信息光学-第3章 标量衍射理论
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rz2 x x 0 2 y y 0 2 z1 x x 0 2z 2 y y 0 2
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
rzxx02yy02
泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a2整)z理(xpp-ta)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。 引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们
的值分别取决于角谱的模和幅角。
角谱如何求？就用傅里叶变换整理就ppt 行，注意坐标替换
整理ppt
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平 面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
(fxcos/, fy0)
U (x ,y )A ex p (j2 fxx )
整理ppt
k kx kz;
朝X正方向， fx cos/;
2）不能，波长应该是不会变长的
3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变 化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。 也可由公式：X=波长/cosa得到。
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
UP a0 ejkr
r
rzxx02yy02
2z
思考，公式中的近似 条件为何位相里面不 考虑成r=z
jk z x x02 y y02
U P ae aee 0
2z
0 jkz j2 k z x x02 y y02
z
z
常量位相因子
二次位相因子
2.1.4 平面波空间频率
平面波的空间频率是信息光学中常用的基本物理量．深入理解 这个概念的物理含义是很重要的
首先研究波矢量位于xz平面内的简单情况，考虑 cos 0
U (x ,y ) A e x p (jk x c o s)
kx*x
光学问题里面坐标关整理系ppt比较复杂，建议考虑简单 在坐标系，尽量把复杂问题简单化
Ycos
Z= cos
fx
1 X
cos
fy
1 Y
cos
fz
cos
Ux,y,zaexpjkzcosexpjkxcosycos
也表明空间频率是 矢量，有3个分量，
Aexpjkxcosycos
满足矢量运算规则，
k2/; kxkcos
整理ppt
与时间频率完全不 同
1、光波的数学描述
思考题： 空间频率为负，其代表什么物理意义？
代表了一个传播方向余弦为 (cos, cos)
的单色平面波。
我们的不是某一个平面上而是整个空间光场分
布，可以类似地定义沿z方向的空间频率
有
fz
cos
U ( x ,y ,z ) a e x p j2(fx x fy y fz z )
由
有
cos2cos2cos21
fx2 fy2 fz2 12
整理ppt
主要内容
1、光波的数学描述 2、基尔霍夫衍射理论 3、衍射的角谱理论 4、菲涅耳衍射 5、夫朗和费衍射 6、衍射的巴比涅原理 7、衍射光栅 8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*
整理ppt
光波的数学描述
整理ppt
整理ppt
整理ppt
1、光波的数学描述
1.2 球面波
单色球面波在空间任意一点P所产生的复振幅为
其数学表达式为：
ejkr
U(Q)c U0(p)k(
整理ppt
)
r
dS
主要问题：
1 该理论缺乏严格的理论依据。 2 常数c中应包含exp(-jπ/2)因子，惠更斯-菲涅
尔原理无法解释。 3 K(θ)的具体函数形式难以确定。
科研需要理想主义，更需要实干家
整理ppt
2. 基尔霍夫衍射理论
基尔霍夫（1824～1887）利用数学工具格林 定理，通过假定衍射屏的边界条件，求解波动 方程，导出了更严格的衍射公式 ，从而把惠更 斯—菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论基础 上。
A fx, fyUx,yexpj2fxxfyydxdy
其中，
fxcos fycos
A(x,y)称为复振幅分布U(x,y)的空间频谱。
整理ppt
U x ,y A fx,fye x p j2 fxx fyy d fx d fy
复振幅分布的分解观点：
平面上的复振幅分布U(x,y)看作空间频率不同的复指数分量的 线性组合，各频率分量的权重因子是A(x,y)。
2.2 基尔霍夫衍射理论
讨论的问题是：如何求解无限大平面上孔径后面的光场分布
更具体化一点的模型就是：
能否由如图孔径平面上的场
分布计算孔径后面任一点Q
处的复振幅？
这是一个根据边界值求解波
入射光
Q
动方程的问题。
整理ppt
“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波 ”，并且，“后一时刻的波前的位置是所有这些子波前的包络面。”
波的传播方向，前向，后向
