矩阵论之矩阵的分解

矩阵的分解
一、矩阵的三角分解 定义 3.1 设.n n
A F
⨯∈
(1) 若,n n L U F ⨯∈分别为下三角矩阵和上三角矩阵，,A LU =则称A 可作LU 分解。

(2) 若,n n L U F ⨯∈分别是对角线元素为1的下三角矩阵和上三角矩阵，D 为对角矩阵。

,A LDU = 则称A 可作LDU 分解。

用Gauss 消去法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵，若只用第i 行乘以数k 加到第j 行（i j <）型初等变换就能把A 化为上三角矩阵U ，则有下三角形可逆矩阵,P 使
,PA U =从而有LU 分解：1.A P U -=
例1 设223477245A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，求A 的LU 分解和LDU 分解。

解 为求,P 对下面的矩阵做如下行初等变换：
32
23100223100()4
77010031210245001068101223100031210006521A I ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
因此 100223210,031521006P PA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 令1
100223210,031121006L P U -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
则223031.006A L LU ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
再利用初等变换，有
311
2100212103013121600
1A ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
就得到A LDU =
其中 311
210021210,3,0131216001L D U ⎡
⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
一般来说，,LU LDU 分解一般不是惟一的。

下面讨论方阵的LU 和LDU 分解的 存在性和唯一性。

定理 3.1 设(),n n
ij n n A a F ⨯⨯=∈ 则A 有惟一LDU 分解A LDU =的充分必要条件是A 的
顺序主子式
11
1212122201
2......0,1,2,...,;1,......
...
...
...k k k k k kk
a a a a a a k n a a a ∆=
≠=∆=
其中 1
2
1,;1,2,...,...k k k n d d D d k n d -⎡⎤⎢
⎥∆⎢
⎥===⎢⎥∆⎢⎥⎣
⎦
证明：只证充分性：对A 的阶数n 进行归纳证明
11111111,()(1)()(1)n A a a L DU ==== 所以定理对1n =成立，设定理对1n -成立，即 (1)(1)111()ij n n n n n A a L D U -⨯----== 则对,n 将A 分块成
1
n n T
n
nn A A u a τ-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
其中 121,12,1(,,...,),(,,...,),T
T
n n n n n n n n n n a a a u a a a τ--==
设
111100,1001n n n n n n T T n nn n
n A L D V v u a l d τ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 比较两边，则有
1111,n n n n A L D U ----= (3.1)
11n n n n L D v τ--= (3.2)
11T T
n n n n u l D U --= (3.3) 1T nn n n n n a l D v d -=+ (3.4)
由归纳假设（3.1）式成立。

由110,k n n L D --∆≠非奇异，11n n D U --非奇异，从而由(3.2)
式和(3.3)式可惟一确定n v 和T n l . 又从(3.4)式可唯一求得,n d 所以A LDU =分解是存在而
且惟一的。

又由归纳证明过程，A 的k 阶顺序主子式
111111222222211||||||,
||||||||,............
||||||||.
k k k k k k k k A L DU D A L D U D d D A L D U D d D -∆===∆====∆====
所以 1
,1,2,...,.k
k k d k n -∆=
=∆ 推论 可逆矩阵n n
A F ⨯∈有LU 分解的充分必要条件是A 的顺序主子式
0,1,2,..., 1.k k n ∆≠=-
例 2 设123121973431942621A -⎡⎤⎢⎥
--⎢
⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦
，求A 的LDU 分解。

解 1(1)(1)(1)
,A = 由(3.1)—(3.4)式，得到 222222,
2,5,
v l u d τ=====-
所以
22222222
12101012,,,,21210510A L D U A L D U ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=
3123219,343A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
同理求得： 3331231001003210,050,01,53210012001L D U ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
4,A A = 从(3.1)—(3.4)式求得
4441(4,2,1,1),1,(1,1,,1).2
T
T
l d v =-==- 所以
4410001210
05,321012
42111L D ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
412
313
0115100120
001U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
444A L D U =
定义3.2 设矩阵A 有惟一的LDU 分解。

若把A LDU =中的D 和U 结合起来，并且用 U
来表示，就得到唯一的分解
()A L DU LU
== 称为A 的Doolittle 分解.
练习：求矩阵
5240212
142500102A -⎡⎤
⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥--⎢
⎥⎣⎦
的LDU 分解和Doolittle 分解 矩阵的满秩分解 定义 3.2 设m n
A F
⨯∈，秩(A )=r ,若存在秩为r 的矩阵,,m r r n B F C F ⨯⨯∈∈使得
A BC = 则称(3.7)式为矩阵A 的满秩分解。

