高考数学四种命题和充要条件

2．(2016· 无锡模拟)若 f(x)是定义在 R 上的函数，则“f(0)＝0” 是“函数 f(x)为奇函数”的 ________条件 (填“充要”“充 分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．
解析：由奇函数的定义易知． 答案：必要不充分
3．(2016· 金陵中学期中)设 a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2 且 b>2”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不 充分”“既不充分又不必要”)．
答案：充分不必要
2．(教材习题改编)已知集合 A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m ＝ 3”是“A∩B ＝ {4}”的 ________条件 (填“充要”“充 分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．
解析： A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝± 3， 故“m＝ 3” 是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件． 答案：充分不必要
B)两者的不同．
[小题纠偏]
1．命题“当 a<0 时，函数 y＝ax＋b 的值随 x 值的增大而减 小”的否命题是________________________________．
解析：本题的条件是“x 的值增大”，结论是函数“y ＝ax＋b 的值减小”，故其否命题是“当 a<0 时，若 x 的值不增大，则函数 y＝ax＋b 的值不减小”． 答案：当 a<0 时，若 x 的值不增大，则函数 y＝ax＋b 的值不减小
＝{x|(x－m)(x－m－3)>0}＝{x|x<m 或 x>m＋3}， S＝{x|x2＋3x－4<0}＝{x|(x＋4)(x－1)<0} ＝{x|－4<x<1}， x∈p 是 x∈S 的必要不充分条件，即等价于 S P. 所以 m＋3≤－4 或 m≥1，解得 m≤－7 或 m≥1. 即 m 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．
解析：由题意，得|x|<b⇒|x|<a.因为|x|<a 的解集是 (－a，a)，|x|<b 的解集是(－b，b)，所以(－b，b) ⊆(－a，a)．所以 a≥b. 答案：a≥b
4． 已知 p： x≠2 或 y≠1， q： x＋y≠3， 则 p 是 q 的____________ 条件 (填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既 不充分又不必要”)．
解析： 由 a>2 且 b>2 得 a＋b>4， 而由 a＋b>4 无法得到 a>2 且 b>2， 故“a＋b>4”是“a>2 且 b>2”的必要不充分条件． 答案：必要不充分
[由题悟法]
充要条件的 3 种判断方法 (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒ p 进行判断； (2)集合法：根据 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进 行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判 断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定 形式给出的问题，如“ xy≠ 1”是“x≠ 1 或 y≠1”的某种条件， 即可转化为判断“x＝ 1 且 y＝ 1”是“xy＝ 1”的某种条件．
[越变越明]
[变式 1]
母题条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈
P 是 x∈S 的充要条件．
解：若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S，
1－ m＝－ 2， ∴ 1＋ m＝ 10， m＝ 3， ∴ m＝ 9，
无解．
即不存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条件．
[变式 2] 母题条件不变， 若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件， 求实数 m 的取值范围．
解：由母题知 P＝{x|－2≤x≤10}， ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，
∴P⇒S 且 S ⇒ / P. ∴[－2,10] [1－m,1＋m]．
1－m≤－2， ∴ 1＋m＞10 1－m＜－2， 或 1＋m≥10.

－m≥－2，
＋m≤10， ∴0≤m≤3.
所以当 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件， 即所求 m 的取值范围是[0,3].
