量组的秩为r 就是指向量组的极大线性无关组有r 个向量。

例20 如果向量组12I :,,...,i i ir ααα与2II :,,...,ji j jt ααα都是向量组12,,
,s ααα的极大线性
无关组，证明r t =。

证明 因为12,,...,i i ir ααα是12,,
,s ααα的极大线性无关组，所以
12,,...,,(1,2,...,)i i ir jk k t αααα=线性相关，于是jk α可由12,,...,i i ir ααα线性表出。

从而向量组2II :,,...,ji j jt ααα可由向量组12I :,,...,i i ir ααα线性表出。

又因向量组II 是
极大线性无关组，是线性无关的，所以t r ≤。

同理r t ≤，故r t =。

13、过渡矩阵
过渡矩阵是考试所要求的考点之一，但不是每年都出题的。

考生在复习时容易忽略这个考点。

【定义】设12,,
,s ηηη和12,,
,s ξξξ都是V 的基，并设i ξ在12,,,s ηηη中的坐标为
12(,,
,),i i si c c c 称矩阵
111212122
212s s s s ss c c c c c
c C c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
为12,,
,s ηηη到12,,
,s ξξξ的过渡矩阵。

此时，如果V 中的向量α在12,,
,s ηηη中的坐
标为12(,,
,)T s x x x x =，在12,,,s ξξξ中的坐标为12(,,
,)T s y y y y =，则有坐标变换公式
.x Cy =
两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。

14、矩阵方程 对于矩阵方程，经恒等变形之后有三种可能的形式：
;;Ax B xA B AxC B ===，
如果矩阵,A C 是可逆的，则依次有
1111;;x A B x BA x A BC ----===，
然后经计算就可求出x 。

因为矩阵乘法没有交换律，所以在恒等变形时，运算法则一定要正确。

例21 已知X XA B =+，其中1111A ⎛⎫= ⎪ ⎝⎭，1234B ⎛⎫
= ⎪ ⎝⎭
，则X =＿。

解析 由X XA B =+，得()X E A B -=。

因为0110E A -⎛⎫
-= ⎪- ⎝⎭
可逆，有
1
11201120121()3410341143X B E A -- - ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-==-=- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ - ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
在本题中，不要把X XA B =+错误地变形为()E A X B -=，而得到
1
0112()134X E A B - 3 4⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-=- ⎪⎪ ⎪ 0 1 2⎝⎭⎝⎭⎝⎭
这是一个特别要防止的错误。

例22 设矩阵111111111A -⎛⎫ ⎪
= - ⎪ ⎪ - ⎝⎭
，矩阵X 满足*12A X A X -=+，其中*A 是A 的伴随矩阵，
求X 。

解析 若先计算方程中的*A 及1A -，然后再解X ，则计算过程会十分复杂。

为了避免求
*A 及1A -，可利用**||A A AA A E ==，在等式两边同时左乘矩阵A 进行化简。

*12AA X AA AX -=+，
||2A X E AX =+，即(||2)A E A X E -=
从而有
1(||2)X A E A -=-，
||4A =， 111||22111111A E A - ⎛⎫
⎪
-= - ⎪ ⎪- ⎝⎭
，
故 1
11111111111124111101X - - 0⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
= -= 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎝⎭⎝⎭。

15、基础解系
基础解系的概念及求法是齐次线性方程组的核心问题，是线性代数中一个非常重要
的概念，对于这块内容的考察也是一个重点，但是我们在答疑或者是改卷过程中发现还是有很多同学概念混淆。

【定义】设12,,
,p x x x 是0Ax =的解向量，如果（1）12,,
,p x x x 线性无关；（2）0
Ax =的任一个解向量可由12,,,p x x x 线性表示，则称12,,
,p x x x 是0Ax =的一个基础解系。

例23 齐次方程组12341234
123412342340
234503456045670x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩的基础解系是＿。

A (3,0,1,0),(2,3,0,1)T T --
B 12(1,2,1,0)(2,3,0,1)T T k k -+-
C 31
(2,3,0,1),(1,,0,)22
T T --
D (3,4,1,2),(3,5,1,1)T T ---
解析 严格根据定义，判断基础解系要从是不是解，是否线性无关及解向量的个数三个方面来思考。

