2017_2018学年高中数学第二章数列第10课时等差数列前n项和的性质与应用课件新人教B版必修5
等差数列与等差数列的求和与通项公式
等差数列与等差数列的求和与通项公式等差数列是指数列中任意两项之间的差值都是相等的数列。
在数学中，等差数列是一种常见的数列类型，具有许多独特的性质和特点。
本文将介绍等差数列的定义、性质以及如何求和与求通项公式。
一、等差数列的定义与性质等差数列的定义：对于数列a₁，a₂，a₃，…，aₙ，如果存在一个常数d，使得对于任意的整数n≥2，有aₙ - aₙ₋₁ = d，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的性质：1. 公差：等差数列中任意两项之间的差值称为公差，通常用字母d 表示。
2. 通项公式：等差数列中第n项的表达式称为通项公式，通常用字母aₙ表示。
3. 求和公式：等差数列的前n项和的表达式称为求和公式，通常用字母Sₙ表示。
二、等差数列的通项公式为了求等差数列的第n项，我们需要知道首项和公差。
首项a₁可以通过给定的数列第一项得到，公差d可以通过数列中任意两项之间的差值得到。
等差数列的通项公式可以通过以下公式得到：aₙ = a₁ + (n - 1) * d其中，aₙ表示等差数列的第n项，a₁表示首项，n表示项数，d表示公差。
三、等差数列的求和公式当我们想求等差数列的前n项和时，可以使用求和公式。
求和公式可以帮助我们快速计算等差数列的和，而不需要逐一相加。
等差数列的求和公式可以通过以下公式得到：Sₙ = (n / 2) * (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示等差数列的前n项和，n表示项数，a₁表示首项，aₙ表示第n项。
四、例题与应用例题1：已知等差数列的首项为3，公差为2，求该等差数列的第10项和前10项和。
解：根据等差数列的通项公式，可以得到第10项：a₁₀ = 3 + (10 - 1) * 2 = 21根据等差数列的求和公式，可以得到前10项和：S₁₀ = (10 / 2) * (3 + 21) = 120例题2：一个等差数列的首项为5，公差为3，已知前n项和为85，求n的值。
解：根据等差数列的通项公式和求和公式，可以得到以下方程：(n / 2) * (5 + aₙ) = 85(n / 2) * (5 + (5 + (n - 1) * 3)) = 85通过解方程，可以得到n的值为7。
高二等差数列知识点总结
高二等差数列知识点总结等差数列是数学中常见且重要的一种数列，它在高二数学课程中占据了较大的比重。
掌握等差数列的基本概念、性质以及相关应用是理解高中数学的基础。
本文将总结高二等差数列的相关知识点，包括等差数列的定义、通项公式、前n项和、性质与定理以及几道典型的应用题。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项之间的差值为一个常数，这个常数被称为公差。
等差数列可以记作{a₁, a₂, a₃, ..., aₙ}，其中a₁为首项，d为公差。
其通项公式可以表示为aₙ = a₁ + (n - 1)d。
二、等差数列的通项公式在求解等差数列的各项时，我们常常使用通项公式，它可以方便地计算出数列中任意一项的值。
对于等差数列而言，通项公式为aₙ = a₁ + (n - 1)d。
三、等差数列的前n项和求解等差数列的前n项和是数列的常见问题，我们可以通过使用等差数列的求和公式来简化计算。
等差数列的前n项和公式为Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)。
四、等差数列的性质与定理1. 等差数列的任意三项成等差数列。
2. 等差数列的前n项和与后n项和相等。
3. 若等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n - 1)d)。
4. 对于等差数列，若an > a1，则n > 1。
五、等差数列的应用等差数列不仅仅是数学理论，它也在实际生活中有着广泛的应用。
下面我们将介绍几个实际问题中常见的等差数列应用。
1. 求解数列中的某一项：已知等差数列{1, 4, 7, 10, ...}，求第10项的值。
首先我们可以确定首项a₁为1，公差d为3，然后使用通项公式aₙ = a₁ + (n - 1)d，代入n=10进行计算即可求解。
2. 求解数列的前n项和：已知等差数列{2, 5, 8, 11, ...}，求前6项的和。
同样使用前n项和公式Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)，代入n=6，a₁=2，d=3进行计算即可。
等差数列的性质与计算
等差数列的性质与计算等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。
在数学中，等差数列是一种常见且重要的数列形式。
本文将探讨等差数列的性质以及如何进行计算。
一、等差数列的性质1. 公差（公共差值）：等差数列中相邻两项之差称为公差，用d表示。
2. 首项：等差数列中的第一项，记作a1。
3. 通项公式：等差数列的通项公式用来表示任意一项的值，通常用an表示第n项。
通项公式可表示为：an = a1 + (n-1)d。
其中，n表示项数。
4. 数列求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式来计算。
求和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
其中，Sn表示前n项和。
二、等差数列的计算1. 已知两项求公差：若已知等差数列中的两项a和b，则可以通过计算差值得到公差。
公差d = b - a。
