专题5 解直角三角形章末测试卷(拔尖卷)

第1章 解直角三角形章末测试卷（拔尖卷）

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）（2021秋•泉州期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则下列选项正确的是（ ） A ．sin A +sin B ＜1 B ．sin A +sin B ＞1

C ．sin A +sin B ＝1

D ．sin A +sin B ≤1

2．（3分）（2021•杭州一模）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ：BC ＝1：2，则∠A 的正弦值为（ ）

A ．√55

B ．2√55

C ．2

D ．√52

3．（3分）（2021秋•江阴市校级月考）如图，A （0，8），B （0，2），点E 为x 轴正半轴上一动点，设tan ∠AEB ＝m ，则m 的取值范围是（ ）

A ．0＜m ≤3

4

B ．0＜m ≤4

5

C ．1

2

＜m ＜3

4

D ．0＜m ≤3

5

4．（3分）（2021•温江区校级自主招生）已知sinα+cosα=7

5，0°＜α＜45°，则tan α＝（ ） A ．3

4

B ．4

3

C ．34

或4

3

D ．3

5

5．（3分）（2021秋•冷水滩区期末）关于三角函数有如下公式： sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β，sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣cos αsin β cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β，cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β

tan （α+β）=tanα+tanβ

1−tanαtanβ（1﹣tan αtan β≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin （30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°=12×12+√32×√3

2=1 利用上述公式计算下列三角函数①sin105°=√6+√2

4

，②tan105°＝﹣2−√3，③sin15°=

√6−√2

4

，④cos90°＝0

其中正确的个数有（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

6．（3分）（2021•杭州模拟）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则c a+b

+a c+b

的

值为（ ）

A ．1

2

B ．

√22

C ．1

D ．√2

7．（3分）（2021•建湖县二模）在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点E ，则∠AED 的正切值是（ ）

A ．2

B ．1

2

C ．2

3

D ．√55

8．（3分）（2021•温州自主招生）已知△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且2b ＝a +c ，延长CA 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ，则tan 1

2

∠BAC ⋅tan 1

2

∠BCA 的值为（ ）

A ．1

2

B ．1

3

C ．3

4

D ．

45

9．（3分）（2021•平阳县一模）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H ．Perigal ，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX ，ST ，将正方形BIJC 分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ 拼成大正方形AEFB （图2）．若AD =√13，tan ∠AON =3

2，则正方形MNUV 的周长为（ ）

A ．5√13

B ．18

C ．16

D ．8√3

10．（3分）（2021•吴兴区一模）李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境．聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图，半径为5的⊙O 在线段AB 上方，且圆心O 在线段AB 的中垂线上，到AB 的距离为

395

，AB ＝20，线段PQ 在边AB 上（AP ＜AQ ），PQ ＝6，

以PQ 中点C 为顶点向上作Rt △CDE ，其中∠D ＝90°，CD ＝3，sin ∠DCE ＝sin ∠DCQ =45

，设AP ＝m ，当边DE 与⊙O 有交点时，m 的取值范围是（ ）

A ．6115≤m ≤625

B ．

10615≤m ≤

775

C ．

22

5

≤m ≤

625

D ．375

≤m ≤

77

5

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．（3分）（2021秋•衢江区期末）tan1°tan2°tan3°…tan89°＝ ．

12．（3分）（2021•大石桥市校级模拟）如图，点A （t ，4）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α=43

，则t 的值为 ．

13．（3分）（2021秋•南安市月考）规定：sin （﹣x ）＝﹣sin x ，cos （﹣x ）＝cos x ，sin （x +y ）＝sin x •cos y +cos x •sin y ．据此判断下列等式成立的是 （填序号）．

①cos （﹣60°）=−1

2

；②sin2x ＝2sin x •cos x ；③sin （x ﹣y ）＝sin x •cos y ﹣cos x •sin y ；④sin90°＝1．

14．（3分）（2021秋•诸暨市期末）如图，某同学用圆规BOA 画一个半径为4cm 的圆，测得此时∠O ＝90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A 端不动，将B 端向左移至B ′处，此时测得∠O ′＝120°，则BB ′的长为 ．

15．（3分）（2021•新洲区模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝10，BC ＝5，M 是射线AB 上的一动点，以AM 为斜边在△ABC 外作Rt △AMN ，且使tan ∠MAN =1

2，O 是BM 的中点，连接ON ．则ON 长的最小值为 ．

16．（3分）（2021•武汉模拟）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AC 边上一点，连BD ，过C 点作BD 的垂线与过A 点作AC 的垂线交于点E ．当tan ∠ABD =1

2，cos ∠E =√17

17，则CD

AD

的值是 ．