四川省雅安市重点中学2016届高三9月月考数学(理)试卷

雅安中学2015—2016学年高三上期9月月考
数 学 试 题
（命题人： 审题人： ）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

所有试题均在答题卷相应位置上作答，答在试卷上一律不得分。

第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M
N =( )
A.｛1｝
B.｛2｝
C.｛0，1｝
D.｛1，2｝ 2．若a 为实数，且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
3.设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
4．已知等比数列{}n a 满足a 1 = 3，a 1 + a 3 + a 5 = 21，则a 3 + a 5 + a 7 =（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 5．设函数21
1log (2),1
()2, 1
x x x f x x -+-<⎧⎪=⎨
≥⎪⎩，则2(2)(log 12)f f -+=（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6．已知抛物线()220y px p =>,过其焦点且斜率为1的直线
交抛物线于,A B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A ．1x = B.1x =- C ．2x = D.2x =-
7.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ） A
．．8 C
．．10
9．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB = 90°，C 为该球面上的动点。

若三棱锥O —ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）
A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π
10.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）
A. 110
B. 25
11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ΔABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）
A
B ．2 C
12．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x > 0时，()()0xf x f x '-<，则使得函数()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设向量a ，b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ = __________。

14．若14.x ，y
满足约束条件10
20
220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
，则z x y =+的最大值为__________。

15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a = __________。

16.已知定义域为0+∞（，
）的函数()f x 满足:(1)对任意0x ∈+∞（，）,恒有(2)2()f x f x =成立;(2)当x ]∈（1，2时,()2f x x =-.给出如下结论:
①对任意m Z ∈,有(2)0m f =； ②函数()f x 的值域为[0+∞，）
；
③存在n Z ∈,使得(21)9n f +=；
④“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈,使得1(,)(2,2)k k a b +⊆”
； 其中所有正确结论的序号是_______________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 设ABC △的内角,,A B C 所对的边长分别为c b a ,,,且c A b B a 2
1cos cos =-. (Ⅰ)求
B
A
tan tan 的值; (Ⅱ)求)tan(B A -的最大值,并判断当)tan(B A -取最大值时ABC △的形状.
18.（本小题满分12分）
某学校组织500名学生体检,按身高(单位:cm)分组:第1组[155,160),第2组[160,165),第3组[165,170),第4组[170,175),第5组[175,180],得到的频率分布直方图如图所示.
(1)下表是身高的频数分布表,求正整数m,n 的值;
(2)现在要从第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,第1,2,3组应抽取的人数分别是多少?
(3)在(2)的前提下,从这6人中随机抽取2人,求至少有1人在第3组的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，，求三棱锥E-ACD 的体积. 20．（本小题满分12分）
已知一条曲线C 在y 轴右边,曲线C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴的 距离的差都是1.
(Ⅰ)求曲线C 的方程;
(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有FA FB ⋅﹤0？若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 21．（本小题满分12分）
已知()ln y f x x x ==.
(1)求函数)(x f y =的图像在x e =处的切线方程; (2)设实数0>a ,求函数()
()f x F x a
=
在[]a a 2,上的最大值. (3)证明对一切(0,)x ∈+∞,都有12ln e e x x x >-成立.
22．（本小题满分10分）
已知0>a 且1≠a ,函数)1(log )(+=x x f a ,x
x g a -=11
log )(,记)()(2)(x g x f x F += (1)求函数)(x F 的定义域D 及其零点;
(2)若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内仅有一解,求实数m 的取值范围.
参考答案
一、选择题 DBABC BDCCC DA 二、填空题
13、 1/2 14、 3/2 15、 3 16、 1、2、4
三、解答题
17、 解:(1)由c A b B a 2
1
cos cos =
-可得 B A B A B A A B B A sin cos cos sin )sin(cos sin 2cos sin 2+=+=-
⇒
=⇒A B B A cos sin 3cos sin B
A
tan tan =3 (2)设t B =tan ,则t A 3tan =且0>t
)tan(B A -3
31323123132
2≤
+
=+=+-=
t
t t t
t t t 此时3633ππ=⇒=⇒=A B t ,故2
π
=C ,△ABC 为直角三角形 18
、
19、（1）设AC 的中点为G, 连接EG 。

在三角形PBD 中，中位线EG//PB,且EG 在平面AEC 上，所以PB//平面AEC.（2）设CD=m, 分别以AD,AB,AP 为X,Y ,Z 轴建立坐标系，则。

