四种命题及其关系

四种命题及其关系
本节课主要讲解了命题的概念及其结构，命题是能够判断真假的陈述句，其中真命题为真实陈述，假命题为虚假陈述。

需要注意的是，不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的陈述句才是命题。

命题通常可以改写成“若p，则q”的形式，
其中p为命题的条件，q为命题的结论。

类型二：四种命题及其关系
本节课还介绍了四种命题及其关系，包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题。

其中，逆命题和否命题是互为逆命题的，逆否命题和原命题是互为逆否命题的。

需要注意的是，四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系，只有互为逆否命题的两个命题同真同假。

因此，在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。

本课程介绍了命题的概念和结构，以及四种命题及其关系。

命题是能够判断真假的陈述句，其中真命题为真实陈述，假命题为虚假陈述。

需要注意的是，只有能够判断真假的陈述句才
是命题，而命题通常可以改写成“若p，则q”的形式，其中p 为命题的条件，q为命题的结论。

四种命题包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题，其中逆命题和否命题是互为逆命题的，逆否命题和原命题是互为逆否命题的。

需要注意的是，四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系，只有互为逆否命题的两个命题同真同假。

因此，在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。

判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题。

1) 末位是5的整数能被5整除。

2) 平行四边形的对角线相等且互相平分。

3) 两直线平行，则斜率相等。

4) 在三角形ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB。

5) 余弦函数是周期函数吗？
举一反三：
变式1】判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假。

1) x>1；
2) 当x=1时，x>1；
3) 你是男生吗？
4) 求证：π是无理数。

变式2】下列语句中是命题的是（）
A。

|x+a|
B。

{0}∈N
C。

元素与集合
D。

真子集
变式3】判断下列语句是否是命题。

1) 这是一棵大树。

2) sin30°=1/2.
3) x+1>0；
4) 梯形是平行四边形。

1) 若一个整数的末位是5，则它能被5整除。

真命题。

2) 若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是菱形。

真命题。

3) 若两条直线平行，则它们的斜率相等。

真命题。

4) 在三角形ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB。

真命题。

5) 余弦函数是周期函数吗？不是命题。

举一反三：
变式1】
1) 若x>1，则命题为真。

2) 当x=1时，命题为假。

3) 不是命题。

4) 命题为真。

变式2】
A。

不是命题。

B。

命题为假。

C。

不是命题。

D。

不是命题。

变式3】
1) 不是命题。

2) 命题为真。

3) 不是命题。

4) 命题为假。

例2.指出下面命题的条件和结论。

1) 对顶角相等。

2) 四边相等的四边形是菱形。

1) 若两个角相等，则它们是对顶角。

条件：两个角相等，结论：它们是对顶角。

2) 若一个四边形的四条边相等，则它是菱形。

条件：四
边相等，结论：它是菱形。

举一反三：
变式】
1) 若一个空间四边形为正四面体，则它的顶点在底面上
的射影为底面的中心。

条件：空间四边形为正四面体，结论：它的顶点在底面上的射影为底面的中心。

2) 若两条直线a和b都和直线c平行，则直线a和直线b 平行。

条件：直线a和b都和直线c平行，结论：直线a和直线b平行。

例3.将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断其真假。

1) 垂直于同一条直线的两个平面互相平行。

2) 对角线相等的平面四边形是矩形。

1) 若两个平面垂直于同一条直线，则它们互相平行。

假命题。

2) 若一个平面四边形的对角线相等，则它是矩形。

真命题。

举一反三：
变式1】命题为“6是12和24的公约数”，改写为“若p，则q”的形式：若一个数是12和24的公约数，则它是6的公约数。

真命题。

变式2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断
真假。

1) 偶数能被2整除。

2) 奇函数的图象关于原点对称。

3) 同弧所对的圆周角不相等。

1) 若一个数是偶数，则它能被2整除。

真命题。

2) 若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称。

真
命题。

3) 若一对圆周角相等，则它们所对的弧相等。

假命题。

例4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假。

1) 若ab=0，则a+b=0.
2) 若x=1，则x-3x+2=0.
3) 若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角
相等。