2. 已知首项和公差求任意项：若已知等差数列的首项a1和公差d，可以通过通项公式计算任意一项的值。
an = a1 + (n-1)d。
3. 已知首项和公差求前n项和：若已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，可以通过求和公式计算前n项和。
Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、示例1. 已知等差数列的首项为5，公差为3，求该数列的第10项的值。
根据通项公式，an = a1 + (n-1)d，代入已知条件得到an = 5 + (10-1)3，计算得到an = 5 + 27 = 32。
因此，该数列的第10项的值为32。
2. 已知等差数列的首项为2，公差为4，求该数列的前5项和。
根据求和公式，Sn = (n/2)(a1 + an)，代入已知条件得到Sn = (5/2)(2+ 2 + (5-1)4)，计算得到Sn = 5(2 + 10) = 60。
因此，该数列的前5项和为60。
总结：本文介绍了等差数列的性质与计算方法。
通过学习等差数列的公差、首项、通项公式以及求和公式，我们可以准确地计算等差数列中任意一项的值以及前n项的和。
等差数列在数学和实际生活中都具有很高的应用价值，希望本文能对读者有所帮助。
等差数列前n项和的性质
想一想： 在等差数列{an}中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么
关系？
S3n＝3(S2n－Sn)
思考2：若{an}为等差数列，那么
{Sn n
}是什么数列？
性质：数列{an}是等差数列
(2)∵an＝2n－1， ∴bn＝2n－112n＋1＝212n1－1－2n1＋1， ∴Bn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝121－13＋2113－15＋2115－17＋…＋122n1－1－2n1＋1 ＝121－2n1＋1＝2nn＋1.
『变式探究』
1.已知在正整数数列{an}中，前 n 项和 Sn 满足： Sn＝18(an＋2)2， (1)求证：{an}是等差数列； (2)若 bn＝12an－30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值．
则S2k 1 等于什么？ T2k 1
ak S2k 1 bk T2k 1
例4：Sn，Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项的和，
且
Sn Tn
7n 2 n3
，则
a5 b5
.
『变式探究』
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和
Bn，且
An Bn
7n 45，则使得 n3
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S12＞0， S13＜0. （1）求数列{an}公差d的取值范围；（2）指出 S1， S2， S3， …，S12中哪一个值最大。
4.数列{an}首项为23，公差为整数的等差数列，且第六 项为正，第七项为负. （1）求数列{an}的公差d； （2）求前n项和Sn的最大值； （3）当Sn>0时，求n的最大值；
等差数列前n项和性质及应用教案
等差数列前n项和性质及应用教案一、知识梳理等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则其第n项表示为an = a1 + (n-1)d。
1. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式即为等差数列中前n项之和。
设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和表示为Sn，则：Sn = (a1 + an) ×n / 2 = (2a1 + (n-1)d) ×n / 2。
2. 等差数列前n项和的求解步骤设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和表示为Sn，则求Sn的步骤如下：（1）求出an的值：an = a1 + (n-1)d。
（2）将a1、an代入Sn的公式，得到Sn = (a1 + an) ×n / 2。
（3）化简Sn的公式，得到Sn = (2a1 + (n-1)d) ×n / 2。
（4）根据公式计算Sn的值。
二、应用举例等差数列的前n项和性质及应用在数学问题中有着广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明。
例1：小明在一个等差数列中的第5项为11，公差为3，求该等差数列的前10项和。
解：设该等差数列的首项为a1，公差为d，则a5 = a1 + 4d = 11。
由此可得到方程组：a1 + 4d = 11，a1 + 9d = ?（要求解的第10项）。
解方程组得到a1 = -9，d = 5。
代入等差数列前10项和的公式可得：S10 = (2a1 + 9d) ×10 / 2 = -18 + 225 = 207。
例2：一个等差数列的首项为3，公差为4，它的前n项和等于560，求这个等差数列的第n项。
解：设该等差数列的第n项为an，则根据等差数列前n项和公式可得：Sn = (2a1 + (n-1)d) ×n / 2 = 560。
代入a1 = 3，d = 4，并整理方程，得到：2 ×3n + 4n^2 - 4n - 1120 = 0。
等差数列的前n项和公式的性质及应用 课件
因为 S2k＝2ka1＋12×2k(2k－1)d＝8a1＋42，
所以 8a1＋42＝54，故 a1＝32，
所以此数列的首项是32，公差是32，项数为 8.
