第10讲 恒成立能成立3种常见题型(解析版)

第10讲恒成立能成立3种常见题型
【考点分析】考点一：恒成立问题
若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，则
不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>；不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥；不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<；不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤；考点二：存在性问题
若函数()f x 在区间Ｄ上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，即()[],f x m n ∈，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<；不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤；不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>；不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥；考点三：双变量问题
①对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤；②对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥；③若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤；④若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥；⑤对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤；⑥对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥；⑦若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤⑧若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥．【题型目录】
题型一：利用导数研究恒成立问题题型二：利用导数研究存在性问题题型三：利用导数处理恒成立与有解问题【典型例题】
题型一：利用导数研究恒成立问题
【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）对任意正实数x ，不等式ln 1x x a -+>恒成立，则a 的取值范围是（）
A ．1a <
B ．2
a <C ．1
a >D ．2
a >【答案】B
【详解】令()ln 1f x x x =-+，其中0x >，则()min a f x <，
()11
1x f x x x
-'=-
=，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，所以，()()min 12f x f ==，2a ∴<.故选：B.
【例2】【2022年全国甲卷】已知函数()a x x x
e x
f x
-+-=ln ．
(1)若≥0，求a 的取值范围；【答案】(1)(−∞,+1]
【解析】(1)op 的定义域为(0,+∞)，'(p =(1
−
12)e −1
+1=1
(1−1
)e +(1−1
)=
K1
(
e
+1)令op =0,得=1
当∈(0,1),'(p <0,op 单调递减，当∈(1,+∞),'(p >0,op 单调递增o )≥o1)=e +1−，若op ≥0,则e +1−≥0,即≤e +1，所以的取值范围为(−∞,+1]【例3】已知函数211
()(1)ln (,0)22
f x x a x a a =
-+-∈≠R ．（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）0a ≤.【解析】【分析】
（1）求()'f x ，分别讨论a 不同范围下()'f x 的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合()10f =，分别求出a 的范围再求并集即可.
【详解】解：（1）由已知定义域为()0,∞+，()211
'()x a a f x x x x
-++=-=
当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增；
当10a +>，即1a >-时，x =或x =，所以()f x 在(上单调递减，在)
+∞
上单调递增.
所以1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；
1a >-时，()f x 在(上单调递减，在)
+∞上单调递增.
（2）由（1）可知，当1a ≤-时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，只需(1)0f ≥，而(1)0f =恒成立，所以1a ≤-成立；
当1a >-
1≤，即10a -<≤，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又(1)0f =，所以10a -<≤成立；若0a >，则()f x
在(
上单调递减，在
)
+∞上单调递增，又(1)0f =
，所以(0x ∃∈，
()0()10f x f <=，不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.
所以综上所述：0a ≤.
【例4】已知函数()ln f x x ax =-（a 是正常数）.（1）当2a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）若0x ∀>，()0f x <，求a 的取值范围；
【答案】（1）()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，()f x 的极大值是ln 21--，无极小值；
（2）1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
【解析】【分析】
（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；
（2）依题意可得max
ln x a x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，设()ln x g x x =
，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；【详解】
解：（1）当2a =时，()ln 2f x x x =-，定义域为()0,∞+，()1122x f x x x
-'=-=，令()0f x '>，解得1
02x <<，
令()0f x '<，解得12x >
，所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，所以()f x 的极大值是1ln 212f ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，无极小值.
（2）因为0x ∀>，()0f x <，即ln 0x ax -<恒成立，即max
ln x a x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭.
设()ln x g x x =
，可得()2
1ln x
g x x -'=，当0x e <<时()0g x '>，当x e >时()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，所以()()max 1e e g x g ==，所以1a e >，即1,a e ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
.
【例5】已知函数()x
f x xe
=（1）求()f x 的极值点；
（2）若()2
f x ax ≥对任意0x >恒成立，求a 的取值范围．
【答案】（1）1x =-是()f x 的极小值点，无极大值点；（2）a e ≤.【解析】【分析】
（1）利用导数研究函数的极值点.
