高考文科数学一轮复习：指数与指数函数
2025年高考数学一轮复习-2.5-指数与指数函数【课件】
课标要求
考情分析
1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.会画出具体指数函数的图象，理解指数函数的单调性与特殊点.
考点考法：高考命题以考查指数幂的运算性质、指数函数的单调性与特殊点、指数幂的大小比较为主，常以选择题或填空题的形式出现.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
2.(2023·山东烟台模拟)若 且 ，则函数 的图象恒过的定点的坐标为______.
解析：令 ，得 ，所以 ，所以函数 的图象恒过定点 .
核心考点 师生共研
02
考点一 指数幂的运算（自主练透）
1.已知 ， ，化简： ( )
A. B. C. D.
解析：选B.由题意得 .
由图象知，其在 上单调递减，所以实数 的取值范围为 .
【一题多变】
1.（变条件、变设问）若本例（2）的条件变为：函数 与直线 有两个不同交点，则实数 的取值范围是______.
解析：曲线 的图象是由函数 的图象向下平移一个单位长度后，再把位于 轴下方的图象沿 轴翻折到 轴上方得到的.作出直线 和曲线 的图象如图所示，
解析：由题意得 解得 故
指数函数图象的特点
（1）指数函数 （ ,且 ）的图象恒过点 ， ， ，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.
（2）函数 与 （ ，且 ）的图象关于 轴对称.
（3）在第一象限内，指数函数 （ ，且 ）的图象越高，底数越大.
【用一用】
1.函数 （ 是自然对数的底数）的大致图象是( )
由图象可得，如果曲线 与直线 有两个公共点，则 的取值范围是 .
2.（变条件、变设问）若本例（2）的条件变为：函数 的图象不经过第二象限，则实数 的取值范围是__________.
高考数学一轮复习指数与指数函数
0.1 −1 · a3 b−3 2
8
________．
5
解析： 2
1
4
1
−2
4ab−1
0.1
−1 ·
3
−2
1＝ 2
a3 b−3 2
1
1 3
−
1
−2 2a2 b 2
3
3
−2
2
10a b
＝2
3
3
−
3
2
2 a b 2
8
5
3＝ .
3
−
10a2 b 2
题后师说
巩固训练1
3
(1)式子
m· m4
6
m5
(m>0)的计算结果为(
，则a，b，c的大小顺序为(
9
7
8
B．a>b>c
D．a>c>b
)
角度二 解简单的指数不等式
例4
A．
C．
1 2x−1
3
已知函数f(x)＝
，则不等式f(x)≥
3
1
1
，+∞
B． −∞，
6
6
1
1
− ，+∞
D． −∞， −
4
4
9的解集为(
)
答案：B
解析：由题意可得
2
1
2x≥ ，解得x≤ .
3
6
故选B.
1 2x−1
例 3 [2023·黑龙江双鸭山模拟]已知a＝
a，b，c大小关系为(
)
A．a>b>c
B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>b>a
第五讲+指数与指数函数 课件——2025届高三数学一轮复习
要特别注意应分 a＞1 与 0＜a＜1 来研究.
考点一 指数幂的运算
1.化简 3 ab2 a2b2 (a，b 为正数)的结果是( 11 3 b (a6b4 )4
b2 A.a2
B.a2b2
a2 C.b2
) D.ab
12
78
解析：原式＝ a3b3 1
a2b2
2
a 3b3
21
＝a2b2.故选
B.
2025年高考一轮总复习
第二章 函数、导数及其应用
第五讲 指数与指数函数
1.根式 (1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1， 且 n∈N*.
(2)式子n a叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(3)(n a)n＝a.当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶数时，n an＝ |a|＝a－，aa，≥a0<，0.
4.指数函数y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
底数
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域为 R，值域为(0，＋∞) 图象过定点(0，1)
(续表)
底数
a>1
当 x>0 时，y>1；
性质 当 x<0 时，0<y<1
在定义域 R 上为增函数
0<a<1 当 x>0 时，0<y<1； 当 x<0 时，y>1 在定义域 R 上为减函数
考点二 指数函数的图象
[例 1](1)(多选题)若函数 y＝ax＋b－1(a>0，且 a≠1)的图象经
过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )
A.a>1
高考数学一轮复习课件25指数与指数函数
-20-
考点1
考点2
考点3
C
解析:因为y=0.6x在R上单调递减,所以b=0.61.5<a=0.60.6<1.
又c=1.50.6>1,所以b<a<c.
-21-
考点1
考点2
考点3
考向2 解简单的指数方程或指数不等式
例 4(2019 上海青浦区高三一模)不等式2
为 (-2,3)
.
2 -4-3
3
D,x =
1
1
3
=
1
3
x
-4
=
3
4
=
4
y 3
x
,故 C 正确;对于
,故 D 错误.故选 ABD.
-14-
考点1
考点2
考点3
指数函数的图象及其应用
D
D
[-1,1]
-15-
考点1
考点2
考点3
1
1
解析:(3)[-1,1] (1)函数 y=ax- 是由函数 y=ax 的图象向下平移 个单
值域不可能为R),故a的值为0.
-24-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指.当底
数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,
底ห้องสมุดไป่ตู้不同时,构造同一幂函数,然后比较大小;当底数、指数均不同
时,可以利用中间值比较.
2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单
1
A.0<a<
2
<a<1
<a<3
第3章+第5讲+指数与指数函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
5.函数y＝ax－a－1(a＞0，且a≠)的图象可能是( )
解析 函数 y＝ax－1a是由函数 y＝ax 的图象向下平移1a个单位长度得到 的，A 显然错误；当 a＞1 时，0＜1a＜1，平移距离小于 1，所以 B 错误；当 0＜a＜1 时，1a＞1，平移距离大于 1，所以 C 错误．故选 D.
1. 3
6
4 6 a9
3 a94＝________.
答案 a4
解析 原式＝[(a96)13]4[(a93)16]4＝a2·a2＝a4.
解析 答案
2．已知 3a＋2b＝1，则9a·33ab＝________.
答案 3
解析
因为
3a
＋
2b
＝
1
，
所
以
3 2
a
＋
b
＝
1 2
，
所
以
原
式
＝
＝ 3.