定理 3.2 对任何非零矩阵,m n A F ⨯∈ 都存在满秩分解。

证明：设秩(),A r =由等价标准形知道存在可逆矩阵,,m n n n P F Q F ⨯⨯∈∈使得 0,00r I PAQ ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦ 即 11
00
0r I A P Q --⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦
分块为 1111(|),.C P B B Q C --⎡⎤
==⎢
⎥⎣⎦
B 为1P -的前r 列组成的矩阵，则,,m r r n B F
C F ⨯⨯∈∈且秩()B =秩()C r =.
111100(|)0000r r
C I I A P Q B B BC C --⎡⎤
⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
分解方法二：若只对A 作行初等变换，可得到阶梯形矩阵：,0C ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
其中秩()C =秩()C =秩
()A r =，因此有可逆矩阵,P 使
,0C PA ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
从而
11(|),00C C A P B B BC -⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
方法是 (|)|,0
m C
A I P ⎡⎤−−−→⎢⎥⎣⎦
行变换
B 为1P -的前r 列，
C 是A 化为阶梯形中的非零行。

A BC =.
例 4 设112022,101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求A 的满秩分解。

解 31
12100
1121001
(|)022********
21010011
000112A I ⎡
⎤
⎢⎥⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎢⎥-⎣
⎦
解得 100
1
121,000
1
121112
C P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎡⎤
⎢⎥==⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦
，1100020,111P -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以，1002,11B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
101120201111A BC ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
方法 3. 我们首先考虑这样的情形：,m n A F ⨯∈ 设秩(),A r = 而且A 的前r 列线性无关，则它们是A 的列向量的极大无关组12{,,...,},r ααα 设112(,,...,),r A ααα= 则秩
11(),.m r A r A F ⨯=∈ 又A 的后n r -列12{,,...,}r r n ααα++可表示为列向量极大无关组的线
性组合，设
212(,,...,)r r n A ααα++=则 21A A S = 其中 ()1
2
(,,...,),r n r r r n
S X
X
X ⨯-++= j X 满足
12(,,...,)j r j X αααα=
因此 1211(|)(|),A A A A A S == 即 1(|),r A A I S = 即1,(|)r B A C I S ==即为满秩分解。

Hermite 标准形是阶梯形中每一行第一个非零元素为1，而且该元素所在的列中其它元
素为0的特殊的一种。

方法三如下：
(1) 用行初等变换把A 化为Hermite 标准形。

(2) 依Hermite 标准形中，向量i e 所在的列的位置为第i j 列，相应取出A 的第i j 列i j α，
得到A 的列向量极大无关组1212{,,...,},(,,...,).r r j j j j j j B αααααα=
(3) A 的Hermite 标准形中非零行构成矩阵C ，得到A 的满秩分解：.A BC = 例 5. 用方法三求例四中A 的满秩分解 解 用行初等变换花A 为Hermite 标准形
112112112101022022011011101011000000A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
则可知：秩()2,A A =的前两列线性无关，取出A 的前两列构成.B 因此
1110102,,.01110B C A BC ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
3.3 矩阵的奇异值分解
定理 3.9 设,m n A C ⨯∈则矩阵H n n
A A C ⨯∈和矩阵H m m
AA C
⨯∈具有如下性质
(1) 秩()A =秩()H A A =秩();H AA (2) H
A A 和H
AA 的非0特征值相等.
(3) H
A A 和H
AA 都是半正定矩阵，当秩()A n =时，H
A A 为正定矩阵，当秩()A m =时，
H AA 为正定矩阵。

定义 3.4 对于,m n
A C
⨯∈秩()A r =
第四章 矩阵的广义逆 定义 4.1 设,n m
A C
⨯∈若存在矩阵,n m B C ⨯∈使得
n BA I =
则称A 是左可逆的，称B 为A 的一个左逆矩阵，记为1
.L A -
若存在矩阵,n m
C C
⨯∈ 使得
m AC I =
则称A 是右可逆的，称C 为A 的一个右逆矩阵，记为1.R A -
定理 4.1 设,m n A C ⨯∈则下面的条件是等价的： (1)A 是左可逆的； (2)A 的零空间()(0};N A =
(3),m n ≥秩(),A n = 即A 的列满秩的； (4)H
A A 是可逆的. 定理 4.2 设m n
A C
⨯∈，则下列条件是等价的：
(1) A 是右可逆的； (2) A 的列空间();m R A C =
(3),m n ≤ 秩(),A m =即A 是行满秩的； (4)H
AA 是可逆的.
例 1 矩阵400050A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
是右可逆的，不是左可逆的。

