贵州省黔东南市2022-2023学年九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，它们分别是△P1A1O、△P2A2O、△P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（）
A．S1＜S2＜S3
B．S2＜S1＜S3
C．S3＜S1＜S2
D．S1＝S2＝S3
3．如图，⊙O的圆周角∠A =40°，则∠OBC的度数为（）
A．80°B．50°C．40°D．30°
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD=48°，则∠DCA的大小为（）
A．48B．42C．45D．24
5．如图，正方形ABCD 的边长是4，E 是BC 的中点，连接BD 、AE 相交于点O ，则OD 的长是（ ）
A ．423
B ．22
C ．823
D ．5
6．下列各式运算正确的是（ ）
A ．235a a a +=
B ．236a a a ⋅=
C ．()326ab ab =
D ．1055a a a ÷=
7．某市从2018年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2018年旅游收入约为2亿元．预计2020年旅游收入约达到
2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（ ）
A ．2（1+x ）2＝2.88
B ．2x 2＝2.88
C ．2（1+x%）2＝2.88
D ．2（1+x ）+2（1+x ）2＝2.88
8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A ′B ′C ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．2
B ．2π
C ．4
D ．4π
9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝7，D 、E 分别在边AC 、BC 上，CD ＝1，DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 旋转，旋转后点D 、E 对应的点分别为D ′、E ′，当点E ′落在线段AD ′上时，连接BE ′，此时BE ′的长为（ ）
A ．3
B ．3
C ．7
D ．7
10．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，若∠ADC ＝33°，则∠ACO 的大小为（ ）
A．57°B．66°C．67°D．44°
11．已知反比例函数
k
y
x
的图象经过点（1，2），则k的值为（）
A．0.5 B．1 C．2 D．4
12．如图，AD是⊙O的直径，以A为圆心，弦AB为半径画弧交⊙O于点C，连结BC交AD于点E，若DE＝3，BC ＝8，则⊙O的半径长为（）
A．25
6
B．5 C．
16
3
D．
25
3
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．
14．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，则顶点M2020的坐标为_____．
15．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是2200.5s t t =-，飞机着陆后滑行______m 才能停下来.
16．圆内接正六边形一边所对的圆周角的度数是__________．
17．如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l 上，则木板上点A 滚动所经过的路径长为_____．
18．如图，AB 是O 的直径，30B ∠=︒，弦6AC =，ACB ∠的平分线交O 于点D ，连接AD ，则阴影部分的面积是________．（结果保留π）
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知反比例函数k y x
=的图像与一次函数y x b =+的图象相交于点A （1，4）和点B （m ，-2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求ΔAOC 的面积；
（3）直接写出k x b x
+>时的x 的取值范围 （只写答案） 20．（8分）如图，点E 在ABC 的中线BD 上，EAD ABD ∠=∠．
（1）求证：ADE BDA △∽△；
（2）求证：ACB DEC ∠=∠．
21．（8分）如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、OC 、BC
（1）求证：∠ACO ＝∠BCD ；
（2）若EB ＝8cm ，CD ＝24cm ，求⊙O 的面积．（结果保留π）
22．（10分）请用学过的方法研究一类新函数||
k y x =（k 为常数，0k ≠）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数6||y x =的图象； （2）对于函数||
k y x =，当自变量x 的值增大时，函数值y 怎样变化？ 23．（10分）如图,在小山的东侧A 处有一一热气球,以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为30°的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现,在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角是15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离．(结果保留根号,参考数据:
626215,15,1523,cot152344
sin cos tan -+︒=︒=︒=-︒=+)
24．（10分）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，以CD 为直径的
O 分别交AC 、BC
于点M 、N ，过点N 作NE AB ⊥，垂足为E ．
（1）若O 的半径为52
，6AC =，求BN 的长；（2）求证：NE 与O 相切． 25．（12分）如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝4，点P 在AmB 上运动（点P 不与点A 、B 重合），且∠APB ＝30°，设图中阴影部分的面积为y ．
（1）⊙O 的半径为 ；
（2）若点P 到直线AB 的距离为x ，求y 关于x 的函数表达式，并直接写出自变量x 的取值范围．
26．如图所示，O 分别切ABC 的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若8BC =，10AC =，6AB =．
（1）求AD 的长；
（2）求O 的半径长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【详解】由题意可知，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以斜边=2×
2=4cm. 考点：含30°的直角三角形的性质.
