来安县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

来安县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）
A．B． C．D．
2．已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA 上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（）
A．B．或36+C．36﹣D．或36﹣
3．函数f（x）=tan（2x+），则（）
A．函数最小正周期为π，且在（﹣，）是增函数
B．函数最小正周期为，且在（﹣，）是减函数
C．函数最小正周期为π，且在（，）是减函数
D．函数最小正周期为，且在（，）是增函数
4．“互联网 ”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶
段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调
查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40
5． 已知等差数列{a n }满足2a 3﹣a +2a 13=0，且数列{b n } 是等比数列，若b 8=a 8，则b 4b 12=（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
6． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∧ 7． 函数y=x 3﹣x 2﹣x 的单调递增区间为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 实数a=0.2
，b=log
0.2，c=
的大小关系正确的是（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．a ＜b ＜c
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
9． 过点P （﹣2，2）作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有（ ）
A ．3条
B ．2条
C ．1条
D ．0条
10．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b=a ；当a ＜b 时，a ⊕b=b 2，则函数f （x ）=（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．6
D ．12
11．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则异面直线EF 和BC 1所成的角是（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．90°
D ．120°
12．如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（ ）
A ．{， }
B ．{，， }
C ．{V|≤V ≤}
D ．{V|0＜V ≤}
二、填空题
13．已知1,3x x ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32
x = 处的导数302f ⎛⎫
'< ⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
___________． 14．设全集
______.
15．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．
16．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B
k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给 出以下命题：
①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线2
1y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1
t A B ϕ⋅<
恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
17．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=5，BC=4，AA 1=3，沿该长方体对角面ABC 1D 1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 ．
18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．
三、解答题
19．如图，椭圆C1：的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭
圆C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过点M的两条互相垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点，
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若，求直线AB的方程．
20．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。

（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为
极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系；
（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。

21．（本小题满分12分）求下列函数的定义域：
（1）()
f x=；
（2）()
f x=.
22．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
23．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药
量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为1()
16t a
y-
=（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室。

那么药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
24．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）
的数据资料，计算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x i2=720．
（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；
（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
来安县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解： ==
=
；
又，
，
，
∴．
故选B ．
【点评】本题考查了向量加法的几何意义，是基础题．
2． 【答案】D
【解析】
【分析】由于长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），有空间想象能力可知MN 的中点P 的轨迹为以O 为球心，以1为半径的球体，故MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可． 【解答】解：因为长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界）， 有空间想象能力可知MN 的中点P 的轨迹为以O 为球心，以1为半径的球体，则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：
或
．
故选D
3． 【答案】D
【解析】解：对于函数f （x ）=tan （2x+），它的最小正周期为，
在（
，
）上，2x+
∈（
，
），函数f （x ）=tan （2x+
）单调递增，
故选：D ．
4． 【答案】B 【解析】
试题分析：设从青年人抽取的人数为800,,2050600600800
x x x ∴=∴=++，故选B ． 考点：分层抽样． 5． 【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质可得a 3+a 13=2a 8，
即有a 82
=4a 8，
解得a8=4（0舍去），
即有b8=a8=4，
由等比数列的性质可得b4b12=b82=16．
故选：D．
6．【答案】D
【解析】
考点：命题的真假.
7．【答案】A
【解析】解：∵y=x3﹣x2﹣x，
∴y′=3x2﹣2x﹣1，
令y′≥0
即3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1）≥0
解得：x≤﹣或x≥1
故函数单调递增区间为，
故选：A．
【点评】本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系．属基础题．
8．【答案】C
【解析】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.2＜0，0＜0.2＜1，，
即0＜a＜1，b＜0，c＞1，
∴b＜a＜c．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键．9．【答案】C
【解析】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，
设直线l的方程为：，
则．
即2a﹣2b=ab
直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，
即ab=﹣16，
联立，
解得：a=﹣4，b=4．
∴直线l的方程为：，
即x﹣y+4=0，
即这样的直线有且只有一条，
故选：C
【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．
10．【答案】C
【解析】解：由题意知
当﹣2≤x≤1时，f（x）=x﹣2，当1＜x≤2时，f（x）=x3﹣2，
又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x3﹣2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=23﹣2=6．
故选C．
11．【答案】A
【解析】解：如图所示，设AB=2，
则A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（2，2，1）．
∴=（﹣2，0，2），=（0，1，1），
∴===，
∴=60°．
∴异面直线EF和BC1所成的角是60°．
故选：A．
【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．【答案】D
【解析】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；
当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为×12×2=；
当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体；
所以，该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V≤}．
故选：D．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目．
二、填空题
13．【答案】1 2
【解析】
考点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．
【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就
是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和ω，再结合极值点的导数等于零，可求出ϕ.在求ϕ的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用302f ⎛⎫
'< ⎪⎝⎭
来验证.求出()f x 表达式后，就可以求出13f ⎛⎫
⎪⎝⎭
.1 14．【答案】{7，9}
【解析】∵全集U={n ∈N|1≤n ≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}， ∴（∁U A ）={4，6，7，9 }，∴（∁U A ）∩B={7，9}， 故答案为：{7，9}。