法二：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)，
S奇＝24， 根据题意，得S偶＝30，
a2k－a1＝221，
12ka1＋a2k－1＝24， 即12ka2＋a2k＝30，
和 30，最后一项与第一项之差为221，求此数列的首项、公差以及项数． [解析] 法一：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)，
S奇＝24， 由已知得S偶＝30，
a2k－a1＝221，
S偶－S奇＝6， 所以a2k－a1＝221，
kd＝6，
k＝4，
即2k－1d＝221， 解得d＝32.
②若项数为 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an(an 为中间项)且 S 奇－S 偶＝ an ， n－1
SS偶 奇＝___n____.
(3)若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则{an}为等差数列等价于Snn是等差 数列． (4)若{an}、{bn}都为等差数列，Sn、Sn′为它们的前 n 项和，则abmm＝ SS′2m2－ m1－1. (5)项数(下标)的“等和”性质： Sn＝na12＋an＝nam＋2an－m＋1.
()
A．130
B．65
C．70
D．以上都不对
解析：S13＝a1＋2 a13×13＝a5＋2 a9×13＝130.
答案：A
3．已知某等差数列共 20 项，其所有项和为 75，偶数项和为 25，则
公差为( )
A．5
B．－5
C．－2.5
D．2.5
等差数列前n项和性质
公式应用
计算等差数列前n项和
利用等差数列前n项和公式， 可以快速计算出等差数列的前 n项和，避免了逐项相加的繁 琐过程。
判断等差数列的性质
通过等差数列前n项和公式， 可以推导出等差数列的一些性 质，如等差中项、等差数列的 和与项数的关系等。
解决实际问题
等差数列前n项和公式在实际 问题中有着广泛的应用，如计 算存款利息、求解物理问题等 。通过灵活运用公式，可以简 化问题求解过程。
等差数列求和与数学归纳法
数学归纳法是一种证明等差数列前n项和性质的有效方法。 通过数学归纳法，可以证明等差数列前n项和公式的正确性 ，以及推导其他相关性质。
06
总结与展望
总结等差数列前n项和性质
• 等差数列前n项和公式：等差数列前n项和S_n=n/2*[2a_1+(n-1)d]，其中a_1为首项，d为公差，n为项数。该公式用于计 算等差数列前n项的和。
等差数列是数列中的一种特殊情况，学生可以将 所学的知识和方法拓展到等比数列和其他类型的 数列中，加深对数列的理解和掌握。
掌握等差数列的求解方法
在学习等差数列的过程中，学生需要掌握各种求 解方法，如直接代入法、待定系数法、配方法等 。通过不断练习，提高解题速度和准确性。
结合实际问题进行应用
数列在现实生活中有着广泛的应用，如分期付款 、人口增长、物理运动等问题。建议学生结合实 际问题，运用所学的等差数列知识进行求解和分 析，提高解决实际问题的能力。
若两个等差数列的前n项和分别为S_n和T_n，且S_n/T_n=k（k为 常数），则这两个数列的公差之比为k。
对未来学习的建议
深入学习等差数列的性质
除了前n项和性质外，等差数列还有许多其他重 要的性质，如通项公式、中项性质等。建议学生 深入学习这些性质，并理解它们之间的联系和应 用。
2017-2018年度高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和讲义 新人教A版必修5
[例 4] 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当 n 为何值时，数列{an}的前 n 项和取得最大值． 【思路点拨】
跟踪训练 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？
解析：(1)因为 Sn＝－2n2＋n＋2， 所以当 n≥2 时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2 ＝－2n2＋5n－1，
所以 an＝Sn－Sn－1 ＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)
A．138
B．135
C．95
D．23
解析：由 a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，可得 d＝3，a1＝－4. 所以 S10＝－40＋10× 2 9×3＝95. 答案：C
3．(教材同类改编)等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35， 则 a1 等于( )
A．5 或 7 B．3 或 5 C．7 或－1 D．3 或－1
令 an≥0，则 11－2n≥0，解得 n≤121. ∵n∈N＋，∴n≤5 时，an>0，n≥6 时，an<0. ∴S5 最大．
方法归纳,
求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值有两种方法： (1)通项法 ①当 a1>0，d<0 时，{an}只有前面的有限项为非负数，从某 项开始其余所有项均为负数，所以由am≥0， am＋1≤0 可得 Sn 的最大值为 Sm；②当 a1<0，d>0 时，{an}只有前面的有限项为负 数，从某项开始其余所有项均为非负数，所以由
＝－4n＋3.