2、D
【分析】由于P 1、P 2、P 3是同一反比例图像上的点，则围成的三角形虽然形状不同，但面积均为1||2
k ．
【详解】根据反比例函数的k的几何意义，△P1A1O、△P2A2O、△P3A3O的面积相同，均为1
||
2
k，所以S1=S2=S3，
故选D．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，过同一反比例上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形
面积就等于|k|，而围成的三角形的面积为1
||
2
k，本知识点是中考的重要考点，应高度关注．
3、B
【分析】然后根据圆周角定理即可得到∠OBC的度数，由OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，根据三角形内角和定理计算出∠OBC．
【详解】∵∠A=40°．
∴∠BOC=80°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=50°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．
4、B
【详解】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°−∠BAD=42°，
∴∠DCA=∠ABD=42°
故选B
5、C
【分析】先根据勾股定理解得BD的长，再由正方形性质得AD∥BC，所以△AOD∽△EOB，最后根据相似三角形性质即可解答,
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，边长是4，
∴22
4442，，
∵E 是BC 的中点，AD ∥BC ，
所以BC=AD=2BE ，
∴△AOD ∽△EOB ， ∴2AD OD EB OB
==,
∴OD=
23BD=23×=3. 故选：C.
【点睛】
本题考查正方形性质、相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质.
6、D
【分析】逐一对选项进行分析即可．
【详解】A. 23,a a 不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B. 235a a a ⋅=，故该选项错误；
C. ()3236ab a b =，故该选项错误；
D. 1055a a a ÷=，故该选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘除法，积的乘方，掌握同底数幂的乘除法和积的乘方的运算法则是解题的关键． 7、A
【分析】设该市旅游收入的年平均增长率为x ，根据该市2018年旅游收入及2020年旅游预计收入，即可得出关于x 的一元二次方程，即可得出结论．
【详解】设该市旅游收入的年平均增长率为x ，根据题意得：
2（1+x ）2
=2.88
故选A ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8、B
【解析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB '的面积﹣△CA 'B '的面积）+（△ABC 的面积﹣扇形CAA '的面积），代入数值解答即可．
【详解】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，
∴阴影部分的面积＝＝2π，
故选B．
【点睛】
本题考查了扇形面积公式的应用，观察图形得到阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC 的面积﹣扇形CAA'的面积）是解决问题的关键.
9、B
【分析】如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O．首先证明∠CE′B＝∠D′＝60°，解直角三角形求出HE′，BH即可解决问题．
【详解】解：如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O．
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵DE∥AB，
∴CD
CA
＝
CE
CB
，∠CDE＝∠CAB＝∠D′＝60°
∴
'
CD
CA
＝
'
CE
CB
，
∵∠ACB＝∠D′CE′，
∴∠ACD′＝∠BCE′，
∴△ACD′∽△BCE′，
∴∠D′＝∠CE′B＝∠CAB，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC7，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝7BC321
∵DE∥AB，
∴CD
CA
＝
CE
CB
，721
，
∴CE3，
∵∠CHE ′＝90°，∠CE ′H ＝∠CAB ＝60°，CE ′＝CE ＝3 ∴E ′H ＝12CE ′＝32
，CH ＝3HE ′＝32， ∴BH ＝22BC CH -＝9214
-
＝532 ∴BE ′＝HE ′+BH ＝33，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的综合应用题，涉及了旋转的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定等知识点，解题的关键是灵活运用上述知识点进行推理求导．
10、A
【分析】由圆周角定理定理得出∠AOC ，再由等腰三角形的性质得到答案.
【详解】解：∵∠AOC 与∠ADC 分别是弧AC 对的圆心角和圆周角，
∴∠AOC =2∠ADC =66°，
在△CAO 中，AO=CO,
∴∠ACO=∠OAC =
180612
6)57(︒-︒=︒， 故选：A
【点睛】
本题考查了圆周角定理，此题难度不大，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，注意数形结合思想的应用．
11、C
【解析】将（1，1）代入解析式中即可.
【详解】解：将点（1，1）代入解析式得， 21
k =， k ＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是求反比例系数解析式,掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解决此题的关键.