由于
31321044001010050015c c ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩阵。

一般地，一个矩阵左可逆未必右可逆，而且左逆矩阵和右逆矩阵都不是唯一的。

二、单侧逆与解线性方程组 定理 4.3 设m n
A C
⨯∈是左可逆的，n m
B C
⨯∈是A 的一个左逆矩阵，则线性方程组AX b
=有形如X Bb =的解的充分必要条件是 ()0m I AB b -= 若上式成立，则方程组有唯一解 1()H H
X A A A b -= 定理 4.4 设m n
A C
⨯∈是右可逆的，则线性方程组AX b =对任何m
b C ∈都有解。

且对A 的
任意一个右逆矩阵11
,R R A X A b --=是其解。

特别地，1()H H X A AA b -=是方程组AX b =的
一个解。

4.2 广义逆矩阵 一、减号广义逆
定义 4.2 设,m n A C ⨯∈若存在矩阵,n m G C ⨯∈使得 AGA A = 则称G 为A 的一个减号广义逆或{1}—逆
A 的全部减号广义逆的集合记为{1},{1}A A 的元素用12,,...A A --
表示。

定理4.5 设,m n A C ⨯∈秩()A r =，若存在可逆矩阵m m
P C ⨯∈和,n n Q C ⨯∈使得
0,00r
I PAQ ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
则{1}G A ∈的充分必要条件是
,r I U G Q P V W ⎡⎤=⎢
⎥
⎣⎦
其中()()()(),,r m r n r r n r n r U C V C W C ⨯--⨯-⨯-∈∈∈是任意的。

例 2 设
01302415,45710A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
求A 的减号广义逆。

解 34
0130
1002415010457100011000000001000000010000000
1000A
I I -⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥
--⎡⎤⎢
⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
110002
02
010*******
321115
10
00022013000000100000
1
000⎡
⎤
-⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
于是
115110
2022
20
1301
00,00103210001P Q ⎡⎤
⎡
⎤
--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
-⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
所以A 的减号广义逆为 2,I U G Q P V W ⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
其中212221,,.U C V C W C ⨯⨯⨯∈∈∈ 作业：
求矩阵
02042100036330211441j j j
A j j +⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
(j =的{1}-逆
Moore-Penrose 广义逆
定义4.3 设,m n A C ⨯∈ 若存在矩阵,n m G C ⨯∈ 使得 (1) ;AGA A = (2) ;GAG G =
(3) ();H AG AG =（H 表示共轭转置） (4) ()H
GA GA =.
则称G 为A 的Moore-Penrose 广义逆或加号广义逆，简称为A 的M-P 逆。

A 的任意M-P 逆记为A +
定理 4.7 若矩阵m n
A C
⨯∈存在M-P 广义逆，则A 的M-P 逆是唯一的。

定理 4.8 任意矩阵m n
A C
⨯∈都存在M-P 广义逆A +。

设秩(),A r A =的一个满秩分解为
,,,m r
r n A BC B C C A ⨯⨯=∈∈秩()B =秩()C r =
则
11()()H H H H
A C CC
B B B +--=。

例 6 求矩阵101102221453A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
的M-逆A +
解 首先求得A 的满秩分解为
10101102011114A BC ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
故 1111
()()1
001302410111034200241
1521111141218630H H H H A C CC B B B +----=⎡⎤
⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=
⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
第五章 矩阵分析
5.1 向量范数的概念
定义 5.1 设V 是数域F 上的线性空间，且对于V 的任一个向量x ，对应一个非负实数||||x ，满足以下条件：
(1) 正定性：0,0x x ≥= 当且仅当0;x =
(2) 齐次性：||,ax a x a F =⋅∈
；
(3) 三角不等式：对任何,,x y V ∈
都有.x y x y +≤+
则称x
为向量x 的范数，[;]V ⋅为赋范空间。

