保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）

保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）
第⼀章：利息理论基础
第⼀节：利息的度量
⼀、利息的定义
利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。

⼆、利息的度量
利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有
1、按照计息时刻划分：
期末计息：利率
期初计息：贴现率
2、按照积累⽅式划分：
（1）线性积累：
单利计息
单贴现计息
（2）指数积累：
复利计息
复贴现计息
（3）单复利/贴现计息之间的相关关系
单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。

单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。

时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。

所以长期业务⼀般复利计息。

时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。

所以短期业务⼀般单利计息。

3、按照利息转换频率划分：
（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）
（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）
（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒
特别，恒定利息效⼒场合有
三、变利息
1、什么是变利息
2、常见的变利息情况
（1）连续变化场合
（2）离散变化场合
第⼆节：利息问题求解原则
⼀、利息问题求解四要素
1、原始投资本⾦
2、投资时期的长度
3、利率及计息⽅式
4、本⾦在投资期末的积累值
⼆、利息问题求解的原则
1、本质
任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。

2、⼯具
现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。

3、⽅法
建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）
4、原则
在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。

第三节：年⾦
⼀、年⾦的定义与分类
1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。

原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。

2、年⾦的分类：
（1）基本年⾦
约束条件：等时间间隔付款
付款频率与利息转换频率⼀致
每次付款⾦额恒定
（2）⼀般年⾦
不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。

⼆、基本年⾦
1、分类
（1）付款时刻不同：初付年⾦/延付年⾦
（2）付款期限不同：有限年⾦/永久年⾦
2、基本年⾦公式推导
3、变利率年⾦问题
（1）时期变利率（第个时期利率为）
（2）付款变利率（第次付款的年⾦始终以利率计息）
三、⼀般年⾦
1、分类
（1）⽀付频率不同于计息频率
（2）变额年⾦
2、⽀付频率不同于计息频率年⾦
（1）⽀付频率⼩于计息频率的年⾦分析⽅法⼀：利率转换
⽅法⼆：年⾦的代数分析
（2）⽀付频率⼤于计息频率的年⾦分析⽅法⼀：利率转换
⽅法⼆：年⾦的代数分析
（3）连续年⾦
特别，在常数利息效⼒场合
3、变额年⾦
（1）等差年⾦
初始投资P元，等差Q元的年⾦的⼀般公式：
现时值：
积累值：
特别地，
递增年⾦：P=Q=1
现时值：
积累值：
递减年⾦：P=n，Q=-1
现时值：
积累值：
（2）等⽐年⾦（下⼀期年⾦值为前⼀期年⾦值的（）倍）
现时值：
积累值：
第四节：收益率
⼀、收益率的概念
1、贴现资⾦流与现⾦流动表
2、收益率的定义：使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。

也称为“内返回率”
⼆、收益率的唯⼀性判别
1、由于收益率是⾼次⽅程的解，所以它的解很可能不唯⼀。

2、 Descartes符号判别定理：收益率的最⼤重数⼩于等于资⾦流的符号改变次数。

3、收益率唯⼀性判别定理⼆：整个投资期间未动⽤投资余额始终为正，收益率唯⼀。

三、再投资率
1、本⾦的再投资率
2、利息的再投资率
四、基⾦的利息度量
1、币值加权⽅法
2、时间加权⽅法
第五节：分期偿还表和偿债基⾦
⼀、分期偿还和偿债基⾦的概念
1、分期偿还：借款⼈按⼀定的周期⽤分期付款的办法偿还贷款，这种还贷⽅法称为分期偿还。

