数列的通项公式与递推公式(含解析)

数列的通项公式与递推公式
班级______________ 姓名______________
一、选择题
1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( ) A ．1
B.12
C.34
D.58
2．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )
A ．R
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，0]
3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115
4．已知数列{a n }满足要求a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则a 5等于( )
A ．15
B ．16
C ．31
D ．32 5．若数列{a n }满足a n ＋1＝4a n ＋34
(n ∈N *)，且a 1＝1，则a 17＝( ) A ．13 B ．14
C ．15
D ．16 6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭
⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋lg n
B ．2＋(n －1)lg n
C ．2＋n lg n
D ．1＋n ＋lg n
7．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A ．(－∞，3]
B ．(－∞，4]
C ．(－∞，5)
D ．(－∞，6) 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12，x ≤12
，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，
若数列{a n }满足a 1＝73，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，则a 2 017＋a 2 018等于( )
A ．4 B.32
C.76
D.116
二、填空题
9．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________．
10．若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，且a 1＝1，则a 100＝________.
三、解答题
11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 22n (n ∈N *)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝
2a n a n ＋2(n ∈N *)，试探究数列{a n }的通项公式．
数列的通项公式与递推公式（解析）
班级______________ 姓名______________
一、选择题
1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( ) A ．1
B.12
C.34
D.58
解析：选B 由a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋12＝1，依此类推a 4＝12
. 2．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )
A ．R
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，0]
解析：选C ∵{a n }是递减数列，
∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.
3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115
解析：选C 由题意a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，
a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，
则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116
. 4．已知数列{a n }满足要求a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则a 5等于( )
A ．15
B ．16
C ．31
D ．32 解析：选C ∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，
∴a 2＝2×1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，a 5＝2×15＋1＝31.
5．若数列{a n }满足a n ＋1＝4a n ＋34
(n ∈N *)，且a 1＝1，则a 17＝( ) A ．13 B ．14
C ．15
D ．16
解析：选A 由a n ＋1＝
4a n ＋34⇒a n ＋1－a n ＝34，a 17＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 17－a 16)＝1＋34
×16＝13，故选A. 6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭
⎫1＋1n ，则a n ＝( )
A ．2＋lg n
B ．2＋(n －1)lg n
C ．2＋n lg n
D ．1＋n ＋lg n
解析：选A 由a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ⇒a n ＋1－a n ＝lg ⎝⎛⎭
⎫1＋1n ，那么a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋lg 2＋lg 32＋lg 43＋…＋lg n n －1＝2＋lg （2×32×43×…×n n －1
）＝2＋lg n . 7．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A ．(－∞，3]
B ．(－∞，4]
C ．(－∞，5)
D ．(－∞，6)
解析：选D 依题意，a n ＋1－a n ＝－2(2n ＋1)＋λ<0，即λ<2(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立．注意到当n ∈N *时，2(2n ＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)．
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12，x ≤12
，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，
若数列{a n }满足a 1＝73
，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，则a 2 017＋a 2 018等于( )
A ．4
B.32
C.76
D.116 解析：选B a 2＝f ⎝⎛⎭⎫73＝73－1＝43
； a 3＝f ⎝⎛⎭⎫43＝43－1＝13
； a 4＝f ⎝⎛⎭⎫13＝13＋12＝56；
a 5＝f ⎝⎛⎭⎫56＝2×56－1＝23
； a 6＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23－1＝13
； 即从a 3开始数列{a n }是以3为周期的周期数列．
∴a 2 017＋a 2 018＝a 4＋a 5＝32
.故选B.
二、填空题
9．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________．
解析：a n ＝n 2－6n ＝(n －3)2－9，∴当n ＝3时，a n 取得最小值－9.
答案：－9
10．若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，且a 1＝1，则a 100＝________.
解析：由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1⇒a n a n －1＝n ＋1n －1
，则a 100＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a 100a 99＝1×31×42×…×10199＝5 050.
答案：5 050
三、解答题
11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 22n (n ∈N *)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
解：存在最大项．理由：a 1＝12，a 2＝2222＝1，a 3＝3223＝98，a 4＝4224＝1，a 5＝5225＝2532
，…. ∵当n ≥3时，a n ＋1a n
＝(n ＋1)22n ＋1×2n n 2＝(n ＋1)22n 2＝12⎝⎛⎭⎫1＋1n 2<1， ∴a n ＋1<a n ，即n ≥3时，{a n }是递减数列．
又∵a 1<a 3，a 2<a 3，∴a n ≤a 3＝98
. ∴当n ＝3时，a 3＝98
为这个数列的最大项. 12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2
(n ∈N *)，试探究数列{a n }的通项公式． 解：法一：将n ＝1,2,3,4依次代入递推公式得a 2＝23，a 3＝24，a 4＝25
. 又a 1＝22，∴可猜想a n ＝2n ＋1
. 则有a n ＋1＝
2n ＋2，将其代入递推关系式验证成立． ∴a n ＝2n ＋1
(n ∈N *)． 法二：∵a n ＋1＝2a n a n ＋2
，∴a n ＋1a n ＝2a n －2a n ＋1. 两边同除以2a n ＋1a n ，得
1a n ＋1－1a n ＝12. ∴1a 2－1a 1＝12，1a 3－1a 2＝12，…，1a n －1a n －1＝12
. 把以上各式累加得1a n
－1a 1＝n －12. 又a 1＝1，∴a n ＝2n ＋1
. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝
2n ＋1(n ∈N *)．。