鲁教版五四制七年级下册 第八章 平行线的有关证明 平行线的性质定理

解：画图，如图①②③④所示． ∠ABC与∠DEF相等或互补，理由如下： 如图①，∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DPC. ∵BC∥EF， ∴∠DEF＝∠DPC. ∴∠ABC＝∠DEF.
如图②，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC. ∵BC∥EF，∴∠EPC＝∠DEF. ∴∠ABC＝∠DEF. 如图③，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BPE. ∵BC∥EF，∴∠DEF＋∠BPE＝180°. ∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
(2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有 什么关系？
解：如图②，过点F作FI∥GP，则∠G＋∠1＝180°. ∵GP∥HQ，FI∥GP， ∴HQ∥FI. ∴∠2＋∠H＝180°. ∴∠G＋∠1＋∠2＋∠H＝360°， 即∠G＋∠GFH＋∠H＝360°.
15 如图，A，B两岛位于东西方向的一条水平线上，C岛 在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方 向，求∠ACB的度数．
鲁教版五四七年级下
第8章平行线的有关证明
8.5 平行线的性质定理
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1 【2020·宿迁】如图，直线a，b被直线c所截，a∥b， ∠1＝50°，则∠2的度数为( ) B A．40°B．50°
10 【中考·常德】如图，已知AB∥DE，∠1＝30°， ∠2＝35°，则∠BCE的度数为( ) B A．70° B．65° C．35° D．5°
11 如图，已知∠ABC，请你再画一个角∠DEF，使 DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC边于点P.探究： ∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？并说明理由．
解：如图，过点A，C，B分别画出南北方向的方向线． 由题意，得∠EAC＝50°，∠FBC＝40°. ∵AE∥DC∥BF， ∴∠ACD＝∠EAC＝50°， ∠BCD＝∠FBC＝40°. ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝50°＋40°＝90°.
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【点拨】 涉及方位角的问题时，一定要画出相应的方向线，同一
C．130°D．150°
2 【2021·河南】如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数 为( ) D A．90°B．100°
C．110°D．120°
3 【2021·襄阳】如图，a∥b，AC⊥b，垂足为C，
∠A＝40°，则∠1等于( ) C
A．40°B．45°
C．50°D．60°
4 【2020·营口】如图，AB∥CD，∠EFD＝64°， ∠FEB的平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为
证明：∵EM∥FN， ∴∠FEM＝∠EFN. 又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE， ∴∠FEB＝∠EFC. ∴AB∥CD.
13 如图，AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC， 则∠BMD与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．
解：∠BMD＝2∠N. 理由如下： 如图，过点M作ME∥AB， 则∠ABM＝∠BME. ∵AB∥CD，ME∥AB， ∴ME∥CD. ∴∠CDM＝∠DME. ∴∠ABM＋∠CDM＝∠BME＋∠DME＝∠BMD.
方向的方向线是彼此平行的，可以直接利用这一条件．
8 【2020·岳阳】如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝ 56°，则∠C的度数是( ) D A．154°B．144° C．134°D．124°
9 【中考·潍坊】如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则 ∠α与∠β满足( ) B A．∠α＋∠β＝180° B．∠β－∠α＝90° C．∠β＝3∠α D．∠α＋∠β＝90°
7 【2020·南通】如图，已知AB∥CD，∠A＝54°， ∠E＝18°，则∠C的度数是( ) A A．36°B．34°
C．32°D．30°
【点拨】 如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD. ∵EF∥AB， ∴∠AEF＝∠A＝54°. ∴∠CEF＝∠AEF－∠AEC＝54°－18°＝36°. 又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°.
() A．D 66°B．56° C．68°D．58°
5 【2020·河南】如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°， 则∠2的度数为( ) B A．100°B．110° C．120°D．130°
6 【2020·娄底】如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如 果∠1＝28°，那么∠2的度数为( ) A A．62°B．56° C．28°D．72°
同理∠N＝∠ABN＋∠CDN. ∵BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC， ∴∠ABM＝2∠ABN，∠CDM＝2∠CDN. ∴∠ABM＋∠CDM＝2∠ABN＋2∠CDN＝2∠N. ∴∠BMD＝2∠N.
阅读下列解题过程，然后解答后面的问题： 14
如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求 ∠BED的度数． 解：如图①，过点E作EF∥AB. 则AB∥CD∥EF. ∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°. ∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°. ∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.
如图②，③是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明 明遇到两个问题，请你帮他解决． (1) 如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证 AB∥DE，∠A应多大？
解：如图①，过点C作CM∥DE，则∠2＝∠D＝30°. ∵∠ACD＝65°，即∠1＋∠2＝65°， ∴∠1＝65°－∠2＝65°－30°＝35°. ∵AB∥DE，CM∥DE， ∴AB∥CM， ∴∠A＝∠1＝35°.
如图④，∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠EPC. ∵BC∥EF， ∴∠EPC＋∠DEF＝180°. ∴∠ABC＋∠DEF＝180°. 综上可知，∠ABC与∠DEF相等或互补．
【点拨】 本题易错之处在于往往只考虑到其中两种情况，而漏掉
另外两种情况．
12 【2020·武汉】如图，直线EF分别与直线AB，CD相交 于点E，F.EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且 EM∥FN.求证：AB∥CD.