解析 答案
3．化简： 解
解析 答案
6 ． 若 曲 线 |y| ＝ 2x ＋ 1 与 直 线 y ＝ b 没 有 公 共 点 ， 则 b 的 取 值 范 围 是 ________.
答案 [－1,1] 解析 曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图象可得，如果曲线|y| ＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
解析 答案
8．若0<a<b<1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则x，y，z的大小关系为( )
A．x<z<y
B．y<x<z
C．y<z<x
D．z<y<x
解析 因为0<a<b<1，所以f(x)＝bx单调递减，故y＝ba>z＝bb；又幂函 数g(x)＝xb单调递增，故x＝ab<z＝bb，则x，y，z的大小关系为x<z<y.
2023年高考数学一轮复习：指数与指数函数
第四节
指数与指数函数
2023年高考数学总复习
内容索引
必备知识·自主学习
核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评
2.指数函数的图象与性质
【易错点索引】
序号易错警示典题索引
1注意有理指数幂性质的条件考点一、T1
2忽略底数的取值范围考点二、T1
3忽略指数函数的值域考点二、T3
4忽略恒成立与存在使之成立的差异考点三、角度3
3.(必修1P59习题A组T6改编)某种产品的产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为( )
A.y=a(1+p%)x(0<x<m)
B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N)
C.y=a(1+xp%)(0<x<m)
D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N)。
第04讲 指数与指数函数(四大题型)2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
__________
(0,1)
过定点_____，即x＝0时，y＝1
性质
y>1
0<y<1
当x>0时，_____；当x<0时，______
增函数
在(－∞，＋∞)上是_______
0<y<1
y>1
当x<0时，_____；当x>0时，_______
即所求实数m的取值范围为(−∞, 0]．
故答案为：(−∞, 0]．
题型三：指数函数中的恒成立问题
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）设 =
2 −2−
，当
2
∈ R时， 2 + + 1 > 0恒成立，则实数m的
取值范围是____________．
则满足2 − 4 < 0，即2 < 4，解得−2 < < 2，
且 → +∞, → −, () → 2 ，与图象相符，所以 < 0 ，
当() = 0时，e = ，
故选：C．
题型二：指数函数的图像及性质
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 = −4 + 1（ > 0且 ≠ 1）的图象恒过定点A，若点A的坐
掌握指数幂的运算性质.
一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、
（2）通过实例，了解指数函
2022年甲卷第12题，5分
2020年新高考II卷第11题，5分
大小的 比较和函数方程问题.
数的实际意义，会画指数函
文科数学高考第一轮复习 指数与指数函数(课堂PPT)
例 1、 化简求值：
(1)2350＋2－2·214－ －(0.01)0.5；
16 15
1 a
(3)(0.027) －17－2＋279 －( 2－1)0； -45
5 (4)6a
·b－2·(－3a－
b－1)÷(4a ·b－3)
.
5 ab 4ab2
【新坐标】
12
考点 2 指数函数的图象及应用 1、画指数函数 y＝ax 的图象，应抓住三个关键点: (1，a)，(0,1)，(－1，1a)， 2、熟记指数函数 y＝10x，y＝2x，y＝(110)x，y＝(12)x 在同一坐标系中 图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系． 3、对于图像问题的选择题，可以考虑特殊值法； 4、对于指数型复合函数的图像问题，一般从最基本的指数函数的 图像入手，通过平移、伸缩、对称变化而得到； 5、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函 数图像数形结合求解. 6、需特别注底数 a>1 与 0<a<1 两种不同情况;
y
要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，
则有c<0且a>0.
o
x
16
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则
下列关系式中一定成立的是( D )
A．3c>3a
B．3c>3b
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2．
【解析】画出 f(x)＝|3x－1|的图象
关于y轴对称
8
问题2：如图是指数函数
(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底 数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？
高考数学一轮复习指数与指数函数
答案：AD
3 ． 若 函 数 y ＝ 21 － x ＋ m 的 图 象 不 经 过 第 一 象 限 ， 求 m 的 取 值 范 围 为 ________． 解析：y＝21－x＋m＝12x－1＋m，函数 y＝12x－1 的图象 如图所示， 则要使其图象不经过第一象限，则 m≤－2. 故 m 的取值范围为(－∞，－2]． 答案：(－∞，－2]
当
x< 0
时
，
x3x＋3－x－2 |x|
＝
x3x＋3－x－2 －x
＝
－
(3
x
＋
3
－
x
－
2
)，
由
x3x＋|x3|－x－2> 34，
得 3x＋3－x－2< －4，即 3·(3x)2－2·3x＋3< 0，无解． 3
综上所述，不等式的解集为(1，＋∞)．
(2)由题意，14x2－8> 42x 即 4 > －x2＋8 42x，所以－x2＋8> 2x，x2＋2x－8< 0，
在 R 上为增函数
在 R 上为减函数
Ⅱ.基础小题的即时强化
一、教材经典小题的回顾拓展
1．(人教 A 版必修①P 109·T1 改编)下列运算中正确的是
A . 2－π2＝2－π
C
.m
1 4
n
3 8
8＝mn32
B ．a －1a＝ －a D .(x3－ )2 3＋ 2＝x9
()
解析：对于 A ,2－π< 0，所以 2－π2＝π－2，错误；对于 B ，因为－
质法 的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解
图象法
解形如ax>bx的不等式，可利用对应的函数图象求解
角度 3 求参数值(范围) [例 3] (1)已知函数 f(x)＝2 (m |2x－m| 为常数)，若 f(x)在区间[2，＋∞)上 单调递增，则 m 的取值范围是________． (2)若函数 f(x)＝13ax2－4x＋3有最大值 3，则 a＝________.
2025届高考数学一轮复习讲义函数之 幂函数、指数与指数函数
C. 当x＞1时，f(x)＞1
[解析]
D.
(1 )＋(2 )
1 ＋2
当0＜x1＜x2时，
＜f(
)
2
2
1
α
α
因为幂函数 f ( x )＝ x 的图象经过点(16，4)，所以16 ＝4，α＝ ，所以 f ( x )
2
1
2
＝ ＝ ，由其图象可知，A错误，B正确；当 x ＞1时， f ( x )＞ f (1)＝1，故C正
(2)指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a＞1)
y＝ax(0＜a＜1)
图象
函数的定义域为R；值域为⑲ (0，＋∞) .
