第二章 离散时间系统

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2.1 离散时间系统的基本概念 2.2 离散时间系统的输入输出关系 2.3 Z变换的定义 2.4 Z变换的收敛域 2.5 Z变换的性质 2.6 离散时间系统的转移函数 2.7 离散时间系统的频率响应 2.8 离散时间系统的零极分析 2.9 滤波的基本概念 2.10 IIR系统的信号流图与结构
4. 时间n，也为一次幂
2.2 离散系统输入输出关系
x ( n ) h ( n ) y ( n)
将 x(n) 作如下形式的分解：
x ( n)
k
希望找到 三者关系
x(k ) (n k )

x(1) ( n 1) x(0) ( n) x(1) ( n 1)
y (n) x(n) x(n 1) x(n 2) 3
单位抽样响应
x ( n ) h ( n ) y ( n)
令x(n) (n)
则y (n) h(n)
h(n) 描述了离散系统的特征，是重要 h( 的“物理量”，由 n) 可得到
H ( z ), H (e )
s 仅在j 轴上取值， 拉普拉斯变换变为傅里叶变换 X s

s j
X j
x t e

j t
dt
对应的，若z 仅在单位圆上取值， 那么Z 变换也演变为傅里叶变换
收敛域没有包括单位圆， 傅里叶变换不存在！
频率轴定标
fs s fs 2 s 2
T [ x(n)] A[ x1 (n) x2 (n)] B A x1 (n) A x2 (n) B y1 (n) y2 (n)
所以本系统是非线性系统
例4：系统
y ( n) x(n 1) y ( n) x ( n )
2
均为非因果！
y ( n) x ( n)
线性、移不变性、因果性、稳定性是对系 统的基本要求。希望能掌握判断的方法。 非线性系统的研究不在本课的范围。
线性移不变系统的一般形式：
y (n) ak y (n k ) br x(n r )
k 1 r 0
N
M
1.
ak , br 为常数
2. 无常数项
3. x(n), y(n) 为一次幂
h l1
即： | h(n) |
n

卷积和相关的关系：
rxy (m)
n
x ( n ) y ( n m)



n
x (n m) y (n) x ( m n) y (n)
n
x ( m) y (m)
上式的理解：卷积需要翻转，而相关不需要 翻转。如果用卷积表示相关，所以需要预先把一 个序列翻转。二者在计算上有相似性，但物理概 念明显不同： 相关 定义: 两个序列的关系 计算: 任一序列都不需
Linear-Shift Invariant System，LSI 含义：移不变性质保证对给定的输入，系 统的输出和输入施加的时间无关。
等同于:
T [ (n)] h(n) T [ (n k )] h(n k )
移不变性的图示说明：
3. 因果性 Causality y (n) f [ x(n), x(n k ), y (n m)] 因果系统 k 0, m 0
另外，系统 y(n) nx(n)
是因果的，但不是稳定的
例2：
y(n) ay(n 1) x(n)
a 1
本系统是线性系统、移不变系
统、因果系统，如果
则该系统是稳定的。
例3： y(n) Ax(n) B
T [ x1 (n)] y1 ( n) Ax1 ( n) B T [ x2 (n)] y2 (n) Ax2 (n) B x (n) x1 (n) x2 (n)
线性！
由于：
y(n) nx(n) T [ x(n)]
对x(n k ) 的输出是
所以： 系统对 x ( n) 的输出是 nx(n)
nx(n k )
而：
y ( n k ) ( n k ) x( n k )
所以：
y(n k ) T [ x(n k )]
本系统不具备移不变性！
Im[ z ]
j n
离散时间序列的 傅里叶变换， DTFT
z 平面
z 平面
Re[ z]
Im[ z ]
r 1
0
Re[ z ]
0
Ts 2 f f s
：0 2 f s 0 s s 2 s
4 f s 2 f s
2 f s 4 f s
：0 2 0 2 2 4
例: y(n) ax(n) bx(n 1) cx(n 2)
h(n) a (n) b (n 1) c (n 2)
h(0) a h(1) b h(2) c h(3) 0
Finite Impulse Response, 有限长，FIR系统
h(n) {a, b, c}
j
s 平面
z 平面
Im[ z ]
r
0
0


Re[ z]
小结：s平面到z平面的映射规律
• 1. s平面上的复变量s是直角坐标，而z平面上的复 变量z一般取极坐标形式 • 2. 当σ=0时，r=1，σ =0对应s平面的jΩ轴，|z|=1对 应z平面上半径r为1的圆，即s平面的jΩ轴映射为z 平面上的单位圆。 • 3. σ<0对应s平面的左半平面，对应的r=eσTs <1，s 平面的左半平面映射到z平面单位圆内。同理，s 平面的右半平面映射到z平面单位圆外。 • 4. Ts 2 f f s ， f : 0 f s : 0 2 s平面到z平面的映射不是单一的（DTFT的周期 性） • 5. 归一化频率（相对频率）： f f f s fs f : 0 f : 0 0.5 2
3. 将h(k)移动n，得h(n-k)；
4. 将x(k)和h(n-k)对应相乘、相加。
卷 1. 给定h(n)，求系统对 积 任意输入（x(n)）的输出； 的 应 2. 系统稳定性判据： 用
y ( n)
k

