第2讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

第二讲充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
主讲老师：徐剑
教学目标
1.理解充分条件、必要条件，充要条件；
2.熟知全称量词、存在量词，.全称量词命题、存在量词命题及两种命题的否定。

教学重难点
1.充分条件、必要条件，充要条件的理解与判断；全称量词命题、存在量词命题的否定。

一、课前预习
1．(1)充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的条件，q是p的条件
p是q的条件p⇒q且q p
p是q的条件p q且q⇒p
p是q的条件p⇔q
p是q的要条件p q且q p
①若A⊆B，则p是q的______________条件；
②若A≠⊂B，则p是q的______________条件；
③若B⊆A，则p是q的______________条件；
④若B≠⊂A，则p是q的______________条件；
⑤若A=B，则p是q的______________条件。

2.全称量词、存在量词
(1)．短语“”,“”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示，含有的命题，叫做全称命题．
其基本形式为：,()
∀∈，读作：
x M p x
(2)．短语“”“”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
“”表示，含有的命题，叫做特称命题．
其基本形式为：,()
x M p x，读作：
∃∈
3.全称量词命题、存在量词命题的否定
(1)全称量词命题“,()
∀∈”的否定为：
x M p x
(2)存在量词命题“,()
x M p x”的否定为：
∃∈
二、例题解析
1、充分条件、必要条件的判断
例1(1)给出下列四组命题试，分别指出p是q的什么条件。

①p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
②p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
③p：A⊆B，q：A∩B＝A；
④p：a>b，q：ac>bc.
(2)下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.
其中，可以作为|x|<1的一个充分条件的所有序号为____________________.
2、根据必要条件(充分条件)求参数的范围
例2 (1)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________.
(2)已知p ：a ≤x ≤a ＋1，q ：0<x <4，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________.
3、充要条件的证明
例3 已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1.
4.全称量词命题、存在量词命题的判断
例4 判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，并判真假。

（1）素数都是奇数；
（2）不是每一个无理数x ，2x 也是无理数．
（3）∀∈x R ，使2230++≥x x ；
（4）,x Z ∃∈x 能被2和3整除。

5.全称量词命题、存在量词命题的否定
例5 (1)写出下列命题的否定，并判断真假
①可以被5整除的整数，末位是0；
②对任意实数x ，x 2＋1≥0；
③∃x >1，使x 2－2x －3＝0；
④有些平行四边形不是矩形.
(2)已知命题p ：∀x ∈R ，m ＋x 2－2x ＋5>0，若⌝p 为假命题，求实数m 的取值范围.
三、课后作业
1. “1<x <2”是“x ≤2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2. 使“x ∈}213|{-≤≥x x x 或”成立的一个充分不必要条件是( )
A.x ≥0
B.x <0或x >2
C.x ∈{－1，3，5}
D.x ≤－12
或x ≥3 3. 若“x ≤－1或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________.
4. .命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则p 的否定是( )
A.存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根
B.不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根
C.对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根
D.至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根
5.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－2x ＋m ≤0，若⌝p 为假命题，则实数m 的取值范围为________.。