2、偿债基⾦：借款⼈在贷款期末⽤⼀次的集中付款来偿还贷款⼈。

利息则在此期间分期付款，并假设借款⼈周期性地付款给⼀个“基⾦”，该“基⾦”在贷款期末的积累值正好可以偿还贷款本⾦。

⼆、分期偿还表
三、偿债基⾦
对偿债基⾦⽽⾔，第次付款的实际⽀付利息为：
第次付款的实际偿还本⾦为：
第⼆章⽣命表函数与⽣命表构造第⼀节⽣命表函数⼀、⽣存函数
1、定义：
2、概率意义：新⽣⼉能活到的概率
3、与分布函数的关系：
4、与密度函数的关系：
⼆、剩余寿命
1、定义：已经活到x岁的⼈（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。

2、剩余寿命的分布函数
5、：，
它的概率意义为：将在未来的年内去世的概率，简记
3、剩余寿命的⽣存函数：，
它的概率意义为：能活过岁的概率，简记
特别：
（1）
（2）
（3）
（4）：将在岁与岁之间去世的概率
4、整值剩余寿命
（1）定义：未来存活的完整年数，简记
（2）概率函数：
5、剩余寿命的期望与⽅差
（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）剩余寿命的⽅差：
6、整值剩余寿命的期望与⽅差
（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）整值剩余寿命的⽅差：
2 三、死亡效⼒
1、定义：的⼈瞬时死亡率，记作
2、死亡效⼒与⽣存函数的关系
3、死亡效⼒与密度函数的关系
4、死亡效⼒表⽰剩余寿命的密度函数
记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则
第⼆节⽣命表的构造
⼀、有关寿命分布的参数模型
1、de Moivre模型（1729）
2、Gompertz模型（1825）
3、Makeham模型（1860）
4、Weibull模型（1939）
⼆、⽣命表的起源
1、参数模型的缺点
（1）⾄今为⽌找不到⾮常合适的寿命分布拟合模型。

这四个常⽤模型的拟合效果不令⼈满意。

（2）使⽤这些参数模型推测未来的寿命状况会产⽣很⼤的误差
（3）寿险中通常不使⽤参数模型拟合寿命分布，⽽是使⽤⾮参数⽅法确定的⽣命表拟合⼈类寿命的分布。

（4）在⾮寿险领域，常⽤参数模型拟合物体寿命的分布。

2、⽣命表的起源
（1）⽣命表的定义
根据已往⼀定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.
（2）⽣命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《⽣命表的⾃然和政治观察》。

这是⽣命表的最早起源。

1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出⽣与下葬统计表对⼈类死亡程度的估计》，在⽂中第⼀次使⽤了⽣命表的形式给出了⼈类死亡年龄的分布。

⼈们因⽽把Halley称为⽣命表的创始⼈。

（3）⽣命表的特点
构造原理简单、数据准确（⼤样本场合）、不依赖总体分布假定（⾮参数⽅法）
三、⽣命表的构造
1、原理
在⼤数定理的基础上，⽤观察数据计算各年龄⼈群的⽣存概率。

（⽤频数估计频率）
2、常⽤符号
（1）新⽣⽣命组个体数：
（2）年龄：
（3）极限年龄：
（4）个新⽣⽣命能⽣存到年龄的期望个数：
（5）个新⽣⽣命中在年龄与之间死亡的期望个数：
特别，当时，记作
（6）个新⽣⽣命在年龄与区间共存活年数：
（7）个新⽣⽣命中能活到年龄的个体的剩余寿命总数：
四、选择与终极⽣命表
1、选择-终极⽣命构造的原因
（1）需要构造选择⽣命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的⽼成员。

（2）需要构造终极⽣命表的原因：选择效⼒会随时间⽽逐渐消失
2、选择-终极⽣命表的使⽤
第三节有关分数年龄的假设
⼀、使⽤背景
⽣命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的⽣存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数⽣存数据,选择某种分数年龄的⽣存分布假定，估计分数年龄的⽣存状况
⼆、基本原理
插值法
三、常⽤假定
1、均匀分布（Uniform Distribution）假定:(线形插值)
2、恒定死亡效⼒（Constant Force）假定（⼏何插值）
3、Balducci假定（调和插值）。