函数图象过定点⑳ (0，1) ，即当x＝0时，y＝1.
性质
当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.
y＞1.
函数在R上单调递㉑ 增 .
函数在R上单调递㉒ 减 .
确；由 f ( x )＝
(1 )＋(2 )
1 ＋2
的图象可知
＜f(
)，故D正确.故选BCD.
2
2
)
3. 函数 f ( x )＝ ax －1＋2( a ＞0，且 a ≠1)的图象恒过定点 (1，3) .
4. 已知函数 f ( x )＝ ax ＋ b ( a ＞0，且 a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则 a ＋ b
＝⑭
( a ＞0， m ， n ∈N*，且 n ＞1).
1
( a ＞0， m ， n ∈N*，且 n ＞1).
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
(3)有理数指数幂的运算性质
高三数学 第一轮复习 05：幂和指数、指数方程
高中数学第一轮复习05幂和指数、指数方程·知识梳理·模块01：幂与指数一、指数幂的拓展1、幂的有关概念：a 的n 次方叫做a 的n 次幂，记作n a 。
称a 为幂的底数（简称为底），n 为幂的指数。
对任意给定的实数,ab 及正整数,s t 都有，s t s t a a a +=；()s t st a a =；()t t t ab a b =成立。
正整数指数幂：零指数幂：01(0)a a =≠*)n n a a a a n N =⋅⋅⋅⋅⋅∈个（负整数指数幂：1n n a a-=≠（a 0,n为正整数）分数指数幂：0,,1)m na a m n n =>>为正整数且有理指数幂：10,,,1)m nm naa m n n a-==>∈>正整数2、整数指数幂：对任意给定的非零实数,a b 及整数,s t ，s t s t a a a +=；()s t st a a =；()t t t ab a b =成立。
3、根式的概念：一般地，如果n 为大于1的整数，且n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根。
当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根是唯一存在的，表示。
当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.这时，正数a 的正的nn 次方根用.而负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是0=。
n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
当n a =；当n ||a =。
[知识补充]1、一般地说，设n 是大于1的整数，当0a >时，称满足n x a =的唯一正数x 为a 的1n次幂，记作1n x a =。
这样在条件0a >时，1n a 就是a 的n 1n a =0,a n >为大于1的整数）。
2、当0a <且n 是正奇数时，存在唯一的实数x ，使得0n x a =<，此时1n a 能被定义。
2025年高考数学一轮知识点复习-第10讲-指数与指数函数-专项训练【含解析】
第10讲-指数与指数函数-专项训练（原卷版）A组夯基精练一、单项选择题1．对于a＞0，b＞0，下列等式成立的是()A．a23·a32＝a B．(a12a13)6＝a3a2C．(a3)2＝a9D．a－12·a12＝02．已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞c＞a D．c＞b＞a3．已知f(x)＝x e xe ax－1是偶函数，则a＝()A．－2B．－1C．1D．24．已知函数f(x)＝e－(x－1)2，记a＝b＝c＝() A．b＞c＞a B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b二、多项选择题5．已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a＜b)，则()A．2a＋2b＞2B．∃a，b∈R，使得0＜a＋b＜1C．2a＋2b＝2D．a＋b＜06．已知函数f(x)＝3x－1()3x＋1，则下列说法正确的有A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0三、填空题7．函数f (x )＝a 2x +1－1(a ＞0且a ≠1)过定点___．.8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f (x )＝12×4x－3×2x ＋4(0＜x ＜2)，则函数y ＝[f (x )]的值域为____．9．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与时间t (单位：h)间的关系为P ＝P 0·e －kt ，其中P 0，k 是正的常数．如果2h 后还剩下90%的污染物，5h 后还剩下30%的污染物，那么8h 后还剩下__的污染物．四、解答题10．计算下列各式的值：(1)6423＋2－(e －π)＋(413×512)6；(2)－12－10(2－1)＋10(3－2)＋(－8)43.11．已知a ∈R ，函数f (x )＝2(a -3)x ＋(3a -4).(1)当a ＝1时，解不等式12＜f (x )＜22；(2)若关于x 的方程f (x )－412x ＋a ＝0有且仅有一个负数根，求实数a 的取值范围．B 组滚动小练12．“a ＝1”是“函数f (x )＝log 2ax ＋1x －1是奇函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．(多选)若a ＜0＜b ，且a ＋b ＞0，则()A ．ab ＞－1B ．|a |＜|b |C ．1a ＋1b ＞0D ．(a －1)(b －1)＜114．已知二次函数f (x )＝－x 2＋mx ＋3，且{x |f (x )≤0}＝(－∞，－1]∪[n ，＋∞).(1)求函数f (x )在[－2，2]上的最小值；(2)若不等式f (2－x )＋(a 2－3a )·2－x －12≤0对任意的x ∈[－3，－1]恒成立，求实数a 的取值范围．第10讲-指数与指数函数-专项训练（解析版）A 组夯基精练一、单项选择题1．对于a ＞0，b ＞0，下列等式成立的是(B)A ．a 23·a 32＝aB ．(a 12a 13)6＝a 3a 2C ．(a 3)2＝a9D ．a－12·a 12＝02．已知a ＝0.30.6，b ＝0.30.5，c ＝0.40.5，则(D )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a【解析】方法一：由指数函数y ＝0.3x 在定义域内单调递减，得a ＜b .由幂函数y ＝x 0.5在定义域内单调递增，得c ＞b .综上，c ＞b ＞a .方法二：因为a b ＝0.30.1＜1，且bc ＝＜1，又a ，b ，c 都为正数，所以c ＞b ＞a .3．已知f (x )＝x e xe ax －1是偶函数，则a ＝(D)A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】因为f(x)＝x e xe ax－1为偶函数，所以f(x)－f(－x)＝x e xe ax－1－(－x)e－xe－ax－1＝x[e x－e(a-1)x]e ax－1＝0.又因为x不恒为0，所以e x－e(a-1)x＝0，即e x＝e(a-1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.4．已知函数f(x)＝e－(x－1)2，记a＝b＝c＝(A) A．b＞c＞a B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b【解析】令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x＝1.因为62－1－＝6＋32－42，而(6＋3)2－42＝9＋62－16＝62－7＞0，所以62－1＞1－32.由二次函数性质知因为62－1＝6＋22－42，而(6＋2)2－42＝8＋43－16＝43－8＝4(3－2)＜0，即62－1＜1－22，所以综上，y＝e x为增函数，故b＞c＞a.二、多项选择题5．已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a＜b)，则(CD)A．2a＋2b＞2B．∃a，b∈R，使得0＜a＋b＜1C．2a＋2b＝2D．a＋b＜0【解析】作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确；由基本不等式可得2＝2a＋2b＞22a·2b＝22a＋b，所以2a＋b＜1，则a＋b＜0，故B错误，D正确．6．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，则下列说法正确的有(AC)A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0【解析】f (x )的定义域为R .