16、如何确定自由变量并赋值？（求解基础解系）
很多考生在这块也容易犯错误，因为不同的赋值方法可能得到不同的结果，所以考生只要概念理解清楚，按照步骤就一定能得到正确答案，下面介绍确定自由变量并赋值的基本步骤：
（1） 对系数矩阵作初等行变换化其为阶梯形
（2） 由秩()r A 确定自由变量的个数()n r A -
（3） 找出一个秩为()r A 的矩阵，则其余的()n r A -列对应的就是自由变量 （4） 每次给一个自由变量赋值为1，其余的自由变量赋值为0（注意共需赋值
()n r A -次）。

对阶梯形方程组由下往上依次求解，就可以得到方程组的解。

注意：对系数矩阵进行变形时，只能进行初等行变换。

该方法是求解含参数线性方程组的最一般方法，不论方程的个数与未知数的 个数是否相同都可使用，应熟练掌握。

例24 齐次方程组124523452345302202340
x x x x x x x x x x x x + +-=⎧⎪
+++=⎨⎪ +++=⎩
的基础解系是＿。

解析 系数矩阵110212102134 0 3 -1⎛⎫ ⎪A = ⎪ ⎪ ⎝⎭进行初等行变换化为阶梯型11021210 0 3 -1⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ 0 0 1 3⎝⎭，由
()3r A =，知()2n r A -=。

令351,0x x ==，得42111
0,,22x x x ==-=，
令350,1x x ==，得421515
3,,22
x x x =-==，
故基础解系是
1211155
(,,1,0,0),(,,0,3,1)2222
T T ηη=-=-。

齐次线性方程组的基础解系可以不唯一。

17、特征向量与线性方程组的解 矩阵的特征向量与解线性方程组似乎没有直接联系，其实两者还是有关联的。

这就是
ξ是A 的属于特征值0的特征向量⇔ξ是0Ax =的非零解
这是由特征向量的定义直接推过来的，大家容易忽略，但在考研题中会经常用到，学员应熟练使用。

例25 设矩阵212223313233123A a a a a a a - ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎝⎭
有特征向量1(1,2,1)T ξ=，2(1,2,2)T ξ=-，求线性方程组
Ax b =的通解，其中(1,2,2)T b =-。

解析 由题设123,,ξξξ均是A 的特征向量，故有
12122231313233123112211A a a a a a a ξλ - ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1），22122232313233123-1-11111A a a a a a a ξλ - ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
= = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2），
32122233313233123-1-12222A a a a a a a ξλ - ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
= = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎝⎭
⎝⎭⎝⎭（3）
由（1）解得10λ=，即有10A ξ=。

由（2）解得20λ=，即有20A ξ=。

由（3）解得31λ=-，即有33A ξξ=-。

注意到方程组为Ax b =，其中3b ξ=，由33A ξξ=-可推出33()A b ξξ-=-=，所以3
ξ-是Ax b =的一个特解。

由10A ξ=，20A ξ=知12,ξξ是0Ax =的两个解。

由12(,)2r ξξ=知，
12,ξξ是0Ax =的两个线性无关的解。

由0A ≠知，()1r A ≥，故0Ax =的基础解系由
()2r A ξ-≤个线性无关的解向量组成。

现12,ξξ是0Ax =的两个线性无关的解向量，故12,ξξ是0Ax =的一个基础解系。

从而Ax b =的通解为31122k k ξξξ-++，其中12,k k 为任意常数。

18、关于公共解
公共解也是一个考点，公共解的求解一般有固定的方法，考生针对题型掌握 其中的一两种就可以了。

下面以例题的形式介绍公共解的几种处理方法： 例26 设有两个4元齐次线性方程组
（Ⅰ）12240
0x x x x +=⎧⎨-=⎩ （Ⅱ）123234
00x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩
（5） 求线性方程组（Ⅰ）的基础解系；
（6） 试问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公
共解；若没有，则说明理由。

关于公共解，有以下几种处理方法：
（1） 把（Ⅰ）和（Ⅱ）联立起来直接求解；
（2） 通过（Ⅰ）和（Ⅱ）各自的通解，寻求公共解；
（3） 把（Ⅰ）的通解代入（Ⅱ）中，如仍是解，则把（Ⅰ）的通解代入（Ⅱ）中
寻求公共解。