12、A
【分析】由作法得AB AC
=，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ABE，再根据垂径定理的推论得到AD⊥BC，BE＝CE
＝1
2
BC＝4，于是可判断Rt△ABE∽Rt△BDE，然后利用相似比求出AE，从而得到圆的直径和半径．
【详解】解：由作法得AC＝AB，∴AB AC
=，
∴∠ADB＝∠ABE，
∵AB为直径，
∴AD⊥BC，
∴BE＝CE＝1
2
BC＝4，∠BEA＝∠BED＝90°，
而∠BDE＝∠ABE，
∴Rt△ABE∽Rt△BDE，
∴BE：DE＝AE：BE，即4：3＝AE：4，
∴AE＝16
3
，
∴AD＝AE+DE＝16
3
+3＝
25
3
，
∴⊙O的半径长为25
6
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了圆周角定理．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、52或45或1 【详解】如图所示：
①当AP=AE=1时，∵∠BAD=90°，∴△AEP 是等腰直角三角形，∴底边PE=2AE=52；
②当PE=AE=1时，∵BE=AB ﹣AE=8﹣1=3，∠B=90°，∴PB=22PE BE -=4，∴底边
AP=22AB PB +=2284+=45；
③当PA=PE 时，底边AE=1；
综上所述：等腰三角形AEP 的对边长为52或45或1；
故答案为52或45或1．
14、（4039，4039）
【分析】根据抛物线的解析式结合整数点的定义，找出点A n 的坐标为（n ，n 2），设点M n 的坐标为（a ，a ），则以点M n 为顶点的抛物线解析式为y=（x-a ）2+a ，由点A n 的坐标利用待定系数法，即可求出a 值，将其代入点M n 的坐标即可得出结论．
【详解】∵抛物线y ＝x 2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A 1，A 2，A 3，…，A n ，…， ∴点A n 的坐标为（n ，n 2）．
设点M n 的坐标为（a ，a ），则以点M n 为顶点的抛物线解析式为y ＝（x ﹣a ）2+a ，
∵点A n （n ，n 2）在抛物线y ＝（x ﹣a ）2+a 上，
∴n 2＝（n ﹣a ）2+a ，解得：a ＝2n ﹣1或a ＝0（舍去），
∴M n 的坐标为（2n ﹣1，2n ﹣1），
∴M 2020的坐标为（4039，4039）．
故答案为：（4039，4039）．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，根据点A n 的坐标利用待定系数法求出a 值是解题的关键．
15、200
【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.
【详解】解：()()2
22200.50.5404002000.520200s t t t t t =-=--++=--+ 所以当t=20时，该函数有最大值200.
故答案为200.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键.
16、30°或150°
【分析】求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．
【详解】解：圆内接正六边形的边所对的圆心角360°÷6=60°，
圆内接正六边形的一条边所对的弧可能是劣弧，也可能是优弧，
根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
所以圆内接正六边形的一条边所对的圆周角的度数是30°或150°，
故答案为30°或150°．
【点睛】
本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，涉及的知识点有正多边形的中心角、圆周角与圆心角的关系，属于基础题，要注意分两种情况讨论．
17、72
π 【分析】木板转动两次的轨迹如图（见解析）：第一次转动是以点M 为圆心，AM 为半径，圆心角为60度；第二次转动是以点N 为圆心，'NA 为半径，圆心角为90度，根据弧长公式即可求得.
【详解】由题意，木板转动两次的轨迹如图：
（1）第一次转动是以点M 为圆心，AM 为半径，圆心角α为60度，即3πα=
所以弧'AA 的长33r π
απ==⨯=
（2）第二次转动是以点N 为圆心，'NA 为半径，圆心角β为90度，即2πβ=
所以弧'''A A 的长5522r πβπ==
⨯=（其中半径'5NA ==） 所以总长为5722πππ+
= 故答案为7
2
π.
【点睛】
本题考查了图形的翻转、弧长公式（弧长l r α=，其中α是圆心角弧度数，r 为半径），理解图形翻转的轨迹是解题关键.
18、918π-
【分析】连接OD ，求得AB 的长度，可以推知OA 和OD 的长度，然后由角平分线的性质求得∠AOD=90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得，阴影部分的面积=AOD AOD S S -△扇形.