对于A ，由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，函数f (x )的图象关于原点对称，故A 正确，B 错误；对于C ，设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y ＞0，即1＋yy －1＜0，解得－1＜y ＜1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，故C 正确；对于D ，f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，故D 错误．三、填空题7．函数f (x )＝a 2x +1－1(a ＞0且a ≠1)过定点．【解析】因为y ＝a t (a ＞0且a ≠1)过定点(0，1)，令2x ＋1＝0，得x ＝－12，故1－1＝0，故f (x )－12，8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f (x )＝12×4x－3×2x ＋4(0＜x ＜2)，则函数y ＝[f (x )]的值域为__{－1，0，1}__．【解析】f (x )＝12×4x －3×2x ＋4(0＜x ＜2)，令t ＝2x ，t ∈(1，4)，令g (t )＝12t 2－3t ＋4，二次函数开口向上，对称轴为t ＝3，g (1)＝32，g (3)＝－12，g (4)＝0，所以g (t )∈－12，f (x )∈－12，[f (x )]∈{－1，0，1}．9．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与时间t (单位：h)间的关系为P ＝P 0·e －kt ，其中P 0，k 是正的常数．如果2h 后还剩下90%的污染物，5h 后还剩下30%的污染物，那么8h 后还剩下__10__%的污染物．【解析】设初始污染物为P ′0·e -2k ＝910P ′，0·e -5k ＝310P ′，两式相除得e 3k ＝3，所以8h 后P ＝P 0·e -8k ＝e -3k ·P 0·e -5k ＝13·310P ′＝110P ′，即还剩下110×100%＝10%的污染物．四、解答题10．计算下列各式的值：(1)6423＋2－(e －π)＋(413×512)6；【解答】原式＝(43)23＋32－1＋42×53＝42＋32－1＋42×53＝2024.(2)－12－10(2－1)＋10(3－2)＋(－8)43.【解答】原式＝102－102＋10＋10＋[(－2)3]43＝20＋(－2)4＝36.11．已知a ∈R ，函数f (x )＝2(a -3)x ＋(3a -4).(1)当a ＝1时，解不等式12＜f (x )＜22；【解答】当a ＝1时，f (x )＝2-2x -1，由12＜f (x )＜22，可得2-1＜2-2x -1＜2－12，所以－1＜－2x －1＜－12，即－14＜x ＜0－14，(2)若关于x 的方程f (x )－412x ＋a ＝0有且仅有一个负数根，求实数a 的取值范围．【解答】由2(a -3)x ＋(3a -4)－412x ＋a ＝0，可得2(a －3)x ＋(3a －4)＝21x +2a ，所以(a－3)x ＋(3a －4)＝1x ＋2a ，即(a －3)x 2＋(a －4)x －1＝0，即[(a －3)x －1](x ＋1)＝0.若a ＝3，则x ＝－1，满足题意.若a ＝2，则(－x －1)(x ＋1)＝0，x ＝－1，满足题意.若a ≠3，方程有2个根，为－1和1a －3，则1a －30，所以a ＞3.综上，a ≥3或a ＝2.B 组滚动小练12．“a ＝1”是“函数f (x )＝log 2ax ＋1x －1是奇函数”的(C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】当a ＝1时，f (x )＝log 2x ＋1x －1，由x ＋1x －1＞0，即(x ＋1)(x －1)＞0，得x ＞1或x ＜－1，定义域关于原点对称，且f (x )＋f (－x )＝log 2x ＋1x －1log 2－x ＋1－x －1＝log 2x ＋1x －1＋log 2x －1x ＋1＝0，故f (x )为奇函数，故“a ＝1”是“函数f (x )＝log 2ax ＋1x －1是奇函数”的充分条件.又当f (x )为奇函数时有f (x )＋f (－x )＝log 2ax ＋1x －1＋log 2－ax ＋1－x －1＝log 2ax ＋1x －1＋log 2ax －1x ＋1＝0，即log0，则a 2x 2－1x 2－1＝1，解得a ＝±1.当a ＝1时，函数f (x )＝log 2ax ＋1x －1是奇函数，当a ＝－1时，f (x )＝log 2－x ＋1x －1无意义，故a ＝1.即“a ＝1”是“函数f (x )＝log 2ax ＋1x －1是奇函数”的必要条件．综上，“a ＝1”是“函数f (x )＝log 2ax ＋1x －1是奇函数”的充要条件．13．(多选)若a ＜0＜b ，且a ＋b ＞0，则(ABD )A ．ab ＞－1B ．|a |＜|b |C ．1a ＋1b＞0D ．(a －1)(b －1)＜1【解析】对于A ，由a ＋b ＞0，可得a ＞－b ，因为b ＞0，所以ab＞－1，所以A 正确；对于B ，因为|a |－|b |＝－a －b ＝－(a ＋b )＜0，所以|a |＜|b |，所以B 正确；对于C ，因为a ＜0＜b ，且a ＋b ＞0，所以1a ＋1b ＝b ＋aab ＜0，所以C 错误；对于D ，因为a ＜0＜b ，且a ＋b ＞0，所以ab ＜0，则(a －1)(b －1)＝ab －(a ＋b )＋1＜1，所以D 正确．14．已知二次函数f (x )＝－x 2＋mx ＋3，且{x |f (x )≤0}＝(－∞，－1]∪[n ，＋∞).(1)求函数f (x )在[－2，2]上的最小值；【解答】二次函数f (x )＝－x 2＋mx ＋3，由{x |f (x )≤0}＝(－∞，－1]∪[n ，＋∞)，可得－1，n 是x 2－mx －3＝0的两个根，所以1＋n ＝m ，1×n ＝－3，解得＝2，＝3，所以f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4.当x ∈[－2，2]时，根据二次函数的性质，可得函数f (x )在[－2，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，由对称性可知f (x )min ＝f (－2)＝－4－4＋3＝－5，所以函数f (x )在[－2，2]上的最小值为－5.(2)若不等式f (2－x )＋(a 2－3a )·2－x －12≤0对任意的x ∈[－3，－1]恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】设2－x ＝t ，由x ∈[－3，－1]，可得t ∈[2，8].不等式f (2－x )＋(a 2－3a )·2－x －12≤0对任意的x ∈[－3，－1]恒成立，即不等式f (t )＋(a 2－3a )·t －12≤0对任意的t ∈[2，8]恒成立，即不等式－t 2＋2t ＋3＋(a 2－3a )·t －12≤0对任意的t ∈[2，8]恒成立，所以a 2－3a ＋2≤t ＋9t对任意的t ∈[2，8]恒成立．又由t ＋9t ≥2t ·9t ＝6，当且仅当t ＝3时取等号，所以a 2－3a ＋2≤6，即a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围为[－1，4。
2022届高考数学(文)大一轮复习检测：第二章第5讲指数与指数函数 Word版含答案
第5讲 指数与指数函数, [同学用书P31])1．根式(1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)．②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a x a >10<a <1图象定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质过定点(0，1)当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算简洁消灭的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不留意运算的先后挨次等．(2)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特殊留意区分a >1或0<a <1. (3)在解形如a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应留意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .1.教材习题改编 化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为() A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 [答案] B2.教材习题改编 设x ＋x －1＝3，则x 2＋x －2的值为( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 B [解析] 由于x ＋x －1＝3.所以(x ＋x －1)2＝9，即x 2＋x －2＋2＝9，所以x 2＋x －2＝7.3．函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x ) A [解析] 由f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y ＝1－x 的图象上．