如：（Ⅰ）的基础解系为 1(0,0,1,0)T ξ=，2(1,1,0,1)T ξ=-，那么它的通解就是
11222212(,,,)T k k k k k k ξξ+=-要是（Ⅱ）的解，就因该满足（Ⅱ）的方程，故
22121200k k k k k k --+=⎧⎨-+=⎩
解出122k k =， 所以其公共解是
2222(0,0,1,0)(1,1,0,1)(1,1,2,1)T T T k k k +-=- 例27 A 是m n ⨯阶矩阵，证明齐次线性方程组 （Ⅰ）0T A Ax =和
（Ⅱ）0Ax =同解。

【证】如果α是（Ⅱ）的解，则0A α=，显然0T A A α=即α是（Ⅰ）的解，故（Ⅱ）的解全是（Ⅰ）的解。

若α是（Ⅰ）的解，即0T A A α=，那么
0T T A A αα=即()()0T A A αα= 即 2
0A α
= 故0A α=
所以α必是（Ⅱ）的解，即（Ⅰ）的解全是（Ⅱ）的解，从而方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解。

19、求A 相似标准型的方法（对可对角化的矩阵）
n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是n 阶矩阵有n 个线性无关的特征向量。

相似对角化是一个重要的考察点，这部分牵涉的计算量比较大，所以考生一定要细心。

基本步骤如下：
（1） 求A 的特征值12,,
,,s λλλ设i λ是i n 重根；
（2） 对每个特征值i λ，求()0i E A x λ-=的基础解系，设为12,,,;i i i in X X X
（3） 令12111212122212(,,
,,,,
,,,,,
,),s n n s s sn p X X X X X X X X X =则
11122(,,,
,,,,
),s s P AP diag λλλλλλ-=
其中有i n 个i λ(1,2,,)i s =。

注意：对应i λ的线性无关的特征向量的个数小于i λ的重数，则A 不可对角化。

若每
个i λ的重数与线性无关的特征向量的个数相同，则A 可对角化。

例28 判断矩阵A 是否与对角矩阵相似？
320131571A - ⎛⎫ ⎪=- - ⎪ ⎪- -⎝⎭
解 由特征方程
2320120
||131131(2)(1)0571171E A λλλλλλλλλλλ- - -= - =- - =--= - +- - +
，
得特征值122λλ==（二重根），31λ=
对于122λλ==，解方程
1123120()1110573x E A x x x λ- ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪-= - = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ - ⎝⎭⎝⎭
，
因为(2)2r E A -=，故属于122λλ==的线性无关的特征向量的个数等于对应的齐次线性方程的基础解系所含向量的个数即1，不等于根的重数2，故A 不可对角化，即A 不
与对角形矩阵相似。

20、矩阵的相似、合同、等价分析
（1）等价：矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ，则称A 与B 等价； 矩阵等价的充要条件：,A B A B ≅⇔是同型矩阵且有相同的秩 ⇔存在可逆矩阵P 和 Q ，使PAQ B = 【注意】矩阵的等价与向量组的等价是两个不同的概念，若矩阵 12(,,
,)n A ααα=与12(,,
,)n B βββ=
等价，则PAQ B =，()()r A r B =，于是1212(,,
,)(,,
,)n n r r αααβββ=，而向量组的等
价是指这两个向量组可以互相线性表出。

当矩阵A 与B 等价时虽有这两个向量组的秩相
等，但作为向量组不一定能互相表出，因而不一定等价。

例如：110α⎛⎫= ⎪⎝⎭，220α⎛⎫= ⎪⎝⎭
与
101β⎛⎫= ⎪⎝⎭，202β⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的秩相等，但不等价。

但是矩阵
12000012A B ⎡⎤⎡⎤=≅=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦ 等价。

反之，若向量组12,,
,n ααα与向量组12,,
,n βββ等价，则向量组秩
1212(,,
,)(,,
,)n n r r αααβββ=，从而()()r A r B =，故必有矩阵A B ≅
（2）相似：设,A B 是n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵P ，使1P AP B -=，则称A 与B 相似，
记为：~A B
相似矩阵的性质：如~A B
,E A E B λλ⇒-=-从而,A B 有相同的特征值 1
1
n
n
ii ii i i a b ==⇒=∑∑ (,A B 有相同的迹)
()()r A r B ⇒= A B ⇒=
【注意】这些都是必要条件，可排除哪些矩阵不相似，亦可用来确定相似矩阵的一些参数。

若其中有一个不成立，说明A 与B 不相似。

例29 已知420,,201a A B b ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
若~A B ，
则由迹相等知：42(1)b +=+-，得 3.b =-由行列式相等知：1222a --=-，得-5a =。