【详解】解：连接OD ，
∵AB 为O 的直径，
∴90ACB ∠=︒，
∵30B ∠=︒，
∴212AB AC ==， ∴162OA OD AB -==， ∵CD 平分ACB ∠，90ACB ∠=︒，
∴45ACD ∠=︒，
∴290AOD ACD ∠=∠=︒，
∴11661822
AOD S OA OD =⋅=⨯⨯=△， ∴22116=944
AOD S OD =π=π⨯π扇形， ∴阴影部分的面积918AOD AOD S S =-π-△扇形．
故答案为：918π-．
【点睛】
本题综合考查了圆周角定理、含30度角的直角三角形以及扇形面积公式．
三、解答题（共78分）
19、（1）4y x =，3y x ；（2）C （-3，0）， S=6；（3）20x -<<或1x >
【分析】（1）根据题意把A 的坐标代入反比例函数k y x
=
的图像与一次函数y x b =+，分别求出k 和b ，从而即可确定反比例函数和一次函数的解析式； （2）由题意先求出C 的坐标，再利用三角形面积公式求出ΔAOC 的面积；
（3）根据函数的图象即可得出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．
【详解】解：（1）将点A （1，4）代入反比例函数k y x
=的图像与一次函数y x b =+，求得4k =以及3b =， 所以反比例函数和一次函数的解析式分别为：4y x =
和3y x ； （2）因为C 在一次函数3y x 的图象上以及x 轴上，所以求得C 坐标为（-3，0），
则有OC=3, ΔAOC 以OC 为底的高为4，所以ΔAOC 的面积为：13462⨯⨯
=； （3）由k x b x
+>可知一次函数的值大于反比例函数的值， 把B （m ，-2）代入4y x
=，得出m=-2，即B （-2，-2）， 此时当20x -<<或1x >时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及利用图象比较函数值的大小，解题的关键是确定交点的坐标．
20、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由∠DAE=∠ABD ，∠ADE=∠BDA ，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ADE ∽△BDA ； （2）由点E 在中线BD 上，可得=DC DE BD DC
，又由∠CDE=∠BDC ，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得△CDE ∽△BDC ，继而证得∠DEC=∠ACB ．
【详解】解：证明：（1）∵∠DAE=∠ABD ，∠ADE=∠BDA ，
∴△ADE ∽△BDA ；
（2）∵D 是AC 边上的中点，
∴AD=DC ，
∵△ADE ∽△BDA ∴
=AD DE BD AD
， ∴=DC DE BD DC ， 又∵∠CDE=∠BDC ，
∴△CDE ∽△BDC ，
∴∠DEC=∠ACB ．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21、（1）见解析；（2）169π（cm 2）．
【分析】（1）根据垂径定理，即可得BC ＝BD ，根据同弧所对的圆周角相等，证出∠BAC ＝∠BCD ，再根据等边对等角，即可得到∠BAC ＝∠ACO ，从而证出∠ACO ＝∠BCD ；
（2）根据垂径定理和勾股定理列出方程，求出圆的半径，即可求出圆的面积.
【详解】解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，
∴BC ＝BD ．
∴∠BAC ＝∠BCD ．
∵OA ＝OC ，
∴∠BAC ＝∠ACO ．
∴∠ACO ＝∠BCD ；
（2）∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，
∴CE ＝12CD ＝12
×24＝12（cm ）． 在Rt △COE 中，设CO 为r ，则OE ＝r ﹣8，
根据勾股定理得：122+（r ﹣8）2＝r 2
解得r ＝1．
∴S ⊙O ＝π×12＝169π（cm 2）．
【点睛】
此题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理推论和求圆的面积，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.
22、解：（1）画图像见解析；（2）①k ＞0时，当x ＜0，y 随x 增大而增大，x ＞0时，y 随x 增大而减小；②k ＜0时，当x ＜0，y 随x 增大而减小，x ＞0时，y 随x 增大而增大．
【分析】（1）分两种情况，当x>0时，66=||y x x =，当x<0时，66=||y x x
=-，进而即可画出函数图象； （2）分两种情况k ＞0时，k ＜0时，分别写出函数||
k y x =的增减性，即可． 【详解】∵当x>0时，66=||y x x =
，当x<0时，66=||y x x =-， ∴函数6||
y x =的图象，如图所示：
（2）①∵k ＞0时，函数||
k y x =的图象是在第一，二象限的双曲线，且关于y 轴对称， ∴k ＞0时，当x ＜0，y 随x 增大而增大，x ＞0时，y 随x 增大而减小；
②∵k ＜0时，函数||
k y x =的图象是在第三，四象限的双曲线，且关于y 轴对称， ∴k ＜0时，当x ＜0，y 随x 增大而减小，x ＞0时，y 随x 增大而增大．
综上所述：k ＞0时，当x ＜0，y 随x 增大而增大，x ＞0时，y 随x 增大而减小；k ＜0时，当x ＜0，y 随x 增大而减小，x ＞0时，y 随x 增大而增大．
【点睛】
本题主要考查用反比例函数的图象和性质研究新函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键． 23、9803980．
【分析】过D 作DH ⊥BA 于H ，在Rt △DAH 中根据三角函数即可求得AH 的长，然后在Rt △DBH 中，求得BH 的长，进而求得BA 的长．
【详解】解：由题意可知AD=（30+5）×28=980，
过D 作DH ⊥BA 于H ．
在Rt △DAH 中，DH=AD•sin60°=980×32=4903， AH=AD ×cos60°=980×
12=490， 在Rt △DBH 中，BH=tan15DH ︒
=4903×（2+3）=1470+9803， ∴BA=BH-AH=（1470+9803）-490=980（1+3）（米）．
答：热气球升空点A 与着火点B 的距离为980（1+3）（米）．
【点睛】
本题主要考查了仰角和俯角的定义，一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的计算．
24、（1）4BN =；（2）见解析.
