课件7：1.1.2 瞬时速度与导数

解这一速度？
【提示】 当Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于 3g，这时的平均速 度即为 t＝3 时的瞬时速度．
1．物体运动的瞬时速度
设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当_Δ_t_趋__近__于__0_时， 函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率_______________趋近 于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
忽视导数定义中Δx与Δy的对应关系
设 函 数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处 可 导 ， 且
f（x0－3ΔΔx）x －f（x0）＝1，则 f′(x0)等于(
)
A．1
B．－1
C．－13
1 D.3
【错解】
f（x0－3Δx）－f（x0） Δx
＝ f（x0－3Δ3Δx）x－f（x0）·3 ＝3f′(x0)＝1，所以 f′(x0)＝13，故选 D.
其中在求Δ Δyx时要注意分子与分母的一致性．
1．已知函数 y＝f(x)，下列说法错误的是( ) A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫函数增量 B.ΔΔxy＝f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）叫函数在[x0，x0＋Δx]上
的平均变化率 C．f(x)在点 x0 处的导数记为 y′ D．f(x)在点 x0 处的导数记为 f′(x0)
设函数 f(x)在 x0 处可导，求下列各值． (1) f（x0＋2ΔΔx）x －f（x0）；
(2) f（x0－mΔΔx）x －f（x0）.
【解】
(1)
f（x0＋2Δx）－f（x0） Δx
＝2 f（x0＋2Δ2Δx）x－f（x0）＝2f′(x0)．
(2)
f（x0－mΔx）－f（x0） Δx
＝－m f（x0－m－Δmx）Δ－x f（x0）＝－mf′(x0)．
瞬时速度、导数的概念
【问题导思】 物体作自由落体运动的方程是 s(t)＝12gt2. 1．试求物体在[3，3＋Δt]这段时间内的平均速度？
【提示】 Δs＝12g(3＋Δt)2－92g＝3gΔt＋12g(Δt)2， v＝ΔΔst＝3g＋12gΔt＝g3＋12Δt.
2．当Δt趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于几？怎样理
【答案】 C
3．若 f′(1)＝2 014，则 f（1＋Δ－x）Δ－x f（1）＝________．
【解析】
f（1＋Δx）－f（1） －Δx
＝－ f（1＋ΔxΔ）x－f（1）＝－f′(1) ＝－2 014. 【答案】 －2 014
4．如果一个质点由定点 A 开始运动，在时间 t 的位移函数为 y＝f(t)＝t3＋3， (1)当 t1＝4，Δt＝0.01 时，求Δy 和比值ΔΔyt； (2)求 t1＝4 时， ΔΔyt的值； (3)说明 ΔΔyt的几何意义．
还可以说：当Δx→0 时，函数平均变化率的极限等于函数在 x0 的瞬时变化率 l，记作 f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）＝l.
4．函数的导数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x 都是可导 的，则称f(x)
在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内的每个值x，都 对应一个 确定的导数f′(x) ， 于 是 在 区 间 (a ， b) 内 ，
(2)物体在 t＝1 时的瞬时速度即为函数在 t＝1 处的瞬时 变化率． ∵物体在 t＝1 附近的平均变化率为 ΔΔst＝29＋3（1＋Δt－3）Δ2t－29－3（1－3）2 ＝3Δt－12， ∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为 s′(1)＝ ΔΔst＝ (3Δt－12)＝－12(m/s)， 即物体在 t＝1 时的瞬时速度为－12 m/s.
∴f′(－1)＝ ΔΔxy＝ (3－Δx)＝3.
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3 ＝6Δx＋3(Δx)2， ∴Δ Δyx＝6＋3Δx，
∴f′(1)＝ ΔΔxy＝ (6＋3Δx)＝6.
1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于 Δy与Δx的比值，认识和理解在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个
(3)通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交 流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神， 提高参与意识和合作精神．
重点难点
重点：函数在某点处附近的瞬时速度、瞬时变化率的概念及导 数概念的形成．
难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数概念的 理解．
1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬 时变化率的过程，了解导数概念的实际背景. 课 2.会求函数在某一点处的瞬时变化率．(重点) 标 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难 解 点) 读 4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念． (易混点)
(2)通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；
(3)通过问题的探究体会逼近、类比、从已知探求未知、从特 殊到一般的数学思想方法．
3．情感、态度与价值观
(1)通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学 生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数 学思想；
(2)通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念 不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣；
【答案】 D
【错因分析】 在导数的定义 f′(x0)＝ f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）中， Δx 是 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0. 初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号的一 致性．
【防范措施】 在利用导数的定义求函数在某一点的导数 时，Δ Δyx中Δx 是分子中被减数的自变量减去减数的自变量的 差，要深刻理解以防出错．
(3)物体的初速度 v0.
【思路探究】 (1)求ΔΔst，注意解析式的选择． (2)先求ΔΔst，再求瞬时速度 s′(1)． (3)初速度 v0 为 t＝0 时的瞬时速度 s′(0)．
【自主解答】 (1)∵物体在 t∈[3，5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2， ∴物体在 t∈[3，5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在 t∈[3，5]上的平均速度为 ΔΔst＝428＝24(m/s)．
f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函
数，记为 f′(x)或y′(或y′x)
．
求物体运动的平均速度与瞬时速度
若一物体运动方程如下(位移：m，时间：s)：
s＝329t2＋＋32（，t－3）2，
t≥3， 0≤t<3.