的体积为所以，三棱锥的高即为三棱锥面且的中点，则为设解得解得一个则法向量为同理设平面解得一个则法向量为设平面8
3
-.
83
21323213131∴.-,
⊥,21
2,//.23
,21333|,cos |3πcos ).
3-,3-,(,0,0),,,().
0,1,0(,0,0),,,().
0,,3(),21
,0,23(),0,0,3(∴).0,,3(),21
,0,23(
),0,0,3(),0,0,0(Δ-2222222222222221111111ACD E EF S V ACD E ACD EF EF PA EF PA AD F m m
m n n m m n AE n AC n z y x n ACE n AE n AD n z y x n ADE m AC AE AD m C E D A ACD ACD E =••••=••=====++=><============
20、解:(I)设P ),(y x 是直线C 上任意一点,那么点P(y x ,)满足:
)0(1)1(22>=-+-x x y x
化简得)0(42
>=x x y
(II)设过点M(m,0))0(>m 的直线l 与曲线C 的交点为A(11,y x ),B(22,y x )
设l 的方程为m ty x +=,由⎩⎨⎧=+=x
42y m ty x 得0442=--m ty y ,0)(162
>+=∆m t .
于是⎩⎨
⎧-==+m y y t
y y 442
121 ①
又),1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=
01)()1)(1(021********<+++-=+--⇔<⋅y y x x x x y y x x FB FA
②又
4
2
y x =,于是不等式②等价于 ⋅42
1y 01)4
4(42
22
1212
2<++-+y y y y y 01]2)[(4
116)(2122121221<+-+-+⇔y y y y y y y y ③
由①式,不等式③等价于
22416t m m <+- ④
对任意实数t,24t 的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于
0162<+-m m ,即223223+<<-m
由此可知,存在正数m,对于过点M(m ,0)且与曲线C 有A,B 两个交点的任一直线,都有
0<⋅FB FA ,且m 的取值范围是)223,223(+-
21． 解:
(1))(x f 定义域为()+∞,0 ()ln 1f x x '=+
()f e e = 又 /()2k f e == ∴函数)(x f y =的在x e =处的切线方程为:
2()y x e e =-+,即2y x e =- (2)
'
1()(ln 1)F x x a =+令'()0F x =得1x e
=
当()
10,e
x ∈,'()0F x <,)(x F 单调递减,
当()1,e
x ∈+∞,'
()0F x >,()F x 单调递增.
∴)(x F 在[]a a 2,上的最大值max ()max{(),(2)}F x F a F a =
1
()(2)ln 2ln 2ln 4F a F a a a a
-=-= ∴当1
04
a <≤
时,()(2)0,F a F a -≥max ()F x =a a F ln )(=
当1
4
a >
时,()(2)0F a F a -<,min ()F x =(2)2ln 2F a a = (3)问题等价于证明2ln ((0,))e e x x x x x >-∈+∞, 由(2)可知()ln ((0,))
f x x x x =∈+∞的最小值是1e -,当且仅当1e
x =时取得.
设2()((0,))e e x x m x x =-∈+∞,则1()e x x m'x -=,易得[]max 1()(1)e m x m ==-,
当且仅当1x =时取到,从而对一切(0,)x ∈+∞,都有12ln e e x x x
>-成立.
21、解:(1))()(2)(x g x f x F +=x
x a
a -++=11
log )1(log 2(0>a 且1≠a ) ⎩
⎨
⎧>->+010
1x x ,解得11<<-x ,所以函数)(x F 的定义域为)1,1(- 令)(x F 0=,则011
log )1(log 2=-++x
x a
a (*)方程变为 )1(log )1(log 2x x a a -=+,x x -=+1)1(2,即032=+x x
解得01=x ,32-=x
经检验3-=x 是(*)的增根,所以方程(*)的解为0=x 所以函数)(x F 的零点为0 (2)x
x m a
a -++=11
log )1(log 2(10<≤x ) =m )414
1(log 112log 2--+-=-++x
x x x x a a
414
1--+
-=x
x a m 设]1,0(1∈=-t x ,则函数t
t y 4
+
=在区间]1,0(上是减函数 当1=t 时,此时1=x ,5min =y ,所以1≥m a ①若1>a ,则0≥m ,方程有解; ②若10<<a ,则0≤m ,方程有解。