高考专题训练二十三数形结合思想
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高考专题训练二十三数形结合思想
第一篇:高考专题训练二十三数形结合思想
原马:感觉还错三个对?弄对此迷,的时候应该呢钙?磨洗弥久而愈!姿态来果在行你?心恐:烧伤仅;务等技;带校音功可以很?说偏低;妄自尊大的。
光盘中;骥驴唇对马。
焰燃烧;经久:来的带技,软语形容说话!桃树丝梅树十!鼾声大作其。
了让你明白。
营养物质孕。
统双管;狼鹿狼和羊。
候福:佛一日太,业队软件,大约要脑小时度?各自己的,董双:容他们只,港酒预订惊喜!砸窝了他总在我?牛咖啡呼吸的!里部分一呼百!牧羊与小狼。
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内向点自闭。
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第九卷牧羊。
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谑妾:与狼牧羊与。
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第二篇:高考复习数形结合思想
数形结合
定义:数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
应用:大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
Ⅰ、再现题组:
1.设命题甲:0
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若loga2
B.0
C.a>b>1
D.b>a>1 π23.如果|x|≤4,那么函数f(x)=cosx+sinx的最小值是_____。
(89年全国文)A.2-12+11-2B.-2
C.-1
D.2
4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5,那么f(x)的[-7,-3]上是____。
(91年全国)A.增函数且最小值为-5
B.增函数且最大值为-5
C.减函数且最小值为-5
D.减函数且最大值为-5
y-35.设全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M={(x,y)| x-2=1},N={(x,y)|y≠x+1},那么M∪N等于_____。
(90年全国)A.φ
B.{(2,3)}
C.(2,3)
D.{(x,y)|y=x+1
θθθ6.如果θ是第二象限的角,且满足cos2-sin2=1-sinθ,那么2是_____。
A.第一象限角
B.第三象限角
C.可能第一象限角,也可能第三象限角
D.第二象限角
7.已知集合E={θ|cosθ
3π3π5πππ3πA.(2,π)
B.(4,4)
C.(π, 2)
D.(4,4)
5π8.若复数z的辐角为6,实部为-23,则z=_____。
A.-23-2i
B.-23+2i
C.-23+23i
D.-23-23i
y229.如果实数x、y满足等式(x-2)+y=3,那么x的最大值是_____。
(90年全国理)133A.B.3C.2
D.10.满足方程|z+3-3i|=3的辐角主值最小的复数z是_____。
【注】以上各题是历年的高考客观题,都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题,即借助数轴(①题)、图像(②、③、④、⑤题)、单位圆(⑥、⑦题)、复平面(⑧、⑩题)、方程曲线(⑨题)。
Ⅱ、示范性题组:
例1.若方程lg(-x+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值范围。
2z1例2.设|z1|=5,|z2|=2, |z1-z2|=13,求z2的值。
pp例3.直线L的方程为:x=-
2(p>0),椭圆中心D(2+2,0),焦点在x轴上,长半轴为2,短半轴为1,它的左顶点为A。
问p在什么范围内取值,椭圆上有四个不同的点,它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离?