例1 在n 维酉空间n
C 上，复向量12(,,...,)n x ξξξ=
的长度
x =
就是一种范数，通常称这种范数为2-范数，记为2
x。

例2 证明 x =max i i x 是n
C 上的一种向量范数。

其中12(,,...,)T T n x x x x C =∈ .通常称这
种范数为∞-范数，记为x ∞。

例3 证明1
n i i x x ==∑ 也是n
C 上的一种范数，其中12(,,...,)T T n x x x x C =∈ ，称这种范数为
1-范数，记为1
x。

例4 证明1/1
()p n p
i i x ξ==∑ 是一种范数，称为向量x 的p 范数或者p l -范数，记为p x 。

线性空间n
V 上的向量
定理 2.1 设x α
和x β
为有限维线性空间V 的任意两个向量范数（它们不限于p -范数），
则存在两个与向量x
无关的常数1c 和2c ，使得下面的不等式成立 12,c x
x
c x x V β
α
β
≤≤∀∈
(2.1)
定义 2.2 满足不等式(2.1)的两种范数称为等价的。

2.2 矩阵的范数
定义 2.3 设,m n A C ⨯∈定义一个实值函数A ，它满足以下三个条件 (1) 非负性：当0A ≠时，0;A >当0A =时，0A =； (2) 齐次性：
A A αα=，;C α∈
(3) 三角不等式：,,m n
A B A B B C ⨯+≤+∈
则称A 为A 的广义矩阵范数 若多,m n n l C C ⨯⨯及m l
C ⨯上的同类广义矩阵范数⋅，有
(4) 相容性：
AB ≤,n l
A B B C ⨯∈
则称A 为A 的矩阵范数。

定义 2.4对于m n
C
⨯上的矩阵范数M
⋅
和m C 与n
C 上的同类向量范数V ⋅，如果
,,m n
n M
V
V
Ax
A x A C x C ⨯≤∀∈∀∈ (2.2)
则称矩阵范数M
⋅
与向量范数V ⋅是相容的。

几种常用的矩阵范数 例 1. 已知 (),n n
ij A a C
⨯=∈下面二函数：
1
,1
,,
max n
ij m i j ij
m i j
A a A n a ∞
===⋅∑
都是n n
C
⨯上的矩阵范数。

定理 2.4 已知m
C 和n
C 上的同类向量范数⋅，设,m n A C ⨯∈则函数 1max x A Ax ==
(2.3)
是m n
C
⨯上的矩阵范数，且与已知的向量范数相容。

并称(2.3)给出的矩阵范数为由向量范数导
出的矩阵范数，简称为从属范数。

定理 2.5 设12(),(,,...,)m n
T
ij n A a C
x ξξξ⨯=∈= ,n C ∈则从属于向量x 的三种范数
1
2
,,x x x ∞
的矩阵范数依次是：
(1) 11
max ;m
j ij
i A a
==∑
（2
）12
A λ=为H A A 的最大特征值； (3) 1max .n
i ij j A a ∞
==∑
通常称12,A A 以及A ∞依次为列和范数，谱范数及行和范数。

矩阵幂级数 定义5.7 设()
()()(),{}k k m n k ij A
a C A ⨯=∈是一个矩阵序列。

如果当k →+∞时，它的2n 个数
列()
{}k ij a 都收敛，即
()
lim ,,1,2,...,.k ij ij k a a i j n →∞
==
则称矩阵序列(){}k A 按元素数列收敛，矩阵()m n
ij A a C ⨯=∈是它的极限。

记为()
lim k k A
A
→∞
=或者()
.k A
A → 如果至少有一个元素数列是发散的，则称该矩阵序列发散。

定义 5.8 设()
{}k A 是n n
C ⨯空间的一个矩阵序列，A 是n n
C
⨯的一个矩阵范数。

如果存在矩
阵,m n
A C
⨯∈当k →+∞时，()0,k A A -→则称矩阵序列按向量范数收敛于.A
定理5.5 设()
{}k A 是m n
C ⨯的一个矩阵序列，它按元素数列收敛的充分必要条件是它按n n
C
⨯的任意一个矩阵范数收敛。

矩阵幂级数 定义 5.10 设,,0,1,2,...,n n
k A C
a C k ⨯∈∈=称
2012......k k a a A a A a A +++++ 为矩阵A 的幂级数，记为
.k k
k a
A ∞
=∑
定义 5.11 矩阵级数
.k k
k a
A ∞
=∑的前1N +项的和0
()N
k N k k S A a A ==∑称为矩阵幂级数的部分
和。