又 a1＝S1＝1，不满足 an＝－4n＋3， 所以数列{an}的通项公式是
2017_2018学年高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和2.3.1等差数列的前n项和课件新人教A版必修5
题型一
题型二
题型三
题型四
反思已知数列{an}的前n项和公式Sn,求通项公式an的步骤: (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1. (3)如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1,那么数列{an}的通项公式为 an=Sn-Sn-1; 如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1,那么数列{an}的通项公式要分 段表示为 an=
答案:D 【做一做2-2】 在等差数列{an}中,已知an=2n-1,则其前n项和 Sn= . 解析:易知a1=1,故
Sn=
������(������1 +������������ ) 2
=
������(1+2������-1) = 2
������2.
答案:n2
等差数列前n项和公式与函数的关系
剖析等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ 可以写为Sn= ������2 + ������1 ������ 若令 = 2 ������ ������, ������1 − 2 ������ 2 ������ 2
������(������-1) ������ . 2
【做一做2-1】 在等差数列{an}中,a1=1,d=1,则Sn等于( A.n B.n(n+1)
������(������+1) C.n(n-1) D. 2 ������(������-1) 解析:Sn=na1+ ������ = 2
).
������(������-1) ������(������+1) ������ + = . 2 2
题型一
题型二
题型三
等差数列的前n项和课件
当等差数列的公差d等于0时，数列中的每一项都相等，此时等差数列退化为常 数列。在这种情况下，前n项和公式将简化为求单一数值的和。
当d≠0时，等差数列前n项和的公式简化
总结词：公式简化
详细描述：当公差d不等于0时，等差数列前n项和的公式可以通过求和公式进行简化。具体来说，可以使用等差数列的通项 公式和求和公式来推导出一个更简单的公式，用于计算前n项和。
等差数列前n项和与首末项的和的关 系
等差数列前n项和等于首末项的和乘以项数再除以2。
THANKS
感谢观看
等差数列前n项和公式的变种形式
等差数列前n项和的平方公式
等差数列前n项和的平方等于首项与末项的平方和加上4倍的第二项到倒数第二项的各 项之和。
等差数列前n项和与中间项的和
等差数列前n项和等于中间项与其余各项和的平均值乘以项数。
等差数列前n项和公式的极限形式
等差数列前n项和的极限
当n趋向于无穷大时，等差数列前n项和的极限等于首 项与末项的和除以2。
等差数列的前n项和ppt课件
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的实际应用 • 等差数列前n项和的扩展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
前n项和公式的应用
前n项和公式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用。
前n项和公式可以用于解决等差数列 相关的问题，如求和、比较大小等。 此外，该公式还可以用于解决一些实 际问题，如计算存款利息、评估投数列退化为常数列
总结词
等差数列退化为常数列
等差数列的前n项和的性质
如何计算1+2+...+100?
高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个 数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒 数第三个数一组，...，每组数的和均都等于101,50个101就等于 5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了 结果.
如何计算1+2+...+100?
前n项和公式：Sn=n×(a1+an)/2=na1+n(n+1)/2
在等差数列{an}中，a1+an=a2+an-1=a3+an-2+......
