河北省2011届高三高考仿真试题大纲版(数学文)

河北省2011届高三高考仿真试题 数学（文）模拟试题（大纲版）
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案实用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合}20|{},1|{<<=≤=x x B x x A ，则=B A （ ） A ．}2|{<x x B ．}20|{<<x x C ．}10|{≤<x x D ．}21|{<≤x x 2．复数=--1)1(i i
（ ）
A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1-
3．已知等差数列{}n a 中，11a =-，22a =，则 =+54a a （ ） A ．3
B ．8
C ．14
D ．19
4．已知A 、B 、C 是圆2
2
1x y +=上不同的三个点，且0OA OB ⋅=，存在实数λ，μ满足
OC OA OB λμ=+则实数λ，μ的关系满足 （ ）
A.2
2
1λμ+= B.
1
1
1λ
μ
+
= C.1λμ⋅= D.1λμ+=
5. 在集合⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧==
10,,3,2,1,6 n n x x π中任取一个元素，所取元素恰好满足方程21cos =x 的
概率是 A ．
51 B ．52 C ．53 D ．5
4 6．已知0a >函数3
()f x x ax =-在[1，)+∞是单调增函数，则a 的最大值是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 （ ）
A ．1
B
C D ．2
8． 已知α，β为不重合的两个平面，直线α⊂m ，那么“β⊥m ”是“βα⊥”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9．四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形， 且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内（含 边界）运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨 迹一定是 （ ）
10. 设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小的一个，若函数221
()min{3log , log }2
f x x x =-
，则满足()1f x <的x 的集合为 （ ）
A.(0,
B.(0, +)¥
C.(0, 2)(16,)+?U
D.1
(, )16
+?
11. 过原点与曲线y = （ ）
A.12y x =
B.2y x =
C.y x =
D.13
y x =
12. 若实数,x y 满足不等式组2010220x y y a -≤⎧⎪
-≤⎨⎪--≥⎩
，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a
的值是 （ ） A.-2 B.0 C.1 D.2
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
13. 函数x
x f 2)(=的最小值为 ；图象的对称轴方程为 ．
14．某个容量为100的样本的频率分布直方 图见右图，则在区间[4,5)上的数据的频数．．为 ．
15. 已知抛物线)0(22
>=p px y 与双曲线122
22=-b
y a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的
一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ． 16．若点集2
2
{(,)|1},{(,)|11,11}A x y x y B x y x y =+≤=-≤≤-≤≤，则
（1）点集{
1111(,)1,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_________； （2）点集{
}12121122(,),,(,),(,)M x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积
为___________ .
三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
已知1sin 0,,tan 23⎛⎫
=
∈= ⎪⎝⎭
πααβ． （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求()tan 2+αβ的值．
18．（本小题满分12分）
在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆的等边三角形，2AB =，,O D 分别是,AB PB 的中点．
（Ⅰ）求证：OD ∥平面PAC ； （Ⅱ）求证：PO ⊥平面ABC ； （Ⅲ）求三棱锥P ABC -的体积．
19．（本小题满分12分）
某网站就观众对2011年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表：
（Ⅰ）现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n的样本，已知从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5人，则n的值为多少？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若抽取到的5名不喜欢小品的观众中有2名为女性，现将抽取到的5名不喜欢小品的观众看成一个总体，从中任选两名观众，求至少有一名为女性观众的概率.
20．（本小题满分12分）
已知函数)0(1ln 2)(2
≠--=a x a x x f ． （Ⅰ）当2=a 时，求)(x f 在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的极值．
21．( 本小题满分12分)
已知点)2,1(A 是离心率为2
2的椭圆C ：)0(122
22>>=+b a a y b x 上的一点．斜率为
2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
22. ( 本小题满分12分)
已知集合},,,{21n a a a A =中的元素都是正整数，且n a a a <<< 21，集合A 具有性质P ：对任意的,x y A ∈，且x y ≠，有25
xy
y x ≥-． (Ⅰ) 判断集合}4,3,2,1{是否具有性质P ；
(Ⅱ) 求证：
25
1111-≥-n a a n ； (Ⅲ) 求证：9≤n ．
2011年高考等值诊断网上阅卷联合考试（三）
数学文模拟试题（大纲版）答案及评分标准
一．选择题：每小题5分，满分60分．
提示：
1．C 显然选C 2．A 显然选A
3．D ∵{}n a 是等差数列，并且11a =-，22a =，故3d =，于是
82621820a a d =+=+=
∴452812019a a a a +=+=-+=，选D
故使前
n 项和0>n S
成立的最大正数n 是46，选C
4．A 由已知点C 在单位圆上，故1OC =，于是有2
1OC =得到221λμ+=，选A
5．A 由已知满足方程21cos =x 的n 的值有：2，10两个数，故去概率为21105
P ==，选A.