并且，由于B 是对角矩阵，2与-1就是B 的特征值，则根据特征值相等知，2与-1
也是A 的特征值。

（3）合同：两个n 阶实对称矩阵A 和B ，如存在可逆矩阵C ，使得T C AC B =，则称矩阵A 和B 合同。

两个实对称矩阵合同的充要条件：二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； 两个实对称矩阵合同的充分条件：实对称矩阵合同的充分条件是~A B 。

（4） 正交相似：两个n 阶实对称矩阵，如存在一个正交阵P ，使得1B P AP -=，则称A
与B 正交相似。

对正交阵来说，1T P P -=，因此这时T B P AP =。

例30 设1030,,0204A B ⎛⎫⎛⎫
== ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
则有A 和B 合同。

0 【证明】因为有可逆矩阵3
2C ⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦
，
使310330020422T C AC B ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫===⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，或者，由二次型22122T x Ax x x =+与221234T x Bx x x =+有相同的正惯性指数2P =及相同的负惯性指数0q =，所以合同（注意：A 和B 不相似，因为相似的必要条件是特征值相同，显然不满足）。

21、正交变换化二次型为标准型的方法
正交变化化二次型为标准型是历年常考的一个知识点，考生在这块主要的错误就是有时候忘记单位化，再有这块内容的计算量比较大，所以一有疏忽就容易出错误，下面将介绍具体解题步骤，考生应按照步骤进行，仔细计算。

（1） 写出二次型矩阵A
（2） 求矩阵A 的特征值
（3） 求矩阵A 的特征向量
（4） 改造特征向量（单位化、Schmidt 正交化）1,
,n γγ （5） 构造正交矩阵()1,,n P γγ=
则经坐标变换x py =，得
2221122T T n n x AX y y y y y λλλ=Λ=+++
【注意】特征值的顺序与正交矩阵P 中对应的特征向量的顺序是一致的。

22、正定二次型（正定矩阵）
正定二次型是常考点，考生主要掌握定义，因为定义在这块中是最好的证明方法，也是最常用的证明方法，如果不能很好的掌握定义，有可能遇到这类型的题目无从下手。

若对任意的n 维实向量0x ≠，恒有0T x Ax >，则A 是正定矩阵。

注意：正定矩阵必须是对称矩阵，因此在论证之前应注意A 是否为对称矩阵。

若不是对称矩阵，根本谈不上正定性。

正定矩阵的性质和判别：
实对称矩阵A 是正定矩阵
A ⇔合同于E
⇔存在可逆矩阵C ，使得T A C C =（从而0A >）
⇔A 的正惯性指数n =
⇔A 的特征值全大于0
⇔存在正交矩阵Q ，使得121,0,1,2,...,...T i n Q AQ Q AQ i n λλλλ- ⎛⎫ ⎪ ⎪==>= ⎪ ⎪ ⎝
⎭ ⇔A 的各阶顺序主子式全大于0
判别实对称矩阵（实二次型）是否正定的常用方法有三种： ① 用定义
② 顺序主子式法
③ 特征值法
例31 220251012A - ⎛⎫ ⎪=- - ⎪ ⎪ - ⎝⎭
是否为正定矩阵。

解析 12∆=，222
625 -∆==- ，35∆=，顺序主子式全大于0，故A 正定。

例32 A 为m n ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵T B E A A λ=+，试证：当0
λ>时，矩阵B 为正定矩阵。

【证明】（定义法）
ⅰ、因为()()()()T T T T T T T T T B E A A E A A E A A B λλλ=+=+=+=，所以B 是n 阶实对称矩阵。

ⅱ、构造二次型T x Bx ，有
()()()T T T T T T T T x Bx x E A A x
x x x A Ax
x x Ax Ax λλλ=+=+=+
因为0.x ∀≠T x x 0>，()()0T Ax Ax ≥
所以，当0λ>时，0x ∀≠，恒有
T x Bx =()()T T x x Ax Ax λ+0> 即二次型T x Bx 正定，故B 是正定矩阵.
（用特征值）B 的对称性略，设μ是矩阵T A A 的任一特征值，X 是相应的特征向量，即,0,T A AX X X μ=≠用T X 左乘上式的两端得，
()().T T Ax Ax X X μ= 由0,X ≠必有0,()()0T T X X Ax Ax >≥，故0μ≥ 因为T B E A A λ=+的特征值是λμ+，可见当0λ>时必有0λμ+>，即B 的特征值全大于0，所以B 是正定矩阵。