2013-2014第二学期数理金融期末试卷

13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题(A ）
注意事项：1。

适用班级：11数学与应用数学本1。

本2，2013数学（升本）
2.本试卷共1页.满分100分。

3.考试时间120分钟。

4。

考试方式：闭卷
一、选择题（每小题3分,共15分）
1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成，它们的预期收益率分别为10％、16％、20％ 它们在组合中的比例分别为30%、30％、40%，则该证券组合的预期收益率为______ A 15.3％ B 15.8% C 14。

7％ D 15。

0％
2．无风险收益率和市场期望收益率分别是0。

06和0.12。

根据CAPM 模型，贝塔值为1。

2的证券X 的期望收益率为
A 0.06
B 0.144
C 0.12
D 0。

132
3．无风险收益率为0.07，市场期望收益率为 0.15.证券X 的预期收益率为 0。

12,贝塔值为1。

3。

那么你应该
A 买入X ，因为它被高估了；
B 卖空X,因为它被高估了
C 卖空X,因为它被低估了；
D 买入X ，因为它被低估了 4。

一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行？ A 执行价格比股票价格高; B 执行价格比股票价格低
C 执行价格与股票价格相等;
D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格
5。

假定IBM 公司的股价是每股95美元。

一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元,期权价格为5美元.忽略委托佣金,看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元 二、填空题（每小题3分，共15分） 1。

风险厌恶型投资者的效用函数为 2。

设一投资者的效用函数为()
ax
u x e
，则其绝对风险厌恶函数()
A
x
3。

均值—方差投资组合选择模型是由 提出的。

4。

可以在到期日前任何一天行使的期权称之为
5。

考察下列两项投资选择：（1)风险资产组合40％的概率获得 15%的收益，60%的概率获得5%的收益；(2)银行存款收益率为6％;则风险投资的风险溢价是 三、分析题(每小题15分,共30分）
1.设某人面临两种工作，需要从中选择出一种， 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高。

如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般,每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/
2.第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元。

但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入。

不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1%，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％。

假设该人是风险厌恶者，这个人会选择哪一种工作呢？请说明理由。

2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X 。

无风险利率为r ,无风险收益为1R r =+,风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==，在时期1有3个可能的状态，它们的收益矩阵为：Z=［3 1 2;2 2 4］T
,试求正状态定价向量、等价概率分布,并讨论相应的套利机会。

四、计算题（共15分）
某个股票现价为40美元。

已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12％（连续复利)。

请用无套利原理说明，(1）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少? （2)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.
五、综合题（共25分）假设你的初始财富禀赋为单位资金1,将全部用于投资风险资产，证券市场上有n 种风险资产可供你选择,风险资产的收益率为随机向量
12(,,,)T n X X X X =⋅⋅⋅,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=⋅⋅⋅,假设你是风险厌恶
者，期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化，现在请利用所学知识,完成如下任务:（1)建立一个投资组合优化数学模型；(2)求解最优组合w ； （3）求解最小化风险σp 2的数学表达式；（4)假设市场上只有3种风险资产可以供你选
择进行投资,其期望收益率向量为
()
(2,1,3)T E X ，协方差矩阵为∑=［1 0 0;0 2
0；0 0 4],你的期望收益率为r p =2，请求解你此时的最优投资组合w 及面临的风险σp 2。

装 订 线 内 不 要 答 题
13—14学年第二学期
《数理金融学》期末考试试题（B ）
注意事项：1。

适用班级：11数学与应用数学本1、本2，13数学升本1、
2.
2。

本试卷共1页，满分100分. 3.考试时间120分钟。

4。

考试方式：“闭卷"。

一、选择题（每小题3分，共15分) 1。

公平赌博是指____ _ 。

A 风险厌恶者不会参与.
B 是没有风险溢价的风险投资。

C 是无风险投资。

D A 与 B 均正确。

2。

根据一种无风险资产和 N 种有风险资产作出的资本市场线是____ _ 。

A 连接无风险利率和风险资产组合最小方差两点的线。

B 连接无风险利率和有效边界上预期收益最高的风险资产组合的线。

C 通过无风险利率那点和风险资产组合有效边界相切的线.
D 通过无风险利率的水平线。

3．投资分散化加强时，资产组合的方差会接近____ _ . A 0 B 市场组合的方差 C 1 D 无穷大
4．一张股票的看涨期权的持有者将会承受的最大损失等于____ _ 。

A 看涨期权价格 B 市值减去看涨期权合约的价格 C 执行价格减去市值 D 股价 5。

考察下列两项投资选择(1）风险资产组合 40%的概率获得 15％的收益，60％的概率获得 5%的收益；（2）银行存款利率6%的年收益。

假若你投资 100000 美元于风险资产组合,则你的预期收益是____ _ 。

A 40000 美元
B 2500 美元
C 9000 美元
D 3000 美元 二、填空题(每小题3分,共15分）
1。

设h 是一赌博，在未来有两种可能的状态或结果12,h h ，其中1h 发生的概率为p ，2h 发生的概率为1p -，则h 是公平赌博的数学表达式为____ _ 。