x(n k ) h(k ) xmax
n

h(n)
所以，如果系统稳定，则：
2.1 离散时间系统的基本概念
x ( n ) h ( n ) y ( n)
y(n) T [ x(n)]
连续系统的描述： 微分方程、卷积、转移函数（Laplace变换）、 频率响应（Fourier 变换） 离散系统的描述： 差分方程、卷积、转移函数（Z 变换）、 频率响应（DTFT, DFT）
L[ x(n)] x(n)e dt
st

x(nTs ) (t nTs )e dt
st n


n


x(nTs )e
snTs
X (e )
sTs
令z e

sTs
则：
X ( z)
n
x ( n) z

n
离散信号 的 z 变换
s j

j
s 平面
0


X ( j) x(t )e

jt

dt
Fourier 变换
所以，傅里叶变换是 值的拉普拉斯变换。
s
仅在虚轴上取
对离散信号，可否做拉普拉斯变换?
x(n) x(t ) (t nTs ) x(nTs ) (t nTs )
n n
j
例:
y(n) ay(n 1) x(n) h(n) ah(n 1) (n)
h(0) 1 h(1) ah(0) a h(2) ah(1) a 2
h( n) a
即
Mn
n
h(n) a u(n)，n : 0
Infinite Impulse Response, IIR系统
0 0
fs 2 s 2
fs s
f

2

0.5
2 k N
0 0 0

0.5
2

f
1
1
k
N 1
2.4 Z变换的收敛域
X ( z) z re
x n z
j n
x ( n) z

n

n j
n 0
因果信号及因果系统的抽样响应h(n) 在n<0时恒为0，因此实际的物理信 号对应的都是单边Z变换。
时域：
x(t )
st
复频域： X (s) x(t )e dt
Laplace 变换
s j
2 f
j
s 平面
0

因为 s j
所以 0 频域：
要翻转
卷积
描述LSI系统输入输出关系
其中一个序列要翻转
2.3 Z变换的定义
离散信号x(n)的Z变换定义式：
X z
n


x n z n
x(n)范围从-∞~+ ∞ ，所以称为双边Z变换。 x(n)范围从0~+∞ ，则称为单边Z变换。
X z x n z n
y(n) f [ x(n 1), x(n 2), ] 非因果系统
含义：一个实际的物理系统，其当前时刻的输 出只能和当前时刻的输入、过去时刻的输入与 输出有关，而不能和将来时刻的输入与输出有 关。
判断：h(n) 0, n 0
如果x(n) 0, n 0 x(n)为因果信号
y(n) nx(n)
y1 (n) T [ x1 (n)] nx1 (n) y2 (n) T [ x2 (n)] nx2 (n) let x(n) x1 (n) x2 (n)
则
y (n) T [ x (n)] n[ x1 (n) x2 (n)] nx1 (n) nx2 (n) y1 (n) y2 (n)
例: y(n) ay( n 1) x(n)


差分方程
当前时刻 前一时刻
例:
1 y ( n) M
M 1 k 0
b x(n k )
k
if
M 3:
1 y(n) [b0 x(n) b1 x(n 1) b2 x(n 2)] 3
if
b0 b1 b2 1:
y ( n)
k
x ( k ) h( n k )

x(n) : N
h(n) : M h( k ) x ( n k ) x ( n) h( n) k y ( n) : ? 计算步骤：
1. 将n换成k，得x(k), h(k)；
2. 将h(k)翻转，得h(k) ；
输入
输出
x(0) (n)
x(1) (n 1)
x(1) (n 1)
x(0)h(n)
x(1)h(n 1) x(1)h(n 1)
y (n)
x(n)
M
M
y ( n)
k
x ( k ) h( n k )
线性卷积

卷积是LSI系统的基本特点：
第二章离散时间系统第二章离散时间系统21离散时间系统的基本概念22离散时间系统的输入输出关系23z变换的定义24z变换的收敛域25z变换的性质26离散时间系统的转移函数27离散时间系统的频率响应28离散时间系统的零极分析29滤波的基本概念210iir系统的信号流图与结构连续系统的描述
第二章 离散时间系统
1. 线性 Linear
T [ x1 (n)] y1 (n)
T [ x2 (n)] y2 (n)
T [ x1 (n) x2 (n)] y1 (n) y2 (n)
含义：该系统满足迭加原理
2. 移不变性 Shift Invariant
T [ x(n)] y (n) T [ x(n k )] y (n k )
4. 稳定性 Stability 若： | x(n) | R 定义 有： | y(n) | Q
R, Q
含义：输入有界，输出也有界 , BIBO Bounded-input, Bounded-output 如何判断？ 多个判断方法（2.2、2.6）
如何判断：线性？移不变？因果？稳定？
例1:
关系？
拉普拉斯变换
对应连续信号
z 变换
ze
( j )Ts
j
对应离散信号
e
Ts
jTs
e
jTs
re
e
Ts
e
r e Ts 得到 Ts
s与 z
z re
j
j
|r 1 e

j
Ts 2 f f s
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