若矩阵幂级数
.k
k
k a
A ∞
=∑的部分和序列{()}N S A 收敛，则称0
k k k a A ∞
=∑收敛；否则，称起
为发散。

若lim (),N N S A S →∞
=则称S 为
k k
k a
A ∞
=∑的和矩阵。

定理 5.8 若复变量z 的幂级数0
k
k k a z
∞
=∑的收敛半径为R ，而方阵n n
A C
⨯∈的谱半径为(),
A ρ则
(1) 当()A R ρ<时，矩阵幂级数
0k k
k a
A ∞
=∑收敛；
(2) 当()A R ρ>时，矩阵幂级数
k k
k a
A ∞
=∑发散。

当计算A 的特征值比较困难时，由定理5.6知A 的每个范数都是谱半径()A ρ的上界，只要能找到一种特殊的矩阵范数,A 使,A R < 便可断定该矩阵幂级数是收敛的。

5.5 矩阵函数
一、矩阵函数的定义和性质
定义 5.12 设()f z 是复变量的解析函数，0
()k
k k f z a z
∞
==
∑的收敛半径为R 。

如果矩阵
n n A C ⨯∈的谱半径为(),A R ρ<则称
()k
k k f A a A
∞
==∑
二、矩阵函数的求法 1. Jordan 标准形法
定理 5.9 设()f z 是复变量z 的解析函数，,n n
A C ⨯∈且存在可逆矩阵,P 使得
1
112(,,...,).m A PJP
Pdiag J J J P --==
则
1112()()[(),(),...,()]m f A Pf J P Pdiag f J f J f J P --== 其中
(1)(2)(3)1
1()'()''()...()2!(1)!
10
()'()...()(2)!
()1
00()...()(3)!...............
0()i i i n i i i i i n i i i i i n i i i i f f f f n f f f n f J f f n f λλλλλλλλλλ---⎡
⎤
⎢⎥
-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
-⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
例 10 已知矩阵
200111113A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
计算A
e 和sin A 。

解 A 的Jordan 标准形为
210020002J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
变换矩阵P 和1
P -分别为
011100101P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 和 1
010111011P -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
且
(2)
'(2)0()0(2)
00
(2)f f f J f f ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
故
1
()()011(2)'(2)
00101000(2)011110100(2)011(2)00'(2)(2_'(2)'(2)'(2)'(2)(2)'(2)f A Pf J P f f f f f f f f f f f f f -=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-+⎣⎦
当()z f z e =时，22(2),'(2),f e f e == 故
22222
20002A
e e e
e e e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦
当()sin f z z =，(2)sin 2,'(2)cos 2,f f ==故
sin 200sin cos 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2A ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-+⎣⎦
2. 最小多项式法
设()A m λ是n 阶矩阵A 的最小多项式，它的次数为m ，若()f λ是()l l m ≥次多项式，以()A m λ去除()f λ，即得
()()()(),A f m q r λλλλ=+
余式()0r λ=或者()r λ的次数低于()A m λ的次数。

因此 ()()()()().A f A m A q A r A r A ===
由此可见，次数大于等于m 的任意矩阵多项式()f A 都可以化为次数小于等于1m -的A 的多项式()r A 来计算。

定理 5.10 设n 阶矩阵A 的最小多项式为
1212()()()...()s n
n
n
A s m λλλλλλλ=--- 其中12,,...,s λλλ为A 的所有不同的特征值，1
,()s
i
i n
m f λ==∑是复变量λ的解析函数，令
1
011()...,m m g c c c λλλ
--=+++
则()()f A g A =的充分必要条件是：
()()()(),1,2,...,,0,1,2,..., 1.j j i i g f i s j n λλ===- 例 10 已知矩阵
200111113A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
计算A
e 和sin A 。