2。

“均值-方差”有效资产组合是这样一个资产组合,对确定的方差具有____ _ ,同时对确定的期望收益率水平有____ _ . 3。

证券市场线是指对任意资产组合p X M ,由点____ _ 所形成的轨迹。

证券市
场线方程为____ _ 。

4.设12(,,)T n w
w w w 为一资产组合，若w 满足____ _ ，则称之为套利资产组合.
5。

如果无风险利率6%,()
14%,()
18%,f
M p r E X E X 则p X 的=____ _ 。

三、简答题（每小题10分，共20分）
1。

考虑3个资产A 、B 以及C 。

它们具有如下的风险特征:它们年收益率的标准差为50％，β值分别为0、1.5以及—1.5。

另外，市场年组合收益率的均值为12%M r =,标准差为20%M σ=，无风险利率为4％。

由CAPM 公式，计算这三个资产的风险溢价是多少？
2.假设有两种风险资产A 和 B.资产A:期望收益率10%A r =，收益率方差
216%A σ=;资产B ：期望收益率6%B r =3％,收益率方差2
4%B σ=.你愿意持有哪一种
资产？请说明理由. 四、应用题(共15分）
设企业Ⅰ在0期将发行100股股票，企业在1期的价值为随机变量(1)I V 。

企业的资金都是通过发行这些股票而筹措的，以致于股票持有者有资格获得(1)I V 完全的收
益流.最后给出的有关数据是： $1000(1)
$800
3/4
I V p
p=1/4 1cov(,)
0.045M X X ，
0.30 0.10r
，()
0.20M E X 。

试用资本资产定价方程或风险自行
调节定价公式求出该股票在0期的合理价值. 五、计算题（第1题20分，第2题15分，共35分)
1。

某个股票现价为50美元。

已知在两个月后，股票价格为53美元或48美元。

无风险年利率为10％(连续复利）。

请用无套利原理说明,(1）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间平价关系。

2。

某个股票现价为50美元.有连续2个周期，每个周期为3个月，在每个周期内的单步二叉树的股价或者上涨6％或者下跌5％.利率为5%(连续复利)。

求执行价格为51
装 订 线 内 不 要 答 题
美元,有效期为6个月的欧式看跌期权的价值为多少？
2013~2014学年第二学期课程考试
《数理金融学》试卷(A 卷）参考答案及评分标准
命题教师:熊洪斌
考试班级：11应数本1、2，13数学（升本）1、2
二、填空题（每小题3分，共15分）
1。

凹函数（或0u (x )''<); 2。

a; 3. 马科维茨;4。

美式期权；5. 3％. 三、分析题(每小题15分，共30分）
1。

解：首先计算这两种工作的预期月收入1ER 和2ER ：
150010005.020005.01=⨯+⨯=ER （元）(2分）
150051001.0151099.02=⨯+⨯=ER （元）
（2分） 可见，两种工作月收入的期望值都为1500元，即12=ER ER
再计算这两种工作月收入的方差21σ和2
2σ:
250000)15001000(5.0)15002000(5.02221=-⨯+-⨯=σ（3分）
9900)1500510(01.0)15001510(99.02222=-⨯+-⨯=σ（3分）
所以，两种工作的标准差分别为5001=σ,11302=σ。

21σσ>说明，第一种工作虽然收入可高达2000元，但风险大（即方差大）；第二种工作虽然收入最高只有1510元,但风险小(即方差小）。

（2分)
12=ER ER 21σσ>,由于该人是风险厌恶者，所以他会选择第二种工作。

(3分）
2。

解：令正状态定价向量12
3
(,
,
)T (1分）
则：3
1
1
(1,1),
T
T i
i Z
R
（3分） 即：12
3
1
2
3
1
2
3
3
2
1
2
2
411/R
（1分)解得
1
2
3
1423
4112R R。

（3分) 所求向量12312311(,,
)
(,,)442
T T
R R
(1分） 当82
3
R 时0(1,2,3)i
i ，市场无套利，因而存在等价概率分布律。

（2分）
等价概率分布律为：（3分)
四、计算题(共15分）
解:股票的价格二叉树模型为：04240
,12%,1/12138
u f d q S S r q
S τ====-=
第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q 。

由无套利原理知:0.121/1240
4238(1)e q
q
从 40(10.01)4238(1)q q
我们得到2.4
42384q q
q 所以 0.6q （3分）
第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均。