4.教材习题改编 若a >1且a 3x ＋1>a －2x ，则x 的取值范围为________．[解析] 由于a >1，所以y ＝a x 为增函数，又a 3x ＋1>a －2x ，所以3x ＋1>－2x ，即x >－15.[答案] ⎝⎛⎭⎫－15，＋∞ 5．若指数函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． [解析] 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. [答案] (－2，－1)∪(1，2)指数幂的运算[同学用书P32][典例引领]化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a －12b －1÷()4a 23·b－312. 【解】 (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －312＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． [留意] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝⎛⎭⎫27125－13－⎝⎛⎭⎫2790.5； (2)⎝⎛⎭⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.[解] (1)原式＝0.32＋⎝⎛⎭⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b －3210a 32b －32＝85. 指数函数的图象及应用[同学用书P32][典例引领](1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)若方程|3x －1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．【解析】 (1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观看出函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点， 所以方程有一解．【答案】 (1)D (2){0}∪[1，＋∞)若将本例(2)变为函数y ＝|3x－1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围如何？[解] 由本例(2)作出的函数y ＝|3x －1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的争辩，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [通关练习]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )A [解析] 将函数解析式与图象对比分析，由于函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两共性质．2．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．[解析] 方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点． (1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.[答案] ⎝⎛⎭⎫0，12 指数函数的性质及应用(高频考点)[同学用书P33]指数函数的性质主要是其单调性，特殊受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式消灭． 高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)比较指数幂的大小；(2)解简洁的指数方程或不等式； (3)争辩指数型函数的性质；(4)求解指数型函数中参数的取值范围． [典例引领](1)(2022·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b(2)(2021·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(3)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)＞0的解集为________．【解析】 (1)由于a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .(2)当a ＜1时，41－a ＝21，所以a ＝12；当a ＞1时，代入不成立． (3)f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0，解得x ＞4或x ＜0.所以不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜0}．【答案】 (1)A (2)12 (3){x |x ＞4或x ＜0}有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简洁的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特殊留意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类争辩．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析推断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．[留意] 在争辩指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类争辩． [题点通关]角度一 比较指数幂的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a C [解析] 由于指数函数y ＝0.6x 在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以0.60.6＞0.61.5，即a ＞b ，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a ＜c ，故选C. 角度二 解简洁的指数方程或不等式2．(2021·高考江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________．[解析] 由于2x2－x <4，所以2x2－x <22，所以x 2－x <2，即x 2－x －2<0，所以－1<x <2. [答案] {x |－1<x <2}(或(－1，2)) 角度三 争辩指数型函数的性质3．(2021·太原模拟)函数y ＝2x －2－x 是( ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减A [解析] 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排解C 、D.又函数y ＝－2－x ，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x 在R 上为增函数．角度四 求解指数型函数中参数的取值范围4．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．[解析] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.[答案] －32,[同学用书P34])——利用换元法求解指数型函数的值域问题函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x－⎝⎛⎭⎫12x＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________．【解析】 由于x ∈[－3，2]，若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤34，57.【答案】 ⎣⎡⎦⎤34，57 (1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而削减了运算量．(2)对于同时含有a x 与a 2x (log a x 与log 2a x )(a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x(t ＝log a x )进行换元巧解，但肯定要留意新元的范围．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1， 令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98，t ∈⎣⎡⎦⎤18，1，故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0.(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解． 