计算：
(1)1+2+3+...+n
(2) 1+3+5+...+(2n-1)
例1
(3) 2+4+6+...+2n
(4) 1-2+3-4+5-6+... +(2n-1)-2n
作业
请输入文本内容 请输入文本内容 请输入文本内容 请输入文本内容 请输入文本内容
推导过程
等差数列{an}的前n项和Sn满足: Sn=a1+a2+...+an-1+an Sn=an+an-1+...+a2+a1 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+... 请输入文本内容 又a1+an=a2+an-1=a3+an-2+请..输. 入文本内容 Sn=n×(a1+an)/2=na1+n(n+1请)/输2入文本内容
高中数学《等差数列前n项和的性质及应用》课件
9
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解得 a1＝10mm＋2 20，d＝m402， 所以 S3m＝3ma1＋3m3m2 －1d＝210. 解法二：记数列{an}的前 n 项和为 Sn，由等差数列前 n 项和的性质知 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列，则 2(S2m －Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，又 Sm＝30，S2m＝100，所以 S2m－Sm ＝100－30＝70，所以 S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110，所 以 S3m＝110＋100＝210.
(2) 等 差 数 列 的 项 数 若 为 2n(n ∈ N*) 项 ， 则 S2n ＝
□ □ □ _0_8_n_(_a_1_＋__a_2n_)且 S 偶－S 奇＝____0_9_n_d____，SS奇偶＝___1_0_a_an_＋n_1___.
(3)等差数列 的项数若为 2n＋1(n∈N*) 项，则 S2n＋1＝
a2k－a1＝221，
12ka1＋a2k－1＝24， 即12ka2＋a2k＝30，
12
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
例 2 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项 之和分别为 24 和 30，最后一项与第一项之差为 10.5，求此 数列的首项，公差，项数．
解 解法一：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k ∈N*)．
S奇＝24， 根据题意，得S偶＝30，
r 的形式，则系数 p，q，r 的取值特点为
□ _0__1_p_，__q_，__r__均__为__常__数__且___p_≠__0_，__r_＝__0___.
等差数列前n项和的性质及应用
所以当n > 1时，
an
Sn
Sn1
n2
1 n [(n 1)2 2
1 (n 1)] 2
2n
1 2
当n = 1时，a1
S1
3 2
也满足上式。
因而，数列{an
}是一个首项为
3 ，公差为2的等差数列。 2
注：由上例得S
与
n
an
之间的关系：
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
的最值.
3.等差数列{an}前n项和的性质
在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有
性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列, 公差为 n2d
性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= － (m+p)
性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0
由(1)知 24 7
d
3
2d
∴Sn有最大值.
由上得 6 5 12 13 即 6 n 13
2d 2
2
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.
作业
求集合 M {mm 2n 1,n N,m 60}
的元素个数，并求这些元素的和.
作业
1、已知等差数列25,21,19, …的前n项和为Sn,求使 得Sn最大的序号n的值.
n
n1
n
两等差数列前n项和与通项的关系
性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且
前n项的和分别为Sn和Tn,则
an bn
S2n1 T2 n 1
新课5
倒序法求和
倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式 相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这 样的数列可用倒序相加法求和。
等差数列前n项和性质
S奇 S偶 S所有 1.当项数为2n（偶数）时：
（1）S偶
S奇
n • d (2)
S偶 S奇
an1 an
2.当项数为2n-1（奇数）时：
（1）S奇
S偶
an (an是中间项)(2)
S奇 S偶
n n 1
例2：已知等差数列{an}中，共有10项,S偶=15,S奇 =12.5, 求a1与d。 例3：已知等差数列{an}中，共有2n-1项,S奇 =290, S偶=261, 求项数与中间项。
例2：已知等差数列{an }中，共有10项,S偶 =15,S奇 =12.5, 求a1与d。
解 : 该等差数列的项数为10项,
S偶
S奇 =n
• d即15-12.5=5 • d,解得d
1 2
10 9 1
又 S偶 S奇 S10即15 12.5 10a1
2 2
解得a1
1 2
a1
1 2
,d
1 2
1.已知数列{an}的前项和Sn =2n2 -23n, （1）求其通项公式an；
（2）求Sn的最值。
1.解：(1)由题意可知：
当n 2时，an Sn Sn1 2n2 23n [2(n 1)2 23(n 1)] 2n2 2(n 1)2 23n 23(n 1) 4n 25
当n 1时，a1 21 S1
课堂练习：已知等差数列{an}中，共有2n+1项,S奇 =51, S偶 =42.5， a1 1,求项数及通项公式。
an 4n 25(n N )
(2)
Sn
2n2
23n
2(n2
23 2
n)
2(n
23)2 4
529 8
由二次函数的性质可知当n=6时,(Sn )min 66
高中数学 同步教学 等差数列前n项和的性质
2 题型探究
PART TWO
题型一 等差数列前n项和的性质的应用
例1 (1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的 和S3m； 解 方法一 在等差数列中, ∵Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差数列, ∴30,70,S3m－100成等差数列. ∴2×70＝30＋(S3m－100),∴S3m＝210. 方法二 在等差数列中，Smm，S22mm，S33mm成等差数列， ∴22Sm2m＝Smm＋S33mm. 即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
思考 若{an}是公差为d的等差数列,那么a1＋a2＋a3,a4＋a5＋a6,a7＋a8＋a9是 否也是等差数列？如果是,公差是多少？ 答案 (a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3) ＝3d＋3d＋3d＝9d, (a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d. ∴a1＋a2＋a3,a4＋a5＋a6,a7＋a8＋a9是公差为9d的等差数列.