(1)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：
310
u d q C C q
C =-=看涨期权的价格为：
1
1.8
[3(1)0] 1.7821.01
1.01
C q q （美元）
（4分) (2)执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为：
011
u d q C P q
C =-=，
所以看跌期权的价格为: 0
1
0.4
[0(1)1]
0.3961.01
1.01
P q q （美元）
(4分） （3）r P S C Ke τ-+=+,
0.010.3964040.396, 1.7823940.396r P S C Ke e τ--+=+=+=+⨯=（4分)
五、综合题（共25分）
解： （1）对一定期望收益率p r ，选择资产组合使其总风险最小的数学模型为:
2
11min 22
..
()11
T
p
T
p p T w w s t E X w
r w
（5分）
（2）应用标准的拉格朗日乘数法求解：
令1
121
22(,,)()(11)p
L w w
w r
w w λλλμλ'''=+-⋅+-∑ （2分）
其中
1和
2为待定参数，最优解应满足的一阶条件为:
12
1
2
1
0;
0;110;
T T
p
T L w
w L
r w L
w
（2分）
得最优解： *
1
1
2(
1)w 。

(2分） 令1
1
1
,11,T
T T
a
b
1
211,
T
c
ac b
则
1
2
,
.p p r c b
a
r b
（2分)
最小方差资产组合方差为:2**
21
()T p
p
c
b w w r
c c
(2分） （4)由题意知，
100
020004，所以，1
100
00.5000
0.25
， （1分)
()
(2,1,3)T E X
1
1
2713 6.25,1
,4
4
T
T a
b
1
275
11
,4
4
T
c ac b 。

(4分) 当2p
r 时，
1
2
1
1
,.5
5
p p r c b
a r
b (2分) 最优组合*
1
11111(3,1,1)(0.6,0.2,0.2)5
55
T T w
,(1分）
最小方差为
2**
213
()
5
T
p
p c
b w w r
c c （2分)
2013~2014学年第二学期课程考试
《数理金融学》试卷（B 卷）参考答案及评分标准
命题教师：熊洪斌
考试班级:11应数本1、2，13数学(升本）1、2
二. 1.12()(1)0E h ph p h =+-= 2.最大期望收益率，最小的方差. 3。

(,())Mp P E X ;()
(()
)p Mp M E X r
E X r .
4. 1
0,1
(1,1,1)T
T n w
5. 1.5
三、简答题(每小题10分,共20分）
1。

解答：首先，市场组合的风险溢价是0.120.048%M F r r -=-=， （4
分)
我们有
00.0801.50.0812%1.50.0812%
A F
B F
C F r r r r r r -=⨯=-=⨯=-=-⨯=- （6分）
2.解：因为 10%,6%A
B
r r ；
2216%,4%;A
B
（2分）
令,B A 分别表示资产A,B 的单位风险回报，则
10%
6%2.534%
2%
,
A
B
A
B
B
A
r r (6分）
由B A 可知，资产
B 每单位风险获得的回报大于资产A 每单位风险所获得的回报，
因此，更愿意持有资产B 。

（2分) 四、应用题（共15分）
解：应用证券市场线方程
12
()()
cov(,)()
M I M M E X r
E X r
X X X （3分)
0.200.10
0.10
0.045
0.150.09
(2分）
即普通股所需的收益率为15%,这就意味着市场将以15％的贴现[(1)]I E V ，以确定股票在0期的市场价格，于是我们有
1
3
[(1)]
1000800850$44I E V (4分) 0
((1))/100
8.507.391 1.15
I E V P r
（6分）
五、计算题（第1题20分，第2题15分，共35分） 1.解:股票的价格二叉树模型为：
05350
,10%,1/6148
u f d q S S r q
S τ====-= （2分)
第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知：
0.11/6
505348(1)e
q q
从 50(11/60)5348(1)q q
我们得到 17/6
53485q q q
所以
3.4/6q
(3分）
第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.
(1) 执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为:
410
u d q C C q
C =-=
看涨期权的价格为:
1
13.6/6136[4(1)0]
2.2361/60
61/6061
C q q （美元）
（5分） (2) 执行价格K=49美元的看跌期权的二叉树模型为:
011
u d q C P q
C =-=
所以看跌期权的价格为： 0
60
60 2.6[0(1)1]
0.42661
616
P q q （美元）
（5分）
（3）r P S C Ke
τ
-+=+,0.4265050.426,P S +=+=
0.11/602.2349 2.234960/6150.426r C Ke e τ--⨯+=+⨯=+⨯= （5分）
2。

解：050, 1.06,0.95,5%,1/4,2,51f S u d r n K τ======= (2分)
股票价格的两期二叉树模型为：
2000002056.1853
150.35
50
147.5
145.125
q
u S
q
uS q udS S q
q
dS q
d S ==-==-=-= (3分）
风险中性概率0.121/40.95
0.5681.10.9
⨯-=
=-e q （3分） 股票A 的执行价格51$K U D =，
有效期为6个月的欧式看跌期权的两期二叉树模型为： 000.277
10.65
1.38
1 2.871
1 5.875
uu u ud d dd q P q
B
P q
P P q
q
C
P q
P ==-==-=-= （3分）
由无套利原理知：
020.050.252
2
2
(2)
()
(0.568
020.5680.4320.650.432
5.875) 1.38
r n
P e E P e
（4分）。