已知等位相面的图，会写出平面 波的表达式吗？
整理ppt
1、光波的数学描述
如右图所示，等相位线是一组斜平行线。很容易确定其沿 x和y方向的空间频率为
fx
1 X
cos
fy
1 Y
cos
则xy平面上的复振幅分布可表示为
U x ,y A e x p jk x c o s y c o s
4）可以，先求出K=kx/cos，然后求出波整长理ppt
思考：1）在XY平面上，是朝何 方向传播的平面波？空间频率为 多少？
2）周期X能认为是波长吗？
3）波长应该如何确定？
4）如果已知波的传播方向和Kx， 可以求出波长吗？
任一传播方向的平面波
• 在传播方向余弦为 (cos, cos)
的一般情况下，x-y平面上的等相 位线是一些平行斜线。
整理ppt
基尔霍夫衍射理论—基尔霍夫衍射公式
在单色点源照明下（就是球面波照明情况），平面孔径后 方光场中任一点Q的复振幅为
U (Q )j1 a 0 e r 0 jk r 0 c o s (n ,r)- 2 c o s (n ,r 0 ) e r jk rd s
n r0 P0
P
U(Q)j1U0(P)K()erjkr dS
第二章 标量衍射理论
光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。当遇 到障碍物时，光波会发生衍射。
电磁波是矢量波，严格电磁场衍射理论必须考虑其电场 强度和磁场强度的矢量性。
一定条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联 系，电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程）— — 光波作为标量处理
标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多; （2）观察点距离衍射孔整足理pp够t 的远。
U x ,y A e x p j2fx x fyy
整理ppt
1.5 XY平面的光场分布（复振幅分布）空间频谱（角谱）
当XY观察平面上不是单一的平面波，而是复杂图像 （单色）时，利用傅里叶变换可以对其分析，即：
F （ U （ x,y） A ） (fx,fy)
Ux,y A fx, fy expj2 fxxfyy dfxdfy
平面波空间频率
时刻注意物理图像：
在XY平面上是一系列平
等相位线方程为
行于Y的直线
xc o s c
复振幅在xy平面上周期分布的空间周期，可以用相位差的两相
邻等相位线的间距X表示
kX cos=2
则有 X =
cos
x方向的空间频率用 f x 表示 单位 ： 1/mm
fx
1 X
cos
等相位线平行于y轴，可以认为沿y方向的空间周期
称为平面波的位相因子。 ✓ 思考题：在xy平面内等相位线是什么样的？
Answer: 等位线方程为
xcosycosC
不同C值所对应的等位相线是在xy平面内的一系列平行线，斜线方向的不 同对应于不同传播方向的平面波（由cosa和cosβ）决定。
平面波在空间的等位相面勒？
垂直于整理波ppt矢量K的一系列平面
整理ppt
空间频率的概念提供了一种理解光波行为的新手段， 可以和傅里叶变换紧密联系在一起。
这些公式不可小视!!1）已知空间频率就是已知传播方向， 2）与傅里叶变换很相似了
A e x p j 2 ( f x x f y y ) 描 述 了 一 个 在 X Y 平 面 内 的 平 面 波
X= cos
思考题： （1）若点光源位于x0y0平面的坐标原点，上式简化为什么？ （2）会聚球面波在徬轴近似下的复振幅表达式是什么？
整理ppt
2.1.3 平面波的复振幅
平面波也是光源最简单的一 种形式。平面波的特点是等相 位面是平面。
在各向同性介质中，等相面与 传播方向垂直，各点的振幅为 常数。
点光源发出的光波经透镜准直， 或者把点光源移到无穷远，可 以近似获得平面波
Σ
r
该公式与惠更斯-菲涅尔衍射公式完全相同。
意义在于：从理论上验证了别人的假 Q 整设理pp，t 模型更加有 U0(P) a0 ejkr0
代入基尔霍夫衍射公式，有
r0
其中：
U(Q)j1U0(P)K()erjkr dS
K()cos(n,r)-cos(n,r0)
因此y方向的空间频率
1
fy
整理ppt
Y
0
Y
X= cos
fx
1 X
cos
f 1
cos fx
单位 ： mm 单位 ： 1/mm
k
2
2
f
kxkc o s 2 fx
整理ppt
在xy平面内斜入射，已知平面波波长为750nm， 测量得到在玻璃中（n=1.5）的x方向等位相面 为周期1000nm，求1）波的传播方向，2）介 质中的空间频率；3）y方向的空间频率；4） 介质中的波数；
expj2fxxfyy
代表一个传播方向余弦为(cos =x、cos= y)的单 色平面波。
因此光场（复振幅）分布也可以看作为不同方向传播的单 色平面波分量的线性叠加，这就是角谱理论。
整理ppt
1、光波的数学描述
✓角谱定义
A c o s,c o s U x ,y e x p j2 c o sx c o sy d x d y
• X-y平面上沿x方向和y方向的复振
幅分布都是周期变化的，其周期空
间X和Y分别为 X= cos
Y cos
• 相应的空间频率分别为
fx
1 X
cos
1 cos f y
Y 整理ppt
任一传播方向的平面波
空间频率 ( f x , f y ) 表示x-y平面上的复振幅分布