记g (m )＝2am 2－m －1， 当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立． 当a <0时，开口向下， 对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立，当a ＞0时，开口向上，对称轴m ＝14a＞0，过点(0，－1)必有一个根为正， 所以a >0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．, [同学用书P243(独立成册)])1．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD ．1aD 解析] 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . 2．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9，81] B ．[3，9] C ．[1，9] D ．[1，＋∞)C [解析] 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，由于f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 正确．3．函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )D [解析] 当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ，由于0<1－1a<1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ，由于1－1a<0，所以选D. 4．(2021·德州模拟)已知a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <c <aD [解析] 由于y ＝⎝⎛⎭⎫25x 为减函数，所以b <c ，又由于y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，所以a >c ，所以b <c <a ，故选D.5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C [解析] 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a －7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，由于0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a <1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3，1)．6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]B [解析] 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.7．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________．[解析] 当a >1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为增函数， 则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又由于a >1，所以a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为减函数， 又由于f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立． 综上可知，a ＝ 3. [答案]38．已知函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________．[解析] 由于f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x，f (a )＝－12，所以e a －e －a e a ＋e －a＝－12.所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a＝－⎝⎛⎭⎫－12＝12. [答案] 129．(2021·济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x (a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．[解析] 当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x 单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．[答案] (0，1)∪(2，＋∞)10．(2021·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．[解析] 由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e 2－x ，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x <1时，f (x )>e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e.[答案] e11．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式⎝⎛⎭⎫1a x＋⎝⎛⎭⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．[解] 把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .要使⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．由于函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋⎝⎛⎭⎫13x在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56.所以只需m ≤56即可．即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，56.12．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b . 其中不行能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [解析] 函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x的图象如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不行能成立．13．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)， 单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)当x <0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，由于2x >0，所以x ＝1.(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，由于22t －1＞0， 所以m ≥－(22t ＋1)，由于t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．。
年高考第一轮复习数学指数与指数函数
指数与指数函数●知识梳理1.指数（1）n 次方根的定义若 x n =a，则称 x 为 a 的 n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是 0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是0，负数没有偶次方根 .（2）方根的性质①当 n 为奇数时，n a n=a.②当 n 为偶数时，n a na( a0), =|a|=( a0).a（3）分数指数幂的意义m①a n = n a m（a＞0，m、n 都是正整数， n＞1）.m11②a n= m=a n n a m（a＞0， m、n 都是正整数， n＞1）.2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数 y=a x（a＞0 且 a≠ 1）叫做指数函数 .（2）指数函数的图象底数互为倒数的两个指数函数的图象对于y 轴对称 .（3）指数函数的性质①定义域： R.②值域：（0，＋∞） .③过点（ 0，1），即 x=0 时， y=1.④当 a＞1 时，在 R 上是增函数；当0＜a＜1 时，在 R 上是减函数 .●点击双基1. 3a·6 a 等于A. －aB.－aC.aD. a11111分析：3 a ·6 a =a3·（－ a）6 =－（－ a）36=－（－ a）2 .答案： Ax2.（2003 年郑州市质量检测题）函数y=2 3的图象与直线 y=x 的地点关系是x分析： y=23 =（32）x.