6．D
()f x 在[1，)+∞是单调增函数ω ()'
230f
x x a =->在[1，)+∞恒成立
ω2
3a x <在[1，)+∞恒成立 υ a <3为所求，故选D.
7
．B
sin cos 4MN x x x π
⎛
⎫=-=-≤ ⎪⎝
⎭ B
8．A 显然选A 9．B 显然选B
10. C 由函数()f x 的图像知()1f x <的x 的集合为C
11．A 设切点P (0x ，那么切线斜率，0'
x x k y ===
，
又因为切线过点O （0，0）及点P 则0k =
解得02x =，∴12k =
，从而切线方程为1
2
y x =，选A 12．D 如图，显然当2x =，2
2
a y -=时，
目标函数2t x y =-取得最大值，即
max
2222222a t
a -⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭
解得：2a =，选D
二．填空题：每小题5分，满分20分． 13. 1；0=x
提示：由已知函数x
x f 2)(=的图象，答案是显然的。

14. 30
提示： ∵()0.050.100.150.4010.70+++⨯=
∴对于在区间[]4,5的频率/组距的数值为10.700.30-=， ∴容量为为100的样本落在[4,5)上频数为1000.3030⨯=
15
1
提示：设,2p A p ⎛⎫
⎪⎝⎭，代入双曲线方程得222214p p a b -=，由已知2b p a =，即2b ap =， 于是有22214p p a ap -=，故有2214p p a a -=，即22
414p ap a
-=，得22
44p a ap =+， 两边同时加上2p 得()2
2
22p a p =+
2a p =+
，即有)
1
2
p a =
于是
)
2
11
2
p c e p a
=
==
= 16．π，π+12
提示：已知点集A 表示以原点为圆心，半径为1的圆的边界及其内部，点集B 表示以原点为中心，四条边平行于坐标轴且长为2的正方形边界及其内部; （1）本题相当于把点集A 中的圆向右平移1个单位，
向上平移1个单位，因此其面积不变，为π. （2）相当于把点集A 沿点集B 扩大如图所示： 其面积为：44412S ππ=+++=+
三．解答题：
17．本小题主要考查三角变换公式和三角计算，考查三角基础知识和基本运算能力．满分10分．
〖解析〗
（Ⅰ）∵sin 0,,2⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
παα ∴
cos ===α. ………………………………3分
∴sin 1tan cos 2
5
===ααα. ……………………………………………5分 （Ⅱ） ∵1tan 3
=β, ∴22tan tan 21tan βββ=
- ……………………………………………………7分 21
23113⨯
=⎛⎫- ⎪⎝⎭34=. ………………………………………………9分 ∴()tan tan 2tan 21tan tan 2++=-αβαβαβ132413124
+=-⨯2=. …………………10分 18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系，线面平行与垂直的论证、椎体体积的计算等基础知识，考查空间想象能力、思维能力和运算能力．满分12分．
〖解析〗（Ⅰ）,O D 分别为,AB PB 的中点，∴OD ∥PA
又PA ⊂平面PAC ，OD ⊄平面PAC
∴OD ∥平面PAC ．………………………………………………………4分
（Ⅱ）如图，连结OC
AC CB ==O 为AB 中点，2AB =,
∴OC ⊥AB ，1OC =．
同理, PO ⊥AB ，1PO =．
又PC =
∴2222PC OC PO =+=,
∴90POC ∠=．
∴PO ⊥OC ．
PO ⊥OC ,PO ⊥AB ，AB OC O =,
PO ∴⊥平面ABC ．………………………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知OP 垂直平面ABC
∴OP 为三棱锥P ABC -的高，且1OP = ∴11112113323
P ABC ABC V S OP -=⋅=⨯⨯⨯⨯=．………………………12分 19．本小题主要考查抽样方法和概率的计算，以及利用概率统计的基础知识解决实际问题的能力．满分12分．
〖解析〗（Ⅰ）采用分层抽样的方法，样本容量与总体容量的比为:1000n
则不喜爱小品观众应抽取20051000n ⨯=人 ∴25.n = ………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意得，女性观众抽取2人，男性观众抽取3人，
设女性观众为12,a a ，男性观众为123,,b b b
则从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众有10种可能： 1211121321(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b