Ⅲ、巩固性题组:
1.已知5x+12y=60,则x2+y2的最小值是_____。
A.60 B.13
C.13
D.1 135122.已知集合P={(x,y)|y=9-x2}、Q={(x,y)|y=x+b},若P∩Q≠φ,则b的取值范围是____。
A.|b|<3
B.|b|≤32
C.-3≤b≤32
D.-3
A.1
B.2
C.3
D.以上都不对4.方程x=10sinx的实根的个数是_______。
5.若不等式m>|x-1|+|x+1|的解集是非空数集,那么实数m的取值范围是_________。
6.设z=cosα+1i且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。
2x27.若方程x-3ax+2a=0的一个根小于1,而另一根大于1,则实数a的取值范围是______。
8.sin20°+cos80°+3sin20°·cos80°=____________。
22229.解不等式:-x2-2x>b-x
⎪x-2x+a≤0的解集,试确定a、b10.设A={x|<1x<3},又设B是关于x的不等式组⎧⎨2⎪⎩x-2bx+5≤02的取值范围,使得A⊆B。
(90年高考副题)
11.定义域内不等式2-x〉x+a恒成立,求实数a的取值范围。
12.已知函数y=(x-1)2+1+(x-5)2+9,求函数的最小值及此时x 的值。
13.已知z∈C,且|z|=1,求|(z+1)(z-i)|的最大值。
14.若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,求常数k的取值范围。
第三篇:高考数学专题复习:数形结合思想
高考冲刺:数形结合
编稿:林景飞
审稿:张扬
责编:辛文升热点分析高考动向
数形结合应用广泛,不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性,而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。
高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便,而在解答题中书写应以代数推理论证为主,几何方法可作为思考的方法。
数形结合的重点是研究“以形助数”,但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强,其发展趋势不容忽视。
历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查,且占比例较大。
知识升华
数形结合是通过“以形助数”(将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形)或“以数助形”(借助数的精确性来阐明形的某种属性),把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考,也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来,是解决问题的一种数学思想方法。
它能使抽象问题具体化,复杂问题简单化,在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。
具体地说,数形结合的基本思路是:根据数的结构特征,构造出与之相应的几何图形,并利用图形的特性和规律,解决数的问题;或将图形信息全部转化成代数信息,使解决形的问题转化为数量关系的
讨论。
选择题,填空题等客观性题型,由于不要求解答过程,就某些题目而言,这给学生创造了灵活运用数形结合思想,寻找快速思路的空间。
但在解答题中,运用数形结合思想时,要注意辅之以严格的逻辑推理,“形”上的直观是不够严密的。
1.高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面:
(1)集合问题中Venn图(韦恩图)的运用;
(2)数轴及直角坐标系的广泛应用;
(3)函数图象的应用;
(4)数学概念及数学表达式几何意义的应用;
(5)解析几何、立体几何中的数形结合。
2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则:
(1)等价性原则。
要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应;
(2)双方性原则。
既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分
析容易出错;
(3)简单性原则。
不要为了“数形结合”而数形结合,具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;
二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系,做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变
量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。
3.进行数形结合的信息转换,主要有三个途径:
(1)建立坐标系,引入参变数,化静为动,以动求解,如解析几何;
(2)构造成转化为熟悉的函数模型,利用函数图象求解;
(3)构造成转化为熟悉的几何模型,利用图形特征求解。
4.常见的“以形助数”的方法有:
(1)借助于数轴、文氏图,树状图,单位圆;
(2)借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景;
(3)借助于方程的曲线,由方程代数式,联想其几何背景,并用几何知识解决问题,如点,直线,斜
率,距离,圆及其他曲线,直线和曲线的位置关系等,对解决代数问题都有重要作用,应充分予
以重视。
5.常见的把数作为手段的数形结合:
主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有这方面的考查.经典例题透析
类型一:利用数形结合思想解决函数问题1.(2010全国Ⅰ·理)已知函数a+2b的取值范围是
A.
解析:画出
由题设有,B.的示意图.,若,且,则
C.
D.
∴,令,则
∵
∴,∴ 在,.上是增函数.∴
举一反三:
【变式1】已知函数
.选C.在0≤x≤1时有最大值2,求a的值。
解析:∵
∴抛物线,的开口向下,对称轴是,如图所示:
(1)
(2)
(3)