【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AB 的长度，再根据勾股定理，可求得BC 的长度. 根据圆的直径对应的圆周角为直角，可知DN BC ⊥，根据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，可求得BN 的长.
（2）根据三角形中位线平行于底边，可知//ON BD ，再根据NE AB ⊥，可知ON NE ⊥，则可知NE 与
O 相切.
【详解】（1）连接ON 、DN ， ∴52
r =， ∴25CD r ==．
CD 为Rt ABC △的斜边AB 的中线，由于直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴12
CD AB =
，∴10AB =，∴8BC =， ∴CD 为圆O 的直径．∴90CND ∠=︒，即DN BC ⊥， 由于等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，
∴
1
4
2
BN NC BC
===．
（2）O、N为CD、BC的中点，由于三角形中位线平行于底边，
∴//
ON BD，
∴180
ONE DEN
∠+∠=︒．
90
NED
∠=︒，
∴90
ONE
∠=︒，
即ON NE
⊥．
又ON为半径
∴NE与圆O相切．
【点睛】
本题综合考查“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合”，“三角形中位线平行于底边”等定律，以及圆的切线的判定定理.
25、（1）4；（2）y=2x＋8
3
π－3(0＜34)
【分析】（1）根据圆周角定理得到△AOB是等边三角形，求出⊙O的半径；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H,先求出AH=BH=1
2
AB=2，再利用勾股定理得出OH的值，进而求解.
【详解】（1）解：（1）∵∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，又OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴⊙O的半径是4；
（2）解：过点O作OH⊥AB，垂足为H
则∠OHA ＝∠OHB ＝90°
∵∠APB ＝30°
∴∠AOB ＝2∠APB ＝60°
∵OA=OB ，OH ⊥AB
∴AH=BH=12
AB=2 在Rt △AHO 中，∠AHO ＝90°，AO ＝4，AH ＝2
∴OH 22AO AH -3∴y ＝16
×16 π－12×4×312×4×x =2x ＋83
π－3 (0＜3＋4). 【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
26、（1）4；（2）2
【分析】（1）设AD=x ，根据切线长定理得到AF=AD,BE=BD,CE=CF,根据关系式列得方程解答即可；
（2）连接OD 、OE 、OF 、OA 、OB 、OC ，将△ABC 分为三个三角形：△AOB 、△BOC 、△AOC ，再用面积法求得半径即可.
【详解】解：（1）设 AD x =，
O 分别切 ABC 的三边 AB 、BC 、CA 于点 D 、E 、F ，
AF AD x ∴==，
8BC =，10AC =，6AB =，
6BD BE AB AD x ∴==-=-，10CE CF AC AF x ==-=-，
6108BE CE x x BC ∴+=-+-==，
即 1628x -=，得 4x =，
AD ∴ 的长为 4．
（2）如图，连接OD 、OE 、OF 、OA 、OB 、OC ，
则OD ⊥AB,OE ⊥BC,OF ⊥AC,且OD=OE=OF=2，
∵8BC =，10AC =，6AB =,
∴AB 2+BC 2=AC 2，
∴△ABC 是直角三角形，且∠B 是直角，
∴△ABC 的面积=1111222
2AB OD AC OF BC OE BC AB , ∴11(6810)6822OD , ∴OD=2,即O 的半径长为2.
【点睛】
此题考查圆的性质，切线长定理，利用面积法求得圆的半径，是一道圆的综合题.。