U (x ,y )A e x p j2(fxxfyy )
2）根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔径外的阴影区
内 U0 (P) ，0 则衍射公式的积分限可以扩展到无穷，从而有：
U(Q)
ejkr
U0(P)K(
)
r
dS
U (Q )j1 a 0 e r 0 jk r 0 c o 整s 理( ppn t ,r)- 2 c o s (n ,r 0 ) e r jk rd s
——《论光》,惠更斯 , 1690
“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率（或波长）与入射波相 同的子波源；在其后任何地点的光振动，就是这些子波叠加的结果。”
——巴黎科学院,菲涅耳, 1818
1. 惠更斯-菲涅尔（1788-1827）原理
光场中任一给定曲面上的各面元可以看做子波源，这些 子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振 动，都可看做是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加 的结果。
2
若 射公式c 完j1 全并相代同入。衍射公式，该公式与惠更斯-菲涅尔衍
整理ppt
基尔霍夫衍射公式说明：
1）上述基尔霍夫衍射公式仅仅是单个球面波照明孔径的情况作出的讨 论，但衍射公式却适用于更普遍的任意单色光波照明孔径的情况。因为 任意复杂的光波可分解成简单的球面波的线性组合，波动方程的线性性 质允许对每一单个球面波分别应用上述原理，把所有点源在Q点的贡献 叠加。
其中， k 2 r
a0
UP a0 ejkr
r
为波数，表示单位长度上产生的相位变化； 表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离； 表示点光源的振幅。
思考题：对于会聚球面光波，复振幅表达式是什么？
Answer:
UP a0 ejkr
r
整理ppt
1、光波的数学描述
若点光源位于x0y0平面，则与其相距z(z>0)的xy平面上的光场分布是什么？在 z平面上：
整理ppt
整理ppt
1、光波的数学描述
对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波，在 xy平面上的复振幅为：（实际系统中总有观察平面）
Ux,y,zaexpjkzcosexpjkxcosycos aexpjkz1cos2cos2expjkxcosycos Aexpjkxcosycos
其中， exp jkxcosycos
对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：
rzxx02yy02
泰勒公式：f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a2整)z理(xpp-ta)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n!
此时，称A(cos/，cos/ )为xy平面上复振幅分布的角谱。 引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义： (1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的
单色平面波的叠加; (2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们
的值分别取决于角谱的模和幅角。
角谱如何求？就用傅里叶变换整理就ppt 行，注意坐标替换
整理ppt
试写出传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平 面上的复振幅分布（用空间频率来描述）
(fxcos/, fy0)
U (x ,y )A ex p (j2 fxx )
整理ppt
k kx kz;
朝X正方向， fx cos/;
2）不能，波长应该是不会变长的
3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变 化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。 也可由公式：X=波长/cosa得到。
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
UP a0 ejkr
r
rzxx02yy02
2z
思考，公式中的近似 条件为何位相里面不 考虑成r=z
jk z x x02 y y02
U P ae aee 0
2z
0 jkz j2 k z x x02 y y02
z
z
常量位相因子
二次位相因子
2.1.4 平面波空间频率
平面波的空间频率是信息光学中常用的基本物理量．深入理解 这个概念的物理含义是很重要的
首先研究波矢量位于xz平面内的简单情况，考虑 cos 0
U (x ,y ) A e x p (jk x c o s)
kx*x
光学问题里面坐标关整理系ppt比较复杂，建议考虑简单 在坐标系，尽量把复杂问题简单化
Ycos
Z= cos
fx
1 X
cos
fy
1 Y
cos
fz
cos
Ux,y,zaexpjkzcosexpjkxcosycos
