一元二次不等式的应用 课件

整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0＜x＜1)．(6分)
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
y－12－10×10 000＞0， 0＜x＜1，
即
－6 000x2＋2 000x＞0， 0＜x＜1，
解得 0＜x＜13，
所以投入成本增加的比例应在0，13范围内．(12 分)
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k＜x1≤x2 x1＜k＜x2
Δ≥0 xx1＋ 1－xk2＞ ·2k x2－k＞0
Δ＞0 x1－k· x2－k＜0
Δ＞0 fk＞0 －2ba＞k
f(k)＜0
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x1、x2∈ (k1，k2) k1＜x1＜k2 ＜x2＜k3
(4)gfxx≤0⇔fgxx·≠gx0.≤0，
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题型二 二次方程根的分布问题
【例2】 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区 间(1,2)内，求m的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围． [思路探索] 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意 图，然后用函数性质加以限制．
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y＝2 400m(1＋2x%)(8－x)%
＝－1225m(x2＋42x－400)(0<x≤8)， 所以y≥2 400m×8%×78%， 即－44≤x≤2. 又0<x≤8，所以0<x≤2. 所以x的取值范围是0<x≤2.
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方法技巧 转化与化归思想在不等式中的应用
一元一次不等式组．
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解 (1)xx－ ＋32<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． (2)∵2xx＋－13≤1，∴2xx＋－13－1≤0， ∴－2xx－＋34≤0，即xx－ －234≥0. 此不等式等价于(x－4)x－32≥0 且 x－32≠0， 解得 x<23或 x≥4.

_Δ_<_0_.___
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： k≥f(x)(k>f(x))恒成立⇔k≥f(x)max(k>f(x)max)； k≤f(x)(k<f(x))恒成立⇔k≤f(x)min(k<f(x)min)．
：不等式x2＋x＋k>0恒成立时，试求k的取值范围． 提示：由题意知 Δ<0，即 1－4k<0，
分式不等式的解法 先整理成标准型gfxx>0(<0)或gfxx≥0(≤0)，再化成整式不等 式来解； (1)gfxx>0⇔f(x)·g(x)>0； (2)gfxx<0⇔f(x)·g(x)<0； (3)gfxx≥0⇔fgxx·≠gx0；≥0，
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题型四 一元二次不等式的简单应用
【例4】 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/ 辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年 度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投 入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)， 则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量 增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成 本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的 关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成 本增加的比例x应在什么范围内？
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【题后反思】 不等式应用题常以函数、数列为背景出现， 多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要 涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应 用题的关键．
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【变式4】 国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t．按 规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为 8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的 收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能 增加2x个百分点，试确定x的取值范围．使税率调低后，国 家此项税收总收入不低于原计划的78%. 解 “税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8－x)%； “收购量能增加2x个百分点”时，总收购量为m(1＋2x%)t， 总收购款为2 400m(1＋2x%)元； “总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收 入≥2 400m×8%×78%. 设税率调低后的“税收总收入”为y元，
解 (1)由条件，抛物线f(x)＝x2 ＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别 在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1) 所示，得
(1)课前探究学习源自课堂讲练互动f0＝2m＋1＜0， f－1＝2＞0， f1＝4m＋2＜0， f2＝6m＋5＞0.
m＜－12， m∈R， ⇒m＜－12， m＞－56.
∴k>14，即 k∈14，＋∞.
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名师点睛
一元二次方程根的分布
设x1，x2的实系数二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实 根，f(x)＝ax2＋bx＋c，则x1，x2的分布范围与方程系数之 间的关系如下表所示：
根的分布
图象
等价条件Ⅰ 等价条件Ⅱ
0＜x1≤x2
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∵函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋43在[1,3]上的最小值为67，
∴只需 m<67即可． 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理
方法有二： ①考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函 数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参量的不等 式； ②若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一 次、一元二次函数)，并结合图象建立参量的不等式求解．
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∴原不等式的解集为xx<23或x≥4

.

(3)由21x－＋x1<0 得xx－＋121>0，
此不等式等价于x＋12(x－1)>0，
解得 x<－21或 x>1，
∴原不等式的解集为xx<－21或x>1

.

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解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的 二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的 不等式及不等式组，进而求解．
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题型三 不等式的恒成立问题
【例3】 (2012·抚顺六校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围． (2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． [思路探索] 解答本题的关键是根据题目条件，构造恰当的 函数，将不等式问题转化为函数问题来处理． 解 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，若 m＝0，显然－1<0.
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∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得 m<6， ∴m<0. 综上所述：m<67. 法二 当 x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5 恒成立， 即当 x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0 恒成立． ∵x2－x＋1＝x－122＋34>0， 又 m(x2－x＋1)－6<0，∴m<x2－6x＋1.
Δ≥ x1＋x2＞0 x1·x2＞0
Δ≥0 f0＞0 －2ba＞0
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x1＜0＜x2 x1≤x2＜k
Δ＞0 x1x2＜0
f(0)＜0
Δ≥0 xx1＋1－xk2＜·2k x2－k＞0
Δ≥0 fk＞0 －2ba＜k
第2课时 一元二次不等式的应用
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自学导引
1．简单的分式不等式的解法
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2．一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为 R 的情况，即 ax2＋bx a>0，
＋c>0(a≠0)恒成立⇔_Δ__<_0_. ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ a<0，
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审题指导 (1)依据“年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售
量”写出；(2)年利润有增加，即y－(12－10)×10 000＞0，
解此不等式即可得x的范围．
[规范解答] (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10
000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
若 m≠0，mΔ＝<0m，2＋4m<0 ⇒－4<m<0.
∴－4<m≤0.
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(2)法一 要使 f(x)<－m＋5 在 x∈[1,3]上恒成立． 就要使 mx－122＋43m－6<0 在 x∈[1,3]上恒成立． 令 g(x)＝mx－212＋43m－6，x∈[1,3]． 当 m>0 时，g(x)是增函数， ∴g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0， ∴0<m<67； 当 m＝0 时，－6<0 恒成立； 当 m<0 时，g(x)是减函数，
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f1≤0 1＋m＋4≤0
m≤－5
则有
⇔
⇔
⇔m≤－5.
f2≤0 4＋2m＋4≤0 m≤－4
答案 (－∞，－5]
方法点评 熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能、基本 方法是转化的基础；丰富的联想、认真仔细的观察、比 较、类比是实现转化的桥梁；“抓基础，重转化”是学好 中学数学的金钥匙．
即－56＜m＜－12.
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(2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示
f0＞0， 列不等式组Δf≥1＞0，0，
0＜－m＜1.
m＞－12，
⇒m＞－12，
(2)
m≥1＋ 2或m≤1－ 2，
－1＜m＜0.
即－12＜m≤1－ 2.
运用转化与化归思想可以把分式不等式化成整式不 等式(组)，把高次化成低次，把超越不等式化为代数不等 式，把恒成立问题转化为求最值问题等．在转化过程中要 注意问题的等价性． 【示例】当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则m的取 值范围是________． [思路分析] 记f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，只要f(x)max≤0 即可，问题转化为求二次函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2] 的最值问题． 解析 构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2] 上的最大值为f(1)或f(2)． 由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
Δ≥0 fk1＞0 fk2＞0 k1＜－2ba ＜k2
fk1＞0 fk2＜0 fk3＞0
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题型一
【例1】 解下列不等式： (1)xx－＋32<0；
分式不等式的解法
(2)2xx＋－13≤1；
2x＋1 (3) 1－x <0. [思路探索] 将分式不等式等价转化为一元二次不等式或