知识点二 等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
1.公式
nn－1d Sn＝na1＋ 2 可化成关于
n
的表达式：Sn＝_d2_n_2_＋__a_1_－__d2__n_.当
d≠0 时，Sn 关于 n 的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n，Sn)在其
相应的 二次 函数的图象上，这就是说等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的
(2)Sn＝2dn2＋a1－2dn，若 d≠0，则从二次函数的角度看：当 d>0 时，Sn 有_最__小__值；
当 d<0 时，Sn 有_最__大__值.当 n 取最接近对称轴的自然数时，Sn 取到最值.
2017-2018学年高中数学 第二章 数列 第10课时 等差数列前n项和的性质与应用讲义 新人教B版必修5
(4)设Sn＝An2＋BnA，B为常数，A＝d2，B＝a1－d2， nS＋n＋11＝An＋1n2＋＋1Bn＋1＝A(n＋1)＋B， Snn＝An2＋n Bn＝An＋B.
∴nS＋n＋11－Snn＝A(n＋1)＋B－An－B＝A＝d2.
∴Snn是首项为a1，公差为d2的等差数列.
故Tn＝32－n232－n22＋022502n5＋n3n5≤0234n≥，35.
[类题通法]
等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列 {an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和 的关键是找到数列{an}的正、负项分界点处的n值，再分段求 和．
讲重点 讨论等差数列前n项和Sn最值问题的方法及注意事 项
利用不等式组
an≤0， an＋1≥0
或
an≥0， an＋1≤0，
可以确定正整数n，
使得等差数列{an}的前n项和Sn最小或最大．用这一方法解决这
类问题时要注意两点：①n是正整数；②求出n后需验证an是否
为零，若an为零，则最值Sn＝Sn－1；若an不为零，则最值为Sn.
变式训练1 若等差数列共有n项，其和为210，前四项的和 为124，后四项的和为156，求n的值．
解析：设前四项分别为a1，a2，a3，a4. 后四项分别为an－3，an－2，an－1，an. 则a1＋a2＋a3＋a4＝124，an－3＋an－2＋an－1＋an＝156， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝4(a1＋an)＝280， ∴a1＋an＝70，∴Sn＝na12＋an＝n×270＝210. ∴n＝6.
知识点2 等差数列前n项和的最值问题
(1)函数思想
等差数列的前n项和Sn＝pn2＋qn(p，q为常数，且p≠0， n∈N*)是n的二次函数，所以可以借助二次函数的图象、性质来
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
d d (4)设Sn＝An ＋BnA，B为常数，A＝2，B＝a1－2， Sn＋1 An＋12＋Bn＋1 ＝ ＝A(n＋1)＋B， n＋1 n＋1 2 Sn An ＋Bn ＝An＋B. n＝ n Sn＋1 Sn d ∴ － ＝A(n＋1)＋B－An－B＝A＝2. n＋1 n Sn d ∴ n 是首项为a1，公差为2的等差数列.
2说方法· 分类探究 类型一 等差数列前n项和的性质及其应用 【例1】 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和 为10，求其前110项之和．
思维启迪：解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即 可求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．
q ①如果顶点横坐标－ 2p 是正整数，Sn在顶点处取得最大值 (p<0)或最小值(p>0)． q ②如果顶点横坐标－ 2p 不是正整数，Sn在最接近顶点横坐 标的正整数处取得最大值(p<0)或最小值(p>0)．
(2)转折项法 ①当公差d>0时，数列{an}是递增数列，如果首项a1<0，那 么这个数列的负数项一定是有限个，即一定存在某一正整数k， 使 a1<a2<a3<…<ak≤0<ak＋1<…，则 S1>S2>S3>…≥Sk<Sk＋1<Sk＋2<…， 所以，此时Sn存在最小值，且最小值为Sk＝a1＋a2＋a3＋… ＋ak. ak≤0， 此时，可以利用不等式组 确定出正整数k的值． a ≥ 0 k＋1
(3)若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与 S2n－1 an S′n，则b ＝ . S′2n－1 n Sn (4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列 n 是等差数 d 列，且首项为a1，公差为2.