∵3 2 ＞1，∴不行能选 D.x x又∵当 x=1 时， 2 3＞x，而当 x=3 时， 2 3＜x，∴不行能选 A 、B.答案： C3.（2004 年湖北，文 5）若函数 y=a x+b－1（a＞0 且 a≠1）的图象经过二、三、四象限，则必定有＜a＜1 且 b＞0＞1 且 b＞ 0＜a＜1 且 b＜0＞1 且 b＜ 0分析：作函数 y=a x－的图象.+b1答案： C4.（2004 年全国Ⅱ，理6）函数 y=－e x的图象A. 与 y=e x的图象对于 y 轴对称B.与 y=e x的图象对于坐标原点对称C.与 y=e－x的图象对于 y 轴对称D.与 y=e－x的图象对于坐标原点对称分析：图象法 .答案： D5.（2004 年湖南，文 16）若直线 y=2a 与函数 y=|a x－ 1|（a＞ 0 且 a≠ 1）的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 ___________________.分析：数形联合 .由图象可知 0＜2a＜1，0＜a＜1 . 21答案： 0＜a＜6.函数 y=（1）x22 x 2的递加区间是 ___________. 2分析：∵ y=（1）x在（－∞， +∞）上是减函数，而函数y=x2－2x+2=（x－1）2+1 2的递减区间是（－∞，1］，∴原函数的递加区间是（－∞，1］ .答案：（－∞， 1］●典例分析【例 1】以下图是指数函数（ 1）y=a x，（2）y=b x，（3）y=c x，（4）y=d x的图象，则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是＜b＜1＜c＜d＜a＜1＜d＜c＜a＜b＜c＜d＜b＜1＜d＜c分析：可先分两类，即（ 3）（4）的底数必定大于1，（1）（2）的底数小于 1，而后再从（ 3）（4）中比较 c、d 的大小，从（ 1）（ 2）中比较 a、b 的大小 .解法一：当指数函数底数大于 1 时，图象上涨，且当底数越大，图象向上越凑近于y 轴；当底数大于0 小于 1 时，图象降落，底数越小，图象向右越凑近于x 轴.得 b＜a ＜1＜ d＜ c.解法二：令 x=1，由图知∴b＜a＜1＜d＜c.答案：Bc1＞d1＞a1＞ b1，【例 2】 已知 2 x 2x≤（ 1） x － 2，求函数 y=2x－ 2－x的值域 .4解：∵ 2 x 2 x ≤2－ 2（ x －2），∴ x 2+x ≤ 4－2x ，即 x 2 +3x －4≤0，得－ 4≤ x ≤ 1.又∵ y=2x－2－x是［－ 4，1］上的增函数， ∴ 2－4－24≤y ≤2－2－1.故所求函数 y 的值域是［－255，163］.2【例 3】 要使函数 y=1+2x +4x a 在 x ∈（－∞， 1］上 y ＞0 恒建立，求 a 的取值范围.x解：由题意，得 1+2x +4xa ＞0 在 x ∈（－∞，1］上恒建立，即 a ＞－12在x ∈（－4x∞，1］上恒建立 .又∵－1 2 x=－（ 1）2x－（ 1） x=－［（ 1）x+ 1］2+ 1，当 x ∈（－4x22224∞， 1］时价域为（－∞，－3］，∴a ＞－3.44评论：将不等式恒建立问题转变为求函数值域问题是解决这种问题常用的方法.●闯关训练夯实基础1.已知 f （ x ）=a x ，g （ x ）=－ log b x ，且 lga+lgb=0，a ≠1，b ≠ 1，则 y=f （x ）与 y=g（x ）的图象A. 对于直线 x+y=0 对称B.对于直线 x － y=0 对称C.对于 y 轴对称D.对于原点对称分析： lga+lgb=0ab=1.∴g （x ）=－log b x=－log a － 1x=log a x.∴f （x ）与 g （ x ）的图象对于 y=x 对称 .答案： B2.以下函数中值域为正实数的是=－5x=（ 1 ）1－ x31 x1= 1 2 x= ( )2分析：∵ y=（ 1）x的值域是正实数，而 1－x ∈R ，∴ y=（ 1）1－x的值域是正实数 .33答案： B化简a 3b 2 3 ab 2 （a ＞0，b ＞0）的结果是 ___________________.3.1 14 3b42 )(a ba3211 3 1 1 10 4 分析：原式 =a 2322 b 2 6363= a.b [( ab )1 ]= aa 7 b= a2 b 7ab 2 ( b) 3a 3b 3a 3b 3 ba答案：ab知足条件m m 2＞（ m m ） 2的正数 m 的取值范围是 ___________________. 4.分析：∵ m ＞ 0，∴当 m ＞1 时，有 m 2＞ 2m ，即 m ＞ 2；当 0＜ m ＜1 时，有 m 2＜2m ，即 0＜m ＜ 1.综上所述， m ＞2 或 0＜ m ＜ 1.答案： m ＞2 或 0＜m ＜15.（2004 年湖北，理 7）函数 f （ x ）=a x +log a （ x+1）在［ 0，1］上的最大值与最小值的和为 a ，则 a 的值为A.1B. 142解 析 ： f （ x ） 在 ［ 0 ， 1 ］ 上 是 单 调 函 数 ， 由 已 知 f （ 0 ） +f （ 1 ）=a 1+log a 1+a+log a 2=alog a 2=－ 1 a= 1.2答案： B已知x－10·3x≤ ，求函数 （ 1）x －1－4（ 1 ） x的最大值和最小值.6.9+9y=+242解：由 9x － 10·3x +9≤ 0 得（3x－1）（3x－9）≤0，解得 1≤3x≤9.∴ 0≤ x ≤2.令（ 1）2x=t，则1 ≤t≤1，y=4t2－4t+2=4（t－ 1）2+1.当t= 1即x=1时， ymin=1；当t=1即x=0 422时， y max=2.7.若 a 2x+ 1·a x－ 1≤0（a ＞0 且 a ≠1），求 y=2a 2x －3·a x+4 的值域 . 2 2 解：由 a 2x+ 1·a x－ 1 ≤0（a ＞0 且 a ≠ 1）知 0＜a x≤ 1.222令 a x=t ，则 0 ＜ t ≤ 1，y=2t 2－3t+4.借助二次函数图象知 y ∈［ 3，4）.28.（2004 年全国Ⅲ， 18）解方程 4x +|1－ 2x |=11.解：当 x ≤0 时， 1－2x ≥0.原方程4x －2x － 10=0 2x= 1 ±412x= 1 －41＜0（无解）或 2x= 1+ 41 ＞2 2222 21 知 x ＞0（无解） .当 x ＞ 0 时， 1－2x ＜ 0. 原方程4x x－12=02x － 1 ± 7x － （无解）或x2 （为原方+2=222 =42 =3 x=log 3程的解） .研究创新若对于 的方程－|x+1|－|x+1|有实根，求 m 的取值范围 .x 25 －4· 5－m=09.解法一：设 y=5－|x+1|，则 0＜ y ≤1，问题转变为方程 y 2－4y －m=0 在（ 0，1］内有实根 .设 f （ y ） =y 2－ 4y －m ，其对称轴 y=2，∴ f （0）＞ 0 且 f （1）≤ 0，得－ 3≤ m ＜0.解法二：∵ m=y 2－ 4y ，此中 y=5－|x+1|∈（ 0，1］，∴ m=（y －2）2－ 4∈［－ 3，0）.●思悟小结1.利用分数指数幂的意义能够把根式的运算转变为幂的运算，进而简化计算过程 .2.指数函数 y=a x （a ＞0，a ≠1）的图象和性质受a 的影响，要分 a ＞1 与 0＜a ＜1来研究 .13.指数函数的定义重在“形式” ，像 y=2· 3x ，y=2 x ，y=3 x 2 ，y=3x +1 等函数都不切合形式 y=a x （ a ＞ 0， a ≠ 1），所以，它们都不是指数函数 .●教师下载中心1.本小节的要点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式因为自变量的不一样取值而有不一样大小关系时，一定对字母参数或自变量取值进行分类议论.用好用活指数函数单一性，是解决这一类问题的要点.2.对可化为 a2x+b·a x+c=0 或 a2x+b· a x+c≥0（≤ 0）的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提示学生注意换元后“新元”的范围.拓展题例1 a b【例 1】若 60a＝3，60b＝5.求 12 2(1 b)的值 .1－b＝1－log605＝ log6012，1－a－b＝1－log603－ log605＝log604，1 a b ＝ log 60 4＝log12，1b log 60 121 a b112 2(1b)＝12 2＝12log12 2＝2.log12 4【例 2】方程 2x=2－x 的解的个数为 ______________.分析：方程的解可看作函数y=2x和 y=2－ x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象（以以下图） .由图象得只有一个交点，所以该方程只有一个解.答案： 1评论：没法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形联合的思想.。
指数与指数函数考点总结课件)-2025年高考数学一轮复习
a>0时,t为
任意实数
时,at都是一个确定的实数.因此,当
时,可以认为实数指数幂at都有意义.
3.指数函数的图像和性质
函数
y=ax(a>0,且a≠1)
0<a<1
a>1
图像
图像
在x轴 上方
,过定点
(0,1)
特征 当x逐渐增大时,图像 逐渐下降
当x逐渐增大时,图
像
逐渐上升
函
数
y=ax(a>0,且a≠1)
∈A.