也表明空间频率是 矢量，有3个分量，
Aexpjkxcosycos
满足矢量运算规则，
k2/; kxkcos
整理ppt
与时间频率完全不 同
1、光波的数学描述
思考题： 空间频率为负，其代表什么物理意义？
代表了一个传播方向余弦为 (cos, cos)
的单色平面波。
我们的不是某一个平面上而是整个空间光场分
布，可以类似地定义沿z方向的空间频率
有
fz
cos
U ( x ,y ,z ) a e x p j2(fx x fy y fz z )
由
有
cos2cos2cos21
fx2 fy2 fz2 12
整理ppt
主要内容
1、光波的数学描述 2、基尔霍夫衍射理论 3、衍射的角谱理论 4、菲涅耳衍射 5、夫朗和费衍射 6、衍射的巴比涅原理 7、衍射光栅 8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*
整理ppt
光波的数学描述
整理ppt
整理ppt
整理ppt
1、光波的数学描述
1.2 球面波
单色球面波在空间任意一点P所产生的复振幅为
其数学表达式为：
ejkr
U(Q)c U0(p)k(
整理ppt
)
r
dS
主要问题：
1 该理论缺乏严格的理论依据。 2 常数c中应包含exp(-jπ/2)因子，惠更斯-菲涅
尔原理无法解释。 3 K(θ)的具体函数形式难以确定。
科研需要理想主义，更需要实干家
整理ppt
2. 基尔霍夫衍射理论
基尔霍夫（1824～1887）利用数学工具格林 定理，通过假定衍射屏的边界条件，求解波动 方程，导出了更严格的衍射公式 ，从而把惠更 斯—菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论基础 上。
A fx, fyUx,yexpj2fxxfyydxdy
其中，
fxcos fycos
A(x,y)称为复振幅分布U(x,y)的空间频谱。
整理ppt
U x ,y A fx,fye x p j2 fxx fyy d fx d fy
复振幅分布的分解观点：
平面上的复振幅分布U(x,y)看作空间频率不同的复指数分量的 线性组合，各频率分量的权重因子是A(x,y)。
2.2 基尔霍夫衍射理论
讨论的问题是：如何求解无限大平面上孔径后面的光场分布
更具体化一点的模型就是：
能否由如图孔径平面上的场
分布计算孔径后面任一点Q
处的复振幅？
这是一个根据边界值求解波
入射光
Q
动方程的问题。
整理ppt
“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波 ”，并且，“后一时刻的波前的位置是所有这些子波前的包络面。”
波的传播方向，前向，后向
已知等位相面的图，会写出平面 波的表达式吗？
整理ppt
1、光波的数学描述
如右图所示，等相位线是一组斜平行线。很容易确定其沿 x和y方向的空间频率为
fx
1 X
cos
fy
1 Y
cos
则xy平面上的复振幅分布可表示为
U x ,y A e x p jk x c o s y c o s
4）可以，先求出K=kx/cos，然后求出波整长理ppt
思考：1）在XY平面上，是朝何 方向传播的平面波？空间频率为 多少？
2）周期X能认为是波长吗？
3）波长应该如何确定？
4）如果已知波的传播方向和Kx， 可以求出波长吗？
任一传播方向的平面波
• 在传播方向余弦为 (cos, cos)
的一般情况下，x-y平面上的等相 位线是一些平行斜线。
整理ppt
基尔霍夫衍射理论—基尔霍夫衍射公式
在单色点源照明下（就是球面波照明情况），平面孔径后 方光场中任一点Q的复振幅为
U (Q )j1 a 0 e r 0 jk r 0 c o s (n ,r)- 2 c o s (n ,r 0 ) e r jk rd s
n r0 P0
P
U(Q)j1U0(P)K()erjkr dS
第二章 标量衍射理论
光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。当遇 到障碍物时，光波会发生衍射。
电磁波是矢量波，严格电磁场衍射理论必须考虑其电场 强度和磁场强度的矢量性。
一定条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联 系，电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程）— — 光波作为标量处理
标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多; （2）观察点距离衍射孔整足理pp够t 的远。
U x ,y A e x p j2fx x fyy
整理ppt
1.5 XY平面的光场分布（复振幅分布）空间频谱（角谱）
当XY观察平面上不是单一的平面波，而是复杂图像 （单色）时，利用傅里叶变换可以对其分析，即：
F （ U （ x,y） A ） (fx,fy)
Ux,y A fx, fy expj2 fxxfyy dfxdfy
平面波空间频率
时刻注意物理图像：
在XY平面上是一系列平
等相位线方程为
行于Y的直线
xc o s c
复振幅在xy平面上周期分布的空间周期，可以用相位差的两相
邻等相位线的间距X表示
kX cos=2
则有 X =
cos
x方向的空间频率用 f x 表示 单位 ： 1/mm
fx
1 X
cos