讲重点 性质证明如下： 2n2n－1 nn－1 (1)因为S2n－Sn＝2na1＋ d－na1－ d＝na1＋ 2 2 3n2－n d，(S3n－S2n)＋Sn＝ 2 nn－1 3n3n－1 2n2n－1 ＋na1＋ 2 d＝2na1＋ d － 2 na d 1－ 3na1＋ 2 2 2 6n2－2n 3 n －n d ＝ 2 na ＋ d 1 ＝2(S2n－Sn)． 2 2 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列，公差为(S2n－Sn) 2n2n－1 nn－1 2 －Sn＝2na1＋ d － 2 na － 2 × d ＝ n d. 1 2 2
所以S奇－S偶＝
na1＋a2n－1 S奇 2 n ＝a1＋(n－1)d＝an.所以 ＝ ＝ . S偶 n－1a2＋a2n－2 n－1 2
(3)因为数列{an}与{bn}均为等差数列，所以有：a1＋a2n－1＝ 2an，b1＋b2n－1＝2bn. 2n－1a1＋a2n－1 S2n－1 2 2an an 所以 ＝ ＝2b ＝b . S′2n－1 2n－1b1＋1 n n 2
1说基础· 名师导读 知识点1 等差数列前n项和的有关性质 (1)等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也构成等差数 列，且公差是n2d.如下所示：
(2)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则 S奇 an ①S2n＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd；③ ＝ . S偶 an＋1 若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则 S奇 ①S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)；②S奇－S偶＝an；③ ＝ S偶 n . n－1
(2)当等差数列的项数为2n(n∈N*)时，由等差数列的性质可 知：a1＋a2n＝an＋an＋1， 2na1＋a2n 所以，S2n＝ ＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)； 2 因为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1， 所以S偶－S奇＝(a2n－a2n－1)＋(a2n－2－a2n－3)＋…＋(a4－a3)＋ (a2－a1)＝nd.
③当公差d<0、首项a1>0时，等差数列{an}为正项递增数 列，故0<S1<S2<S3<…，所以不需要讨论其最值问题；同样，当 公差d<0、首项a1<0时，等差数列{an}是负项递减数列，故 0>S1>S2>S3>…，所以也不需要讨论其最值问题．
讲重点 讨论等差数列前n项和Sn最值问题的方法及注意事 项
②当公差d<0时，等差数列{an}是单调递减数列，如果首项 a1>0，那么这个数列的正数项一定是有限个，即一定存在某一 正整数k，使 a1>a2>a3>…>ak≥0>ak＋1>…，则 S1<S2<S3<…≤Sk>Sk＋1>Sk＋2>…， 所以，此时Sn存在最大值，且最大值为Sk＝a1＋a2＋a3＋… ＋ak. ak≥0， 此时，可以用不等式组 确定正整数k的值． ak＋1≤0
an≤0， 利用不等式组 an＋1≥0 an≥0， 或 an＋1≤0，
可以确定正整数n，
使得等差数列{an}的前n项和Sn最小或最大．用这一方法解决这 类问题时要注意两点：①n是正整数；②求出n后需验证an是否 为零，若an为零，则最值Sn＝Sn－1；若an不为零，则最值为Sn.
na1＋a2n－1 S奇 a1＋a2n－1 2an 2 an 所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ； S偶 na2＋a2n a2＋a2n 2an＋1 an＋1 2 当等差数列的项数为2n－1(n∈N*)时，有a1＋a2n－1＝2an， 2n－1a1＋a2n－1 2n－1×2an 所以S2n－1＝ ＝ ＝(2n－1)an. 2 2
2
知识点2 等差数列前n项和的最值问题 (1)函数思想 等差数列的前n项和Sn＝pn2＋qn(p，q为常数，且p≠0， n∈N*)是n的二次函数，所以可以借助二次函数的图象、性质来 研究等差数列前n项和的最值问题． 2 q q 由于Sn＝pn2＋qn＝p n＋2p 2－ 4p ，结合二次函数的性质可 知：