(1)求集合 A；
(2)求函数 f(x)的值域．
解
(1)由题意知 9x－4·3x＋3≤0，则(3x)2－4·3x＋3≤0，
即(3x－1)·(3x－3)≤0，
即 1≤3x≤3，解得 0≤x≤1，
故集合 A＝{x|0≤x≤1}．
3
3
(2)f(x)＝4－x－3·2－x－1＋1＝(2－x)2－ ·2－x＋1，令 t＝2－x，则 f(x)可化为 g(t)＝t2－ t＋1.
1
由题可知 g(t)>0 在 t＞0 时恒成立，即 t ＋(k＋1)t＋1>0 对 t＞0 恒成立，即 k>－(t＋ )－1 对 t＞0 恒成立，
t
2
1
∵t＋ ≥2
t
1
1
t· ＝2，当且仅当 t＝ ，即 t＝1 时，等号成立，
t
t
1
∴－(t＋ )－1≤－3，
t
∴k>－3.
7．[山西临汾一中 2021 高一期中]已知不等式 9x－4·3 x＋3≤0 的解集为 A，函数 f(x)＝4－x－3·2－x－1＋1，x
2
2
1
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+2-2×
2
1 4
1 2
-(0.01)0.5;
(2)
5 a 13b-2·(-3 a
1 2
2
1
b-1)÷(4 a 3b-3 );2
6
(a
2 3
b1
)
1 2
a
1 2
b
1 3
(3)
6 ab5
.
1
1
解析
(1)原式=1+ 1×
4
4 9
2
-
1 100
答案 B
解析
4
b=
1 2
3
,而函数y=
1 2
x
在R上为减函数,4 > 2> 1,所以
332
4
2
1 2
3
<
1 2
3
<
1
1 2
2
,即b<a<c.
命题方向二 指数型复合函数的单调性
典例4
(1)函数f(x)=
(3)原式= a
3b2a 2b3
15
a6b6
规律总结
11 1
115
1
= a 3 2 6 · b2 3 6 = .
a
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数 的,先化成假分数. (4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的 运算性质来解答. ▶提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又 含有负指数,形式力求统一.
1,得ax=- y
1
y
1.
1
因为ax>0,所以- y 1 >0,解得-1<y<1, y 1
所以f(x)的值域为(-1,1).
(2)因为f(-x)= aa
x x
1= 1
1 1
a a
x x
=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(3)f(x)= (a
x ax
1) 1
2
=1- a x2 1
.
设x1,x2是R上任意两个实数,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)= a x22 1
- a x12
=
1
2(a x1 ax2 ) (ax1 1)(ax2 1)
.
因为x1<x2,所以当a>1时, ax2 > ax1 >0,
从而 ax1 +1>0,a x2 +1>0, ax1- ax2<0,
递增,则有 m≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].
2
命题方向三 指数函数性质的综合应用
典例5
已知函数f(x)= aaxx
1 1
(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域和值域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)讨论f(x)的单调性.
解析
(1)f(x)的定义域是R,令y= aaxx
|
⑦ a (a ⑧ a (a
0), 0),
n为偶数;
( n a )n=⑨ a (注意a必须使 n a 有意义).
2.有理数指数幂
(1)分数指数幂的表示
(i)正数的正分数指数幂:
m
a n =⑩ n am (a>0,m,n∈N*,n>1).
(ii)正数的负分数指数幂:
m
a n =
3.指数函数的图象与性质
▶提醒 (1)当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种
情况进行讨论.(2)指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a), 1,
1 a
,依据这三点
的坐标可得到指数函数的大致图象.
知识拓展
指数函数的图象与底数大小的比较,如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y =cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由
◆探究 (变条件)本例(2)中若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,求b 的取值范围.
解析 曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由图象可得,b的取值范围是(0, 1).
方法技巧
应用指数函数图象的4个技巧
(1)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),
1,
1 a
.
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否
过这些点,若不满足,则排除.
(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图 象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关 系不确定时,应注意分类讨论. (4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图 象,数形结合求解.
1 2
x2
2
x
1
的减区间,即函数u=-x2+2x+1的增
区间.
又u=-x2+2x+1的增区间为(-∞,1],∴所求减区间为(-∞,1].
(2)令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间 m2
,
上单调递增,在区间 ,
m 2
Байду номын сангаас
上单
调递减.而y=2t为R上的增函数,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调
1
m
1
a n = n am (a>0,m,n∈N*,n>1).
(iii)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质 (i)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q). (ii)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q). (iii)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
当a>1时,如图②,而y=2a>1,不符合要求.
所以0<a< 1.
2
指数函数的性质及应用
命题方向一 指数函数单调性的应用
2
1
典例3
已知a=
1 2
3
4
,b=2 3
,c=
1 2
2
,则下列关系式中正确的是
(B
)
A.c<a<b B.b<a<c
C.a<c<b D.a<b<c
2-1 函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ( D)
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0
答案 D 由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递 减,所以0<a<1. 函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax图象的基础上向左平移得到的,所以b<0, 故选D.
3-1
不等式
1 2
x2
ax
<
1 2
2
xa2
恒成立,则a的取值范围是
=
a3
1
4
3
= a
1 2
4 5
17
= a10.故选D.
a2 a5
3.函数y=2x与y=2-x的图象 ( B )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
答案 B 轴对称.
作出y=2x与y=2-x=
1 2
x
的图象(图略),观察可知两图象关于y
6.若指数函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是 .
答案 (- 2 ,-1)∪(1, 2 )
解析 由题意知0<a2-1<1, 即1<a2<2, 得- 2 <a<-1或1<a< 2 .
考点突破
指数幂的化简与求值
典例1 化简下列各式:
(1)
2
3 5
0
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),f(x)为R上的增函数;
当0<a<1时, ax1 >a x2 >0,
从而 ax1 +1>0,a x2 +1>0, ax1- ax2>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),f(x)为R上的减函数.
规律总结 (1)利用指数函数的性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原则. (2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及 值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.
符号表示
当n为奇数时,正数的n次方根是一个② 正数 ,负数 n a 的n次方根是一个③ 负数
当n为偶数时,正数的n次方根有④ 两个 ,它们互为 ± n a ⑤ 相反数
备注 n>1且n∈N* 0的n次方根是0
负数没有偶次方 根
(2)两个重要公式
⑥ a , n为奇数,