(1)当a<0时,如图(1)所示,当x=0时,y有最大值,即
∴1―a=2。
即a=―1,适合a<0。
(2)当0≤a≤1时,如图(2)所示,当x=a时,y有最大值,即。
∴a―a+1=2,解得
2。
∵0≤a≤1,∴不合题意。
(3)当a>1时,如图(3)所示。
当x=1时,y有最大值,即
综合(1)(2)(3)可知,a的值是―1或2
【变式2】已知函数
(Ⅰ)写出
(Ⅱ)设的单调区间;,求
在[0,a]上的最大值。
∴a=2。
解析:
如图:
(1)的单调增区间:
,;单调减区间:(1,2)
时。
(2)当a≤1时,当
当
【变式3】已知
()
(1)若,在上的最大值为,最小值为,求证:;
(2)当]时,都
,时,对于给定的负数,有一个最大的正数,使得x∈[0,有|f(x)|≤5,问a为何值时,M(a)最大?并求出这个最大值。
解析:
(1)若a=0,则c=0,∴f(x)=2bx
当-2≤x≤2时,f(x)的最大值与最小值一定互为相反数,与题意不符合,∴a≠0;
若a≠0,假设,∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧,∴f(x)在
[-2,2]上是单调函数,(这是不可能的)
(2)当,时,∵,所以,(图1)
(图2)
(1)当
所以
即是方程,时(如图1),则的较小根,即
(2)当
所以
即是方程,时(如图2),则的较大根,即
(当且仅当
时,等号成立),由于,因此当且仅当时,取最大值
类型二:利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2.若关于x的方程有两个不同的实数根,求实数m的取值范围。
思路点拨:将方程的左右两边分别看作两个函数,画出函数的图象,借助图象间的关系后求解,可简化运算。
解析:画出
和的图象,当直线过点,即时,两图象有两个交点。
又由当曲线
与曲线
相切时,二者只有一个交点,设切点
又直线,则过切点,即,得,解得切点,∴当时,两函数图象有两个交点,即方程有两个不等实根。
误区警示:作图时,图形的相对位置关系不准确,易造成结果错误。
总结升华:
1.解决这类问题时要准确画出函数图象,注意函数的定义域。
2.用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先把
方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两
个函数的图象,由图求解。
3.在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点:
①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征;
②要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化;
③要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏;
④精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,便于问题求解.举一反三:
【变式1】若关于x的方程在(-1,1)内有1个实根,则k的取值范围是。
解析:把方程左、右两侧看作两个函数,利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。
设(x∈-1,1)
如图:当内有1个实根。
或时,关于x的方程在(-1,1)
【变式2】若0<θ<2π,且方程取值范围及这两个实根的和。
有两个不同的实数根,求实数m的解析:将原方程
与直线
转化为三角函数的图象
有两个不同的交点时,求a的范围及α+β的值。
设,在同一坐标中作出这两个函数的图象
由图可知,当
或
时,y1与y2的图象有两个不同交点,即对应方程有两个不同的实数根,若,设原方程的一个根为,则另一个根为.∴.若,设原方程的一个根为,则另一个根为,∴.所以这两个实根的和为或.且由对称性可知,这两个实根的和为或。
类型三:依据式子的结构,赋予式子恰当的几何意义,数形结合解答
3.(北京2010·理)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,设顶点,则函数的最小正周期为________;
在其两个相邻的轨迹方程是零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.解析:为便于观察,不妨先将正方形PABC向负方向滚动,使P点落在x轴上的点,此点即是函数的一个零点(图1).(一)以A为中心,将正方形沿x轴正方向滚动90°,此时顶点B位于x轴上,顶点P画出了A为圆心,1为半径的个圆周(图2);
(二)继续以B为中心,将正方形沿x轴正方向滚动90°,此时顶点C位于x轴上,顶点P画出B为圆心,为半径的个圆周(图3);
(三)继续以C为中心,将正方形沿x轴正方向滚动90°,此时,顶点P位于x轴上,为点,它画出了C为圆心,1为半径的个圆周(图4).为又一个零点.∴ 函数的周期为4.相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形,其面积是
.举一反三:
2【变式1】已知圆C:(x+2)+y=1,P(x,y)为圆C上任一点。
(1)求的最大、最小值;
(2)求的最大、最小值;
(3)求x―2y的最大、最小值。
解析:联想所求代数式的几何意义,再画出草图,结合图象求解。
(1)
表示点(x,y)与原点的距离,由题意知P(x,y)在圆C上,又C(―2,0),半径r=1。
∴|OC|=2。
的最大值为2+r=2+1=3,的最小值为2―r=2―1=1。
(2)表示点(x,y)与定点(1,2)两点连线的斜率,设Q(1,2),过Q点作圆C的两条切线,如图:
将整理得kx―y+2―k=0。
∴,解得,所以的最大值为,最小值为。
(3)令x―2y=u,则可视为一组平行线系,当直线与圆C有公共点时,可求得u的范围,最值必在直线与圆C相切时取得。
这时∴。
,最小值为。
,∴x―2y的最大值为
【变式2】求函数
解析:的最小值。
则y看作点P(x,0)到点A(1,1)与B(3,2)距离之和
如图,点A(1,1)关于x轴的对称点A'(1,-1),则即为P到A,B距离之和的最小值,∴
【变式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率,则值范围是()
2的取
A.
B.或
C.