2223121323(,),(,),(,),(,),(,),a b a b b b b b b b ……………………………………8分
其中抽取两名观众中至少有一名为女性观众有7种可能：
1211121321(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b 2223(,),(,),a b a b 所以从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众， 至少有一名为女性观众的概率为710
…………………………………………13分 20．本小题主要考查导函数的求法、导数的几何意义、函数极值的求法，考查运用基本概念
进行计算的能力．满分12分．
〖解析〗（Ⅰ）当2=a 时，1ln 4)(2
--=x x x f ，0)1(=f 又x
x x x x f )2(242)(2-=-=' ，2)1('-=f 所以)1(20--=-x y
即)(x f 在1=x 处的切线方程为022=-+y x ……………………………5分
（II ）因为)0(1ln 2)(2
≠--=a x a x x f 所以x
a x x a x x f )(222)(2-=-='（x>0）……………………………………6分 （1）当0<a 时，
因为0>x ，且,02>-a x 所以0)(>'x f 对0>x 恒成立，
所以)(x f 在),0(+∞上单调递增，)(x f 无极值 ………………………7分
（2）当0>a 时，
令0)(='x f ，解得12x x = ………………………9分
所以当0x >时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：
……………………………11分
所以当a x =时，)(x f 取得极小值，且1ln )(--=a a a x f 极小值．
综上，当0<a 时，函数)(x f 在),0(+∞上无极值；当0>a 时，函数)(x f 在a x =
处取得极小值1ln )(--=a a a x f 极小值．………………………………………12分
21．本小题主要考查椭圆的方程的求法，考察弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方法，考查思维能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分．
〖解析〗（Ⅰ） a c e ==22， 12122=+a
b ，222
c b a += ∴2=a ，2=b ，2=c ∴椭圆方程为14
22
2=+y x ．…………………………………………………5分 （Ⅱ）设直线BD 的方程为b x y +=2
∴⎩⎨⎧=++=4
2222y x b x y 0422422=-++⇒b bx x ∴06482>+-=∆b 2222<<-⇒b ,2
221b x x -=+ ………………………① 4
4221-=b x x ………………………② 22212
8264864343)2(1b b x x BD -=-=∆=-+= ， 设d 为点A 到直线BD ：b x y +=
2的距离， ∴3b
d = ∴2)8(4
22122≤-==∆b b d BD S ABD ，当且仅当2±=b )22,22(-∈时，ABD ∆的面积最大，最大值为2．………………………………………………………12分
22．本小题考察对数学概念的阅读理解能力，考查不等式、集合知识的综合应用，考查运用学过的数学知识解决问题的能力，考查思维能力、论证能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分．
〖解析〗(Ⅰ)由于252121⨯≥-，253131⨯≥-，25
4141⨯≥-， 253232⨯≥-，254242⨯≥-，25
4343⨯≥-，
所以集合}4,3,2,1{具有性质P ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：依题意有)1,,2,1(25
11-=≥-++n i a a a a i i i i ，又n a a a <<< 21， 因此)1,,2,1(25
11-=≥-++n i a a a a i i i i ． 可得)1,,2,1(25
1111-=≥-+n i a a i i ． 所以
25111111111113221-≥-++-++-+--+n a a a a a a a a n n i i ． 即25
1111-≥-n a a n ． ……………………8分 （Ⅲ）证明：由(Ⅱ)可得
25111->n a ． 又11≥a ，可得2511->
n ，因此26<n ． 同理)1,,3,2,1(25
11-=-≥-n i i n a a n i ， 可知
251i n a i ->． 又i a i ≥，可得25
1
i n i ->， 所以)1,,2,1(25)(-=<-n i i n i 均成立．
当10≥n 时，取5=i ，则25)5(5)(≥-=-n i n i ，可知10<n ． 又当9≤n 时，25)2
()2()(22<=-+≤-n i n i i n i ． 所以9≤n ． ……………………12分
其它解法，请酌情给分.。