课题学习--最短路径问题 优秀教案

课题学习---最短路径问题
游戏规则发生了变化，如图，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到终点处？
问题1:前面我们已
经解决了A、B两点在直
线两侧的最短问题，下面
请同学们思考并尝试，若
这两点居于直线的同侧，
该怎样找到那样的点P，
使得AP与BP的和最小？
问题2：若找到了那
样的点，请证明结论的正
确性
（化异侧为同侧）
点
点
l
求．
证明：如图，在直线
上取一点
P
质，
AP=PA
B=A
P+PB=AP+PB.
由此可知：
点距离最短
学以致用（将军饮马）传说在古
罗马时代的亚历山大城
有一位精通数学和物理
的学者，名叫海伦.一
天，一位将军专程去拜
访他，向他请教一个百
思不得其解的问题.
A
边
岸的同侧
该怎样走才能使路程最
短？据说当时海伦略加
思索就解决了它
们，你知道问题的答案
吗？
l
小明
终点
现如今，将军遇到了新的问题，你能够替代海伦帮助将军解决这个问题吗？
（造桥选址问题）将军从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后淌水到B 地（要求淌水的距离最短）．问到河边什么地方饮马并淌水可使他所走的路线全程最短？
问题3：本问题又变
成了点在直线两侧的问
题，但一条直线拓宽成
了一条河，请同学们思
考，要饮马并淌水过河，
饮马点M应选在何处，
才能使从A到B的路径
AMNB最短？
问题4：如何证明你
的结论？
如图，由于河岸宽
度是固定的，淌水的路
径最短要与河岸垂直，
因此路径AMNB中的MN
的长度是固定的. 因
此要使AM+MN+NB的值
最小，只需AM+NB的值
最小即可.
如图，几何画板验证，
然后使用逻辑推理
问题
探究
经验基础上，
把问题引向深
入，使得平移
变换自然呈
现，进一步体
现图形变换在
最短路径问题
中的价值。