等相位线平行于y轴，可以认为沿y方向的空间周期
称为平面波的位相因子。 ✓ 思考题：在xy平面内等相位线是什么样的？
Answer: 等位线方程为
xcosycosC
不同C值所对应的等位相线是在xy平面内的一系列平行线，斜线方向的不 同对应于不同传播方向的平面波（由cosa和cosβ）决定。
平面波在空间的等位相面勒？
垂直于整理波ppt矢量K的一系列平面
整理ppt
空间频率的概念提供了一种理解光波行为的新手段， 可以和傅里叶变换紧密联系在一起。
这些公式不可小视!!1）已知空间频率就是已知传播方向， 2）与傅里叶变换很相似了
A e x p j 2 ( f x x f y y ) 描 述 了 一 个 在 X Y 平 面 内 的 平 面 波
X= cos
思考题： （1）若点光源位于x0y0平面的坐标原点，上式简化为什么？ （2）会聚球面波在徬轴近似下的复振幅表达式是什么？
整理ppt
2.1.3 平面波的复振幅
平面波也是光源最简单的一 种形式。平面波的特点是等相 位面是平面。
在各向同性介质中，等相面与 传播方向垂直，各点的振幅为 常数。
点光源发出的光波经透镜准直， 或者把点光源移到无穷远，可 以近似获得平面波
Σ
r
该公式与惠更斯-菲涅尔衍射公式完全相同。
意义在于：从理论上验证了别人的假 Q 整设理pp，t 模型更加有 U0(P) a0 ejkr0
代入基尔霍夫衍射公式，有
r0
其中：
U(Q)j1U0(P)K()erjkr dS
K()cos(n,r)-cos(n,r0)
因此y方向的空间频率
1
fy
整理ppt
Y
0
Y
X= cos
fx
1 X
cos
f 1
cos fx
单位 ： mm 单位 ： 1/mm
k
2
2
f
kxkc o s 2 fx
整理ppt
在xy平面内斜入射，已知平面波波长为750nm， 测量得到在玻璃中（n=1.5）的x方向等位相面 为周期1000nm，求1）波的传播方向，2）介 质中的空间频率；3）y方向的空间频率；4） 介质中的波数；
expj2fxxfyy
代表一个传播方向余弦为(cos =x、cos= y)的单 色平面波。
因此光场（复振幅）分布也可以看作为不同方向传播的单 色平面波分量的线性叠加，这就是角谱理论。
整理ppt
1、光波的数学描述
✓角谱定义
A c o s,c o s U x ,y e x p j2 c o sx c o sy d x d y
• X-y平面上沿x方向和y方向的复振
幅分布都是周期变化的，其周期空
间X和Y分别为 X= cos
Y cos
• 相应的空间频率分别为
fx
1 X
cos
1 cos f y
Y 整理ppt
任一传播方向的平面波
空间频率 ( f x , f y ) 表示x-y平面上的复振幅分布
U (x ,y )A e x p j2(fxxfyy )
2）根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔径外的阴影区
内 U0 (P) ，0 则衍射公式的积分限可以扩展到无穷，从而有：
U(Q)
ejkr
U0(P)K(
)
r
dS
U (Q )j1 a 0 e r 0 jk r 0 c o 整s 理( ppn t ,r)- 2 c o s (n ,r 0 ) e r jk rd s
——《论光》,惠更斯 , 1690
“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率（或波长）与入射波相 同的子波源；在其后任何地点的光振动，就是这些子波叠加的结果。”
——巴黎科学院,菲涅耳, 1818
1. 惠更斯-菲涅尔（1788-1827）原理
光场中任一给定曲面上的各面元可以看做子波源，这些 子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振 动，都可看做是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加 的结果。
2
若 射公式c 完j1 全并相代同入。衍射公式，该公式与惠更斯-菲涅尔衍
整理ppt
基尔霍夫衍射公式说明：
1）上述基尔霍夫衍射公式仅仅是单个球面波照明孔径的情况作出的讨 论，但衍射公式却适用于更普遍的任意单色光波照明孔径的情况。因为 任意复杂的光波可分解成简单的球面波的线性组合，波动方程的线性性 质允许对每一单个球面波分别应用上述原理，把所有点源在Q点的贡献 叠加。
其中， k 2 r
a0
UP a0 ejkr
r
为波数，表示单位长度上产生的相位变化； 表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离； 表示点光源的振幅。
思考题：对于会聚球面光波，复振幅表达式是什么？
Answer:
UP a0 ejkr
r
整理ppt
1、光波的数学描述
若点光源位于x0y0平面，则与其相距z(z>0)的xy平面上的光场分布是什么？在 z平面上：
整理ppt
整理ppt
1、光波的数学描述
对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波，在 xy平面上的复振幅为：（实际系统中总有观察平面）
Ux,y,zaexpjkzcosexpjkxcosycos aexpjkz1cos2cos2expjkxcosycos Aexpjkxcosycos
其中， exp jkxcosycos