1) 逆命题：若a+b=0，则ab=0.真命题。

否命题：若ab≠0，则a+b≠0.真命题。

逆否命题：若a+b≠0，则ab≠0.假命题。

2) 逆命题：若x-3x+2=0，则x=1.假命题。

否命题：若x-3x+2≠0，则x≠1.真命题。

逆否命题：若x≠1，则x-3x+2≠0.真命题。

3) 逆命题：若这个三角形有两个角相等，则它有两条边相等。

真命题。

否命题：若这个三角形没有两条边相等，则它没有两个角相等。

假命题。

逆否命题：若这个三角形没有两个角相等，则它没有两条边相等。

真命题。

举一反三：
变式1】命题为“若2an+an+1<an，n∈N+，则{an}为递减数列”，改写为“若p，则q”的形式：若一个数列{an}满足
2an+an+1<an，则它是递减数列。

真命题。

变式2】写出下列的命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假。

1) 对顶角不相等。

2) 空集A不是非空集合B的真子集。

1) 逆命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角。

条件：两个角不相等，结论：它们不是对顶角。

真命题。

否命题：若两个角相等，则它们是对顶角。

假命题。

逆否命题：若两个角是对顶角，则它们相等。

真命题。

2) 逆命题：若空集A是非空集合B的真子集，则B包含A。

假命题。

否命题：若空集A不是非空集合B的真子集，
则A包含B或A和B没有交集。

真命题。

逆否命题：若B不
包含A，则A不是非空集合B的真子集。

真命题。

5.设命题：若 $m>0$，则关于 $x$ 的方程 $x+x-m=0$ 有
实数根。

试写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断其真假。

逆命题：若关于 $x$ 的方程 $x+x-m=0$ 有实数根，则$m>0$。

真命题。

否命题：若 $m>0$，则关于 $x$ 的方程 $x+x-m=0$ 无实
数根。

假命题。

逆否命题：若关于 $x$ 的方程 $x+x-m=0$ 无实数根，则$m\leq 0$。

真命题。

变式1】试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断其真假。

1）当集合 $A=\{1,2,3,5,6\}$，$B=\{1,2,5\}$ 时，若 $x\in A$，则 $x\in B$。

逆命题：若 $x\in B$，则 $x\in A$。

真命题。

否命题：当集合 $A=\{1,2,3,5,6\}$，$B=\{1,2,5\}$ 时，若$x\in A$，则 $x\notin B$。

假命题。

逆否命题：当集合 $A=\{1,2,3,5,6\}$，$B=\{1,2,5\}$ 时，若 $x\notin B$，则 $x\notin A$。

真命题。

2）若 $x>3$，则 $x>2$。

逆命题：若 $x>2$，则 $x>3$。

假命题。

否命题：若 $x>3$，则 $x\leq 2$。

假命题。

逆否命题：若 $x\leq 2$，则 $x\leq 3$。

真命题。

变式2】已知命题：“如果 $|a|\leq 1$，那么关于 $x$ 的不
等式 $(a-4)x+(a+2)x-1\geq 0$ 的解集是空集”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

逆命题：如果关于 $x$ 的不等式 $(a-4)x+(a+2)x-1\geq
0$ 的解集不是空集，则 $|a|>1$。

假命题。

否命题：如果 $|a|\leq 1$，那么关于 $x$ 的不等式 $(a-
4)x+(a+2)x-1<0$ 的解集不是空集。

真命题。

逆否命题：如果关于 $x$ 的不等式 $(a-4)x+(a+2)x-11$。

真命题。

一、选择题
1.下列语句中命题的个数为（ 2 ）。

2.若 $A$、$B$ 是两个集合，则下列命题中真命题是（ A ）。

3.有下列命题：
①若 $xy=0$，则 $|x|+|y|=0$；
②若 $a>b$，则 $a+c>b+c$；
③矩形的对角线互相垂直。

其中真命题共有（ 1 ）个。

4.下列语句中，不能成为命题的是（②）。

5.设 $m\in R$，命题“若 $m>0$，则方程 $x+x-m=0$ 有实根”的逆否命题是（ D ）。

6.命题“若 $a=5$，则$a^2=25$”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是（ C ）。