我们用定理5.10提供的方法求解
解：A 的最小多项式为2()(2),m A λλ=-令 01(),g c c λλ=+ 则 01
1
(2)2'(2)f c c f c =+⎧⎨
=⎩
解得01(2)2'(2),'(2),c f f c f =-= 故
01()(2)0
0'(2)(2)'(2)'(2)
.'(2)
'(2)
(2)'(2)f A c I c A
f f f f f f f f f =+⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-+⎣⎦
当()z
f z e =时，2
2
(2),'(2),f e f e ==故
22222
20002A
e e e
e e e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦
当()sin f z z =时，(2)sin 2,'(2)cos 2f f ==，故
sin 200sin cos 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-+⎣⎦
第六章 特征值的估计及对称矩阵的极性
一、特征值的界
定理 6.1 设(),n n
rs A a R ⨯=∈令1,1
max
.2
rs sr r s n M a a ≤≤=-若λ表示A 的任一特征值，则λ的
虚部Im()λ满足不等式
Im()λ≤ (6.1) 引理：设,n n A C ⨯∈则A 的任一特征值λ满足 m A
λ∞
≤
1
Re()2
1
Im()2
H m H
m A A A A λλ∞
∞
≤
+≤-
定义 5.1 设()n n
ij A a C
⨯=∈，记1()n
r rs
s s r
R A a
=≠=
∑（简写为r R ），1
,2,..r n =如果
(1,2,...,),
r r r a R r n >=则称矩阵A 按行严格对角占优；如果(1,2,...,),rr r a R r n ≥=且有01r n ≤≤使得000r r r a R >成立，则称矩阵A 按行（弱）对角占优。

同样可以定义按列对角占优。

定理 5.3 设(),n n
rs A a C ⨯=∈ 令1
1
,.n
N
r rr rs r rr rs s r s r M a a m a a =+=+=+
=-
∑
∑
如果A 按行严
格对角占优，则 1
1
1
0det ()n
n n
r
r r r i r m
A A M λ===<
≤=≤∏∏∏ (6.5)
且当0()rs a s r =>时，式(6.5)中等号成立。

定理 5.4（Hadamard’s inequality ）设(),n n rs A a C ⨯=∈则有
21/21
1
1
()det [()]n n n
r
rs
r r s A A a
λ====≤∑∏∏ (6.7)
且式(6.7)中等号成立的充分必要条件是某00s a =或者(,)0().r s a a r s =≠这里12,,...,n a a a 表示A 的n 个列向量。

定理 5.5 （Schur’s inequality ）设()n n
rs A a C
⨯=∈的特征值为12,,...,,n λλλ则有
2
2
1
,1
n
n
r rs F r r s a A λ==≤=∑∑ (6.9)
定义5.3 设(),n n
rs A a C
⨯=∈称由不等式
ii i z a R -≤ (6.10)
在复平面上确定的区域为矩阵A 的第i 个Gerschgorin 圆（盖尔圆），并用记号i G 来表示。

其中
1
()n
i i ij
j j i
R R A a
=≠==
∑ (6.11)
称为盖尔圆i G 的半径（1,2,...,i n =）
定理 5.7 (Gerschgorin) 由矩阵A 的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，如果它是由k 个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有且仅有A 的k 个特征值（盖尔圆相同时重复记数，特征值相同时也重复计数）
下面应用盖尔圆定理研究矩阵特征值的隔离问题。

设(),n n
ij A a C ⨯=∈构造对角矩阵
12(,,...,)n D diag a a a = 其中12,,...,n a a a 都是正数。

由于 1
i ij j n n
a B DAD
a a -⨯⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭ (6.12) 相似于A ，所以B 与A 的特征值集合相同。

注意到B 与A 的主对角线元素对应相等。

于是有下面的推论。

推论 若将(6.10)中的i R 改作 1n
i
i ij
j j
j i
a r a a =≠=
∑ 则定理 5.6和5.7的结论仍然成立。

例 5.7隔离矩阵
2050.841011210A j ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
的特征值。

解 A 的三个盖尔圆为
123:20 5.8
:105
:103
G z G z G z j -≤-≤-≤
1G 与2G 相交；而3G 孤立，其中恰好有A 的一个特征值，记做3λ。

根据式(6.12),选取
(1,1,2)D diag =
则
1
2050.44100.52410B DAD j -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的三个盖尔圆为
'1'
2'3:20 5.4
:10 4.5:106
G z G z G z j -≤-≤-≤
易见，这是三个孤立的盖尔圆，每个盖尔圆中恰好有B 的（也是A 的）一个特征值。

注意'3G 中的特征值就是3G 中的特征值3λ，所以A 的三个特征值分别位于''12,G G 和3G 之中。

定理 5.8 设
练习：应用Gerschgorin 定理，隔离矩阵
20312102810A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的特征值；再应用实矩阵特征值的性质，改进得出的结果。