15．【答案】 ①③④
【解析】解：①“p ∧q 为真”，则p ，q 同时为真命题，则“p ∨q 为真”，
当p 真q 假时，满足p ∨q 为真，但p ∧q 为假，则“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件正确，故①正确； ②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P ﹣ABC ，顶点P 在底面的射影为O ，则O 为△ABC 的中心，∠PCO 为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=
∵侧棱长为2，∴
在直角△POC 中，tan ∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为
，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A （﹣2，0）和定圆的圆心B （2，0）的距离之和恰好等于定圆半径， 即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|． ∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆， 故动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆，故④正确， 故答案为：①③④
16．【答案】②③ 【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k -
=(,)A B ϕ∴=<
②对：如1y =
；③对；(,)2A B ϕ==
≤；
④错；1212(,)x x x x A B ϕ=
=
，
1211,(,)A B ϕ==因为1
(,)
t A B ϕ<
恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111] 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 17．【答案】 114 ．
【解析】解：根据题目要求得出：
当5×3的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（5×4+5×5+3×4）×2=114．
故答案为：114
【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析判断解决问题．
18．【答案】．
【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c
∴b=，c=2a，
由余弦定理可得cosB===．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：的离心率为，
∴a2=2b2，
令x2﹣b=0可得x=±，
∵x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长，
∴2=2b，
∴b=1，
∴C1、C2的方程分别为，y=x2﹣1；…
（Ⅱ）设直线MA的斜率为k1，直线MA的方程为y=k1x﹣1与y=x2﹣1联立得x2﹣k1x=0
∴x=0或x=k1，∴A（k1，k12﹣1）
同理可得B（k2，k22﹣1）…
∴S1=|MA||MB|=•|k1||k2|…
y=k1x﹣1与椭圆方程联立，可得D（），
同理可得E（）…
∴S2=|MD||ME|=••…
∴
若则解得或
∴直线AB的方程为或…
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，确定点的坐标是关键．
20．【答案】（1）点P 在直线上 （2）
【解析】（1）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P （0，4）。

因为点P 的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P 在直线上，
（2）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为，
从而点Q 到直线的距离为
，
21．【答案】（1）()[),11,-∞-+∞；（2）[)(]1,23,4-．
【解析】
考
点：函数的定义域. 1
【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中涉及到分式不等式的求解、一元二次不等式的求解、集合的交集运算等综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确把握函数的定义域，列出相应的不等式或不等式组是解答的关键，同时理解函数的定义域的概念，也是解答的一个重要一环. 22．【答案】
【解析】解：（1）∵0＜α＜，且sin α=
，
∴cos α=
，
∴f （α）=cos α（sin α+cos α）﹣，
=
×（
+
）﹣
=．
（2）f （x ）=cosx （sinx+cosx
）﹣． =sinxcosx+cos 2x
﹣ =
sin2x+cos2x
=sin （
2x+
），
∴
T==π， 由2k π
﹣
≤
2x+
≤2k π
+
，k ∈Z ，得k π
﹣
≤x ≤k π
+
，k ∈Z ，
∴f （x ）的单调递增区间为[k π
﹣，k π
+
]，k ∈Z ．
23．【答案】（1）0.110,00.11(),0.116
t t t y x -≤≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩；（2）至少经过0.6小时才能回到教室。

【解析】
试题分析：（1）由题意：当00.1t ≤≤时，y 与t 成正比，观察图象过点()0,0，(0.1,1)，所以可以求出解析
式为10y t =，当110t ≥
时，y 与t 的函数关系为1()16t a y -=，观察图象过点1(,1)10，代入得：0.111()16
a -=，所以0.1a =，则解析式为0.11()16t y -=，所以含药量y 与t 的函数关系为：0.110,00.1
1(),0.116
t t t y x -≤≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩；（2）观
察图象可知，药物含量在[]0,0.1段时间内逐渐递增，在0.1t =时刻达到最大值1毫克，在0.1t >时刻后，药物含量开始逐渐减少，当药物含量到0.25毫克时，有0.111
()0.25164
t -==，所以0.10.5t -=，所以0.6t =，所以至少要经过0.6小时，才能回到教室。

试题解析：（1）依题意，当，可设y 与t 的函数关系式为y ＝kt ，
易求得k ＝10，∴ y ＝10t ，
∴含药量y与时间t的函数关系式为
（2）由图像可知y与t的关系是先增后减的，在时，y从0增加到1；然后时，y从1开始递减。

∴，解得t＝0.6，
∴至少经过0.6小时，学生才能回到教室
考点：1.分段函数；2.指数函数；3.函数的实际应用。

24．【答案】
【解析】解：（1）由题意，n=10，=x
=8，=y i=2，
i
∴b==0.3，a=2﹣0.3×8=﹣0.4，
∴y=0.3x﹣0.4；
（2）∵b=0.3＞0，
∴y与x之间是正相关；
（3）x=7时，y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．。