二、填空题
7.命题“一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实数根”，条件：$b^2-4ac>0$，结论：（存在实数 $x_1,x_2$ 使得 $ax_1^2+bx_1+c=0$ 且 $ax_2^2+bx_2+c=0$ 且 $x_1\neq
x_2$）。

是真命题。

8.给出下列命题：
①若 $ac=bc$，则 $a=b$；
②方程 $x^2-x+1=0$ 有两个实根；
③对于实数 $x$，若 $x-2\leq 0$，则 $x\leq 2$；
④若 $p>0$，则 $p^2>p$；
⑤正方形不是菱形。

其中假命题为：②方程 $x^2-x+1=0$ 有两个实根。

1.命题和命题的形式
命题是陈述性语句，有真假之分。

命题的形式包括条件语句、否定语句、合取语句、析取语句、等价语句等。

2.命题的逆命题、否命题和逆否命题
命题的逆命题是将条件语句的前件和后件交换位置得到的新命题。

否命题是将命题取反得到的新命题。

逆否命题是将逆命题取反得到的新命题。

3.命题的真假性
命题的真假性需要通过证明或反证法来确定。

如果可以找到一个例子使得命题成立，则命题为真；如果找到一个反例使得命题不成立，则命题为假。

4.逆命题、否命题和逆否命题的真假性
逆命题和否命题的真假性与原命题无关，可能与原命题相同也可能不同。

逆否命题的真假性与原命题相同。

5.命题的转化
将命题转化成“若p，则q”的形式可以方便地判断其真假性。

需要注意的是，转化后的命题可能不等价于原命题，因此需要进行证明。

6.例题解答
9.真命题是“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”，假命题是无法确定。

逆命题是“若x＋y＝8，则x＝3，y＝5”，否命题是“若x＝3，y＝5，则x＋y≠8”，逆否命题是“若x＋y≠8，则x≠3或y≠5”。

10.真命题。

11.(1) 逆命题是“如果两圆心距等于两圆半径之和，则两圆外切”；否命题是“如果两圆内切或相交，那么两圆心距不等
于两圆半径之和”；逆否命题是“如果两圆心距不等于两圆半径之和，则两圆内切或相交”。

都是假命题。

2) 逆命题是“如果一个数能被2整除，那么它不是奇数”；否命题是“如果一个数是偶数，那么它不能被2整除”；逆否命
题是“如果一个数不能被2整除，那么它是奇数”。

都是真命题。

12.(1) 若ac>bc，则a>b。

真命题。

2) 若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.假命题，因为当y＝3时，
x可以是2或1.
3) 若m＞1，则mx2－x＋1＝无实根。

真命题。

4) 若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0.真命题。

5) 若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.真命题。

13.是真命题。

当m＞0时，2x2＋3x－m＝0的判别式为9
＋8m＞0，因此有实根。

14.(1) 否定是“正n(n≥3)边形的n个内角不全相等”；否命
题是“存在一个正n(n≥3)边形，它的n个内角不全相等”。

2) 否定是“0的平方不等于0”；否命题是“0的平方等于0”。

15.原命题的逆命题是“已知a、b都是无理数，若a＋b是有理数，则a＋b不是无理数”；否命题是“已知a、b不都是无理数，或者a＋b是有理数，则a、b不都是无理数”；逆否命题是“已知a＋b不是有理数，则a或b不是无理数”。

都是真命题。