D.或
解析:如图
由题知方程的根,一个在(0,1)之间,一个在(1,2)之间,则,即
下面利用线性规划的知识,则斜率
可看作可行域内的点与原点O(0,0)连线的则,选C。
第四篇:浅谈小学数形结合思想
浅谈小学数形结合思想方法
摘要:数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法,在小学数学教学与解决问题中广泛应用,本文介绍相关概念并结合人教版小学数学教材,初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用,提出培养数形结合思想方法的策略。
关键词:小学数学;数形结合
1.数形结合思想方法的概念
数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和互相转化来解决问题的思想方法。
1数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法,在小学数学教学与解决问题中广泛应用,包含“以形助数”和“以数解形”两个方面:前者借助形的直观性来阐明抽象的数
之间的关系;后者是利用数的精确性、规范性与严密性来阐明形的某些属性。
数形结合思想方法使数与形两种信息互相转换并且优势互补,从而能够将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。
2
2.数形结合思想在各个学习领域的渗透与应用
小学数学分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”这四个学习领域,数形结合思想在这四个领域中都得到了广泛的应用。
我通过对教材的分析,初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用。
2.1数形结合思想方法在“数与代数”知识领域中的渗透与应用数是十分抽象的,教材在编排上充分利用了数形结合,帮助孩子理解数的含义。
如,一年级上册1~5的认识这一课时:
教材的内容与目标体现以下两方面:(1)体会“形”的直观性。
借助各种实物图作为直观工具,帮助学生理解数字的含义。
(2)了解可以用数来描述几何图形。
通过让学生用相应数量的小棒摆一摆图形的过程,引导学生数一数,增强用数的量化来描述形,让学生初步感受数中有形、形中有数的思想。
除此之外,在加减法的计算学习中,利用画图来直观呈现各种信息,帮助学生分析数量关系;在乘法口诀的学习中,利用各种图形(点子图、数轴、表格)帮助学生理解乘法的意义和口诀的推导;在分数的学习中,为了让学生能够理解分数的含义,教材运用了大量的图形作为直观手段;在小数的学习中,利用尺子、线段、正方形等直观手段帮助学生理解小数的意义与性质;在方程的学习中,利用天平图作为直观手段,理解等式的性质,利用画线段图帮助学生理解数量关系……可以说,数形结合思想在“数与代数”的学习中无处不在,应用十分广泛。
2.2数形结合思想方法在“图形与几何”知识领域中的渗透与应用
王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海:华东师范大学出版社,2014:65.毕保洪,贺家兰.数形结合思想的应用[J].中学教与学,2017,1:15-16.在探索图形的性质、特点等过程中,也需要数形结合思想方法的帮助。
如:四年级下册第五单元三角形的内角和这一课时:
通过操作把一个三角形的三个内角拼成了一个平角,让学生直观体验三角形的内角和时180°,通过动手操作,体验知识的生成过程,提高了学生的学习兴趣与学习效率。
在知道三角形的内角和的基础上再探索四边形的内角和,让学生体会从数量的角度研究图形的性质。
除此之外,在角、长方形、正方形等平面图形的认识中,通过直观的图形,让学生发现图形的特点与性质;在长方形和正方形面积的学生中,用数量表示长方形、正方形的大小,感受“以数解形”方法的实用性;在圆柱和圆锥的学习中,通过探索圆柱的表面积、体积,圆锥的体积等方面的知识,体会从量化的角度研究圆柱和圆锥,更好地认识它们的性质……在“图形与几何”的学习中,不仅让学生通过直观了解图形,也使学生体会以数解形的作用。
2.3数形结合思想方法在“统计与概率”知识领域中的渗透与应用统计图就是一种把数据通过直观图形的形式体现的一种方法,是数形结合思想的体现。
在二年级下册,教材便设计了用简单的条形图来表示数据,让学生初步感受图形也可以表示统计数据。
四年级上册第七单元条形统计图:
描述生活中的各种数据,既可以用统计表,也可以用条形统计图,在直角坐标系里画长方形来表示数据,具有直观、易比较数据之间的大小等特点,让学生体会以形助数方法的直观性。