[类题通法]
根据充要条件求参数的值或取值范围的关键 先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成 立问题和有解问题转化为最值问题等， 得到关于参数的方程 或不等式(组)，再通过解方程或不等式 (组)求出参数的值或 取值范围．
[即时应用]
1． 若 p： |x|＝x， q： x2＋x≥0.则 p 是 q 的________条件(填“充 要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必 要”)．
解析：设 p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A， q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0 或 x≤－1}＝B， ∵A B， ∴p 是 q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要
集合与 充要条件
充要 条件 p是q的_____ 既不充分 p是q的__________ 也不必要 条件 __________
p⇔q p q且q
包含 p A，B互不_____
[小题体验]
1．(教材习题改编)条件 p：x>2，条件 q：x≥2，则 p 是 q 的 ________ 条 件 ( 填“充要”“ 充分不必要 ”“必要不充 分”“既不充分又不必要”)．
解析：因为命题 q 的条件与结论恰好是命题 p 的条件与 结论的否定，故两者之间互否． 答案：否命题
3． (易错题 )给出以下四个命题： ①“若 x＋ y＝ 0，则 x， y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若 q≤－ 1，则 x2＋ x＋ q＝ 0 有实根”的逆否命题； ④若 ab 是正整数，则 a， b 都是正整数． 其中真命题是________． (写出所有真命题的序号 )
∴m≥9，即 m 的取值范围是[9，＋∞)．
[破译玄机]
本题运用等价法求解，也可先求綈 P，綈 S，再利
用集合法列出不等式，求出 m 的范围．
[变式 3]
若 P，S 分别变为：p：(x－m)2>3(x－m)，s：x2
＋3x－4<0.若 x∈p 是 x∈s 的必要不充分条件， 求 m 的取 值范围． 解：记 P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}
考点二
充分必要条件的判定 （重点保分型考点——师生共研）
[典例引领]
1．(2015· 北京高考改编)设 a，b 是非零向量，“a· b＝|a||b|”是 “a∥b”的 ________条件(填“充要”“充分不必要”“必 要不充分”“既不充分又不必要”)．
解析：a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ．而当 a∥b 时， 〈a，b〉还 可能是 π，此时 a· b＝－|a|· |b|，故“a· b＝|a||b|”是“a∥ b”的充分不必要条件． 答案：充分不必要
结束
“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(二)”
(单击进入电子文档)
解析：①命题“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题为 “若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0”，显然①为真命题；②不 全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正 确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若 ab 是正整 数，但 a，b 不一定都是正整数，例如 a＝－1，b＝－3，故④ 为假命题． 答案：①③
第二节
四种命题和充要条件
1．命题
概念
使用语言、符号或者式子表达的，可以判断_____ 真假 的陈述句
特点 (1)能判断真假；(2)陈述句
分类 真 命题、 假 命题
2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：
(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于 逆否命题 ，原 命题的否命题等价于 逆命题 ．在四种形式的命题中真命题的 个数只能是 0,2,4 .
解析：根据命题的四种形式可知，命题“若 p，则 q”的 否命题是“若綈 p，则綈 q”．该题中，p 为 a2>b2，q 为 a>b，故綈 p 为 a2≤b2，綈 q 为 a≤b.所以原命题的否命题 为：若 a2≤b2，则 a≤b. 答案：若 a2≤b2，则 a≤b
2． 已知命题 p： 正数 a 的平方不等于 0， 命题 q： 若 a 不是正数， 则它的平方等于 0， 则 p 是 q 的________(填“逆命题”“否 命题”“逆否命题”或“否定”)．
[谨记通法]
1．写一个命题的其他三种命题时的 2 个注意点 (1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． 2．命题真假的 2 种判断方法 (1)联系已有的数学公式、 定理、 结论进行正面直接判断． (2)利用原命题与逆否命题， 逆命题与否命题的等价关系 进行判断．
2．命题“全等三角形一定相似”的逆否命题是 ________________________．
解析：由原命题与逆否命题的关系，得逆否命题是“若 两个三角形不相似，则它们不全等”． 答案：若两个三角形不相似，则它们不全等
3．若|x|<a(a>0)的充分条件是|x|<b(b>0)，则 a，b 的大小关 系是________．
3．充要条件
若p⇒q，则p是q的 充分条件，q是 p的 必要条件 充分不必要 p是q的__________ p⇒q且q p 条件 必要不充分 p是q的__________ p q且q⇒p 条件 p成立的对象的集合为A，q成 立的对象的集合为B
Βιβλιοθήκη Baidu
真子集 A是B的_______ 真子集 B是A的_______ A＝B ______
考点三
充分必要条件的应用（题点多变型考点——纵引横联）
[典型母题]
已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}， 非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1 ＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，求 m 的取值范围． [解] 由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}， 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件，知 S⊆P. 则 1－m≤1＋m，
2．(2016· 常州武进期中)△ABC 中，角 A，B 的对边分别为 a， b， 则“A>B”是“a>b”的________条件(填“充要”“充 分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．
解析：因为△ABC 中，角 A，B 的对边分别为 a，b， 若 a>b，则根据正弦定理可得 2Rsin A>2Rsin B，sin A>sin B，所以 A>B. 若 A>B，则 sin A>sin B,2Rsin A>2Rsin B， 即 a>b.所以根据充分必要条件的定义可以判断： “A>B”是“a>b”的充要条件． 答案：充要
3．已知命题：若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实数根．则 其逆否命题为_________________________________．
答案：若方程 x2＋x－m＝0 无实根，则 m≤0
1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又 否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论． 2．易忽视 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B 的充分不必要条件是 B(B⇒A 且 A A)与 A
解析：若 p⇒q，即“x≠2 或 y≠1”⇒“x＋y≠3”， 得其逆否命题为“x＋y＝3⇒x＝2 且 y＝1”， 显然不正确， 所以 p⇒ / q. 同理可得 q⇒p. 所以 p 是 q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分
考点一
命题及其相互关系
基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1． 命题“若 a2>b2， 则 a>b”的否命题是________________．