① ②
求：(1)物体在 t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体在 t＝1 时的瞬时速度；
函数在某点处的导数
(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率， 并求出在该点处的导数． (2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 【思路探究】 求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变 化率，再求f′(x0)．
【自主解答】 (1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2， ∴Δ Δyx＝3Δx－Δ（xΔx）2＝3－Δx，
∴
f（x0－Δx）－f（x0） 2Δx
＝ －12f[x0＋（－－ΔΔx）x]－f（x0） ＝－12f′(x0)＝－52.
概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质 属性，才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握 给定的极限式与导数定义的关系，盲目套用导数的定义是使 思维受阻的主要原因，解决这类问题的关键就是等价变形， 使问题转化．
【解析】 f(x)在点x0处的导数应记为f′(x0)．
【答案】 C
2．物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若 v＝ lim s（1＋ΔtΔ）t－s（1）＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是 ()
A．9.8 m/s 是物体从 0 s 到 1 s 这段时间内的速率 B．9.8 m/s 是 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的速率 C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速率 D．9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的平均速率 【解析】 根据导数的定义知，C正确．
【解】 (1)Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1) ＝3t21·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3，故当 t1＝4， Δt＝0.01 时， Δy＝0.481 201，ΔΔyt＝48.120 1. (2) ΔΔyt＝[3t21＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t21＝48.
(3)Δy 是质点在Δt 这段时间内的位移，所以ΔΔyt表示质点在 Δt 这段时间内的平均速度，故 ΔΔyt表示质点在时刻 t1 的瞬时 速度．
(3)求物体的初速度 v0，即求物体在 t＝0 时的瞬时速度． ∵物体在 t＝0 附近的平均变化率为 ΔΔst＝f（0＋ΔΔt）t－f（0）
＝29＋3[（0＋Δt）－Δ3]t2－29－3（0－3）2＝3Δt－18， ∴物体在 t＝0 处的瞬时速度为 s′(0)＝ ΔΔst＝ (3Δt－18)＝－18 (m/s)， 即物体的初速度为－18 m/s.
1．不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率，导致无 从下手是解答本题的常见错误．
2．若物体运动路程与时间的关系为s＝s(t)，则物体在t＝t0时 刻的瞬时速度即为s′(t0)．
3．求运动物体瞬时速度的三个步骤：
第一步：求时间改变量Δt 和位置改变量Δs＝s(t0＋Δt) －s(t0)； 第二步：求平均速度 v＝ΔΔst； 第三步：求瞬时速度：当Δt 无限趋近于 0，ΔΔst无限趋近 于常数 v，即为瞬时速度．
课后知能检测 点击图标进入…
(教师用书独具)
航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2 ＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.
第一章 导数及其应用
1.1.2 瞬时速度与导数
三维目标 1．知识与技能 (1)了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； (2)理解导数的概念，会求函数在某点的导数或瞬时变化率．
2．过程与方法
(1)通过对大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时 变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就 是导数；
∴f′(1)＝ Δ Δyx＝ 1＋1＋1Δx＝2.
求函数的平均变化率
设函数 f(x)在点 x0 处可导，试求下列各式的值． (1) f（x0＋Δx）2Δ－xf（x0－Δx）； (2)若 f′(x0)＝5，求 f（x0－Δ2xΔ）x－f（x0）.
【思路探究】 利用函数f(x)在点x0处可导的条件，可以将已 给定的极限式恒等变形，转化为导数定义的结构形式．
一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，
时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求
常数a的值．
【解】 ∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2， ∴ΔΔst＝4a＋aΔt， ∴在 t＝2 s 时，瞬时速度为 s′(2)＝ (4a＋aΔt)＝4a. ∴4a＝8， ∴a＝2.
【自主解答】
(1)
原式＝
f（x0＋Δx）－f（x0）＋f（x0）－f（x0－Δx） 2Δx
=12Δlixm→0
f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）＋Δlixm→0
f（x0－Δx）－f（x0）
－ΔxΒιβλιοθήκη ＝12[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)．
(2)f′(x0)＝ f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）＝5，
【正解】
∵
f（x0－3Δx）－f（x0） Δx
＝ f（x0－3－Δ3x）Δ－x f（x0）·（－3） ＝－3f′(x0)＝1， ∴f′(x0)＝－13，故选 C.
【答案】 C
本节课通过实例，引出了瞬时速度、瞬时变化 率的概念，进而形成了导数的概念，体现了从特殊 推向一般的思想和方法，利用导数的定义求函数在 某一点的导数包含着函数平均变化率的求法，揭示 了函数平均变化率与函数瞬时变化率之间的关系，
固定的常数A这一现象．
2．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤：
简称：一差、二比、三极限．
求函数 f(x)＝x－1x在 x＝1 处的导数． 【解】 ∵Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11 ＝Δx＋1－1＋1Δx＝Δx＋1＋ΔΔx x，
∴Δ Δyx＝Δx＋Δ1＋xΔΔx x＝1＋1＋1Δx，