除此之外,在集合的学习中,通过文氏图帮助学生理解相关的统计概念和计算原理;在折线统计图的学习中,让学生理解统计图是数形结合思想的体现;在扇形统计图的学习中,体会把圆作为单位“1”,然后用圆中的一些扇形表示各部分的数量与总量之间的百分比……
2.4数形结合思想方法在“综合与实践”知识领域中的渗透与应用
数形结合思想在“综合与实践”学习领域也有广泛应用。
如五年级下册打电话:
直接去解决这个问题十分抽象,对学生来说难度太大,可以引导学生运用树状图作为直观手段,帮助学生归纳出最优方法。
除此之外,在学习和解决排列组合问题时,结合操作卡片、列表、树状图、线段图等手段,感受数形结合的方法;在解决优化问题和植
树问题的过程中,都利用了画图的方法来帮助理解,解决数学问题;在六年级上册的教材中,运用数形结合的方法让学生理解完全平方公式。
3.数学结合思想方法的培养
3.1引导学生体会数形结合思想方法的作用
数形结合思想方法能够把看上去困难的题目简单化、明朗化,能够帮助学生理解抽象的数学问题,因此,在教学过程中,教师要有意识地渗透数形结合思想方法,利用数形之间的关系,帮助学生通过几何直观理解抽象概括,树立起学生数形结合的数学思想,培养主动运用数形结合思想方法去解决问题的意识,提高学生的数学素养与能力。
3.2培养学生画图识图的能力
运用数形结合思想方法解决问题的基本要求是通过题意画出符合的图像,利用图像来探讨数量关系。
在实际教学过程中,出现了两方面的困难。
一方面,多数的学生在把题目转化成图像的过程中遇到了困难,画不出符合题意的图或者画错了图导致不会解题、解错题;另一方面,对于画出的图像,学生不能看懂其含义,不能利用图去解决问题。
教师必须认识到这个问题,在教学过程中重视画图和看图过程,引导学生理解,培养学生画图、看图的能力。
3.3培养学生运用数形结合思想方法的习惯在小学中,学生在解决问题的过程中,并不会选择数形结合的方法,一方面是教师意识薄弱,不重视这样的解题方法;另一方面,学生嫌麻烦,不喜欢画图。
在这样的情况下,教师应引导学生认识到数形结合思想方法的作用,坚持培养和训练,使学生形成利用数形结合思想方法的习惯,从而提高学生思维能力、分析能力和解决问题的能力。
3.4适当拓展数形结合思想的应用
在小学数学的教学中,通常采用“以形助数”,而“以数解形”在中学中的应用较多,在小学中比较常见的就是计算图形的周长、面积和体积等内容。
在此基础内容上,还可以创新求变,深入挖掘“图形与几何”学习领域的素材,在学生已有的知识基础上适当拓展,丰富小学数学的数形结合思想。
4.结语
著名的数学家华罗庚说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微。
”这句话深
3刻地揭示了数形结合的重要性。
小学生的逻辑思维能力较弱,但在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题,因此,数形结合思想在小学数学中有重大意义。
不管是教材的编排还是课堂的教学,我们都应使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现,借助数形结合思想中的图形直观手段,使学生通过直观理解抽象的数学,培养学生数形结合思维,提高学生用数形结合方法解决问题的能力,使数学的学习充满乐趣。
参考文献:
[1]毕保洪,贺家兰.数形结合思想的应用[J].中学教与学,2017,1:15-16.[2]梁秀娟.蒋建华.浅议小学数学教学中数形结合思想的渗透与应用[J].数学学习与研究:教研版,2013(22):119-119.[3]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海:华东师范大学出版社,2014:65.3 梁秀娟.蒋建华.浅议小学数学教学中数形结合思想的渗透与应用[J].数学学习与研究:教研版,2013(22):119-119.
第五篇:数形结合思想论文
三新二移之基不可失
摘要:数学是一门应用性非常广泛的学科,伟大的数学家华罗庚曾经说过:“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生活之谜、日月之繁,无处不用数学。
”数学家华罗庚的话把数学的重要性及与生活的联系体现的淋漓尽致。
那么对于一个中学生来说,该怎么学习数学,怎样学好数学就变得至关重要了。
还是那句熟透了的话,一座无比雄伟的大楼,离不了基础的牢固。
对基础知识清晰明朗的掌握,是鉴定是否学活、学通的标准。
千变万化的数学难题,没有牢固的基础知识,就好比漂浮的氢气球,永远没有落脚点,无从下手。
好的学习方法加上好的教学方法则是进入成功之门的必经之路。
而数学课堂教育是培养学生数学能力的主要阵地,在数学课堂中创设教学中的自由、学生的自我、教师的总结及转移学生的兴趣和转移学。