（2）由题设知：x
e a x
≤在0x >上恒成立，构造()x e g x x =并应用导数研究单调性求最小值，即可求a 的范围．
【详解】
（1）由题设，()(1)x
f x e x '=+，
∴1x <-时，()0<'x f ，()f x 单调递减；1x >-时，()0>'x f ，()f x 单调递增减；∴1x =-是()f x 的极小值点，无极大值点.
（2）由题设，()2
x
x f x xe a =≥对0x ∀>恒成立，即x e
a x
≤在0x >上恒成立，
令()x
e g x x =，则2(1)()x
e x g x x
'-=，∴01x <<时，()0g x '<，()g x 递减；1x >时，()0g x '>，()g x 递增；∴()(1)e g x g ≥=，故a e ≤.【题型专练】
1.（2022·四川广安·模拟预测（文））不等式ln 0x kx -≤恒成立，则实数k 的取值范围是（）
A ．[)0,e
B ．(]
,e -∞C ．10,e ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦D ．1,e ∞⎡⎫+⎪
⎢⎣⎭
【答案】D 【解析】【分析】由题可得ln x
k x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，然后求函数()()ln 0x f x x x
=>的最大值即得.【详解】由题可得ln x
k x
≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()()ln 0x f x x x =
>，则()()21ln 0x
f x x x
-'=>，当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞；所以()()max 1
e e
f x f ==，
所以1
e
k ≥.
故选：D.
2.（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数()ln 2f x x x ax =++．(1)当0a =时，求()f x 的极值；
(2)若对任意的2
1,e x ⎡⎤∈⎣⎦，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)极小值是11+2e e f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，无极大值.
(2)222,e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】
（1）由题设可得()ln 1f x x '=+，根据()f x '的符号研究()f x 的单调性，进而确定极值.（2）()ln 20f x x x ax =++≤对任意的2
1,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，转化为：2ln 2
ln x x a x x x
+-≥=+对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令()2
ln g x x x
=
+，通过求导求()g x 的单调性进而求得()g x 的最大值，即可求出实数a 的取值范围.
(1)
当0a =时，()ln 2f x x x =+，()f x 的定义域为()0+∞，
，()ln 1=0f x x '=+，则1e
x =.令()0f x '>，则1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，令()0f x '<，则10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上
单调递增.当1e x =时，()f x 取得极小值且为111
1ln 2+2e e e
e f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，无极大值.
(2)
()ln 20f x x x ax =++≤对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，则2ln 2ln x x a x x x
+-≥=+对任意的2
1,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令()2
ln g x x x
=+，()222120x g x x x x -+'=-+==，所以2x =，则()g x 在[)1,2上单调递减，在(
22,e ⎤⎦上单调递增，所以()12g =，()222e 2e g =+，所以()()2
2max 2e 2e g x g ==+，则222e a -≥+，则222e
a ≤--.
实数a 的取值范围为：222,e ⎡⎫
--+∞⎪⎢⎣⎭
.
3.（2022·新疆克拉玛依·三模（文）
）已知函数()ln f x x x =，()()23g x x ax a R =-+-∈.(1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)若对任意()0,x ∞∈+，不等式()()1
2
f x
g x ≥恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，(2)(]
,4-∞【解析】【分析】
（1）求函数()f x 的单调递增区间，即解不等式()0f x '>；
（2）参变分离得32ln a x x x
≤++，即求()()()3
2ln 0,h x x x x x =++∈+∞的最小值.
(1)
()ln f x x x =定义域为(0,)+∞，()ln +1f x x '=()0f x '>即ln +10
x >解得1e x >，所以()f x 在
1
,)e
∞+（单调递增(2)
对任意()0,x ∞∈+，不等式()()12
f x
g x ≥恒成立，即()2
1ln 32x x x ax ≥-+-恒成立，
分离参数得32ln a x x x
≤++.令()()()32ln 0,h x x x x x =++∈